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Curso: Ingeniería eléctrica > Unidad 2

Lección 4: Respuesta natural y forzada

La respuesta natural de un circuito RLC. Variaciones

La respuesta natural del circuito RLC cae en una de tres categorías: sobreamortiguado, críticamente amortiguado y subamortiguado. Escrito por Willy McAllister.

Introducción

La respuesta natural de un circuito con un resistor, un inductor y un capacitor

(RLC)

puede tomar tres formas diferentes, dependiendo de los valores específicos de sus componentes.

En dos artículos anteriores, cubrimos una descripción intuitiva de cómo se comporta el circuito

RLC

y llevamos a cabo una derivación formal en donde modelamos el circuito con una ecuación diferencial de

2

.º orden y resolvimos un circuito específico de ejemplo. En este artículo, nos fijamos con detalle en la ecuación característica y le damos nombres a las diferentes soluciones.

Qué vamos a construir

La ecuación característica del circuito

RLC

es:

s^{2} + \frac{R}{L} s + \frac{1}{LC} = 0

Vamos a encontrar las raíces de la ecuación característica mediante el uso de la fórmula cuadrática:

s = \frac{- R \pm \sqrt{R^{2} - 4 L / C}}{2 L}

Al sustituir las variables

α

ω_{o}

podemos escribir

s

de manera un poco más sencilla como:

s = - α \pm \sqrt{α^{2} - ω_{o}^{2}}

donde:

α = \frac{R}{2 L},

ω_{o} = \frac{1}{\sqrt{LC}}

α

se llama el factor de amortiguamiento y

ω_{o}

es la frecuencia de resonancia.

Dependiendo del tamaño relativo de

α

y de

ω_{o}

, habrá tres formas diferentes para la solución para

i (t)

sobreamortiguado, $α > ω_{0}$ ‍, conduce a la suma de dos exponenciales decrecientes.
críticamente amortiguado, $α = ω_{0}$ ‍, nos da $t$ ‍ multiplicado por una exponencial decreciente.
subamortiguado, $α < ω_{0}$ ‍; conduce a un seno decreciente.

Modelar y resolver el circuito: repaso

En un artículo anterior creamos y resolvimos una ecuación diferencial de

2

o. orden que modela el circuito

RLC

. Esa ecuación se ve así:

L \frac{d^{2} i}{d t^{2}} + R \frac{d i}{d t} + \frac{1}{C} i = 0

Propusimos una solución con una forma exponencial (la cual nos funcionó bastante bien), y encontramos lo que se llama la ecuación característica, que tiene esta forma:

s^{2} + \frac{R}{L} s + \frac{1}{LC} = 0

Encontramos

s

, la raíces de la ecuación característica del circuito

RLC

, al usar la fórmula cuadrática,

s = \frac{- R \pm \sqrt{R^{2} - 4 L / C}}{2 L}

Al sustituir las variables

α

ω_{o}

escribimos

s

de manera un poco más sencilla como:

s = - α \pm \sqrt{α^{2} - ω_{o}^{2}}

donde

α = \frac{R}{2 L}

ω_{o} = \frac{1}{\sqrt{LC}}

α

se llama "factor de amortiguamiento" y

ω_{o}

se llama "frecuencia de resonancia".

Revisamos nuestra solución propuesta para que tenga esta forma:

i = K_{1} e^{s_{1} t} + K_{2} e^{s_{2} t}

Ahora vemos más de cerca la expresión para

s

, las raíces de la ecuación característica del circuito

RLC

y el impacto que tiene en la solución para

i

La solución exacta

Si queremos una solución exacta para algunos valores particulares de

R

L

C

, hacemos un cálculo como el que hicimos en el artículo anterior para el circuito de ejemplo. De manera alternativa, podemos introducir el circuito en un simulador de circuitos para ayudarnos a encontrar un resultado.

Sobreamortiguado, críticamente amortiguado y subamortiguado

Podemos darnos una idea de la riqueza de la respuesta natural al ver tres posibles resultados en un sentido cualitativo.

La solución para

s

depende del signo de la resta que está dentro del término de la raíz cuadrada en la ecuación:

s = - α \pm \sqrt{α^{2} - ω_{o}^{2}}

Cómo resultan ser las raíces:

Relación	Signo de $α^{2} - ω^{2}$ ‍	Apodo	$s$ ‍
$α > ω_{o}$ ‍	$+$ ‍	Sobreamortiguado	2 raíces reales
$α = ω_{o}$ ‍	$0$ ‍	Críticamente amortiguado	2 raíces repetidas
$α < ω_{o}$ ‍	$-$ ‍	Subamortiguado	2 raíces complejas

Cómo resulta ser la respuesta,

i (t)

Relación	Signo de $α^{2} - ω^{2}$ ‍	Apodo	$i (t)$ ‍
$α > ω_{o}$ ‍	$+$ ‍	Sobreamortiguado	2 exponenciales decrecientes
$α = ω_{o}$ ‍	$0$ ‍	Críticamente amortiguado	$t \cdot$ ‍ exponencial decreciente
$α < ω_{o}$ ‍	$-$ ‍	Subamortiguado	Seno decreciente

Si tus estudios de ingeniería te llevan al área de Teoría de Control, estos términos se usan para describir cómo actúan los sistemas dinámicos. Por ejemplo, el movimiento de los brazos de un robot se puede describir con una ecuación diferencial de segundo orden. Si le pides a tu robot que alcance un objeto rápidamente, puedes describir cómo se mueve su mano por medio de estas palabras.

Vamos a echarle un vistazo a los tres posibles resultados con un poco más de detalle.

$α^{2} - ω^{2} > 0 :$ ‍ sobreamortiguado

Bajo esta condición, el término

ω_{o}^{2}

es pequeño con relación a

α^{2}

, entonces sabemos que la expresión dentro de la raíz cuadrada será positiva. También sabemos que la expresión de la raíz cuadrada será más pequeña que

α

. Esto significa que

s

será dos números reales, ambos negativos.

s_{1, 2} = - α \pm \sqrt{α^{2} - ω_{o}^{2}}

s_{1} = - {número real}_{1}

s_{2} = - {número real}_{2}

(Convéncete de que tanto

s_{1}

como

s_{2}

serán negativos).

La corriente será la superposición de dos exponenciales reales que decrecen hacia cero.

i = K_{1} e^{- {real}_{1} t} + K_{2} e^{- {real}_{2} t}

Se dice que el circuito está sobreamortiguado porque las dos exponenciales superpuestas están llevando la corriente a cero. Un circuito estará sobreamortiguado si la resistencia es alta en relación a la frecuencia de resonancia.

Sean

R = 10 Ω, L = 1 H

C = 1 / 9 F

.
Sean las condiciones iniciales

v_{c} (0) = 10 V

i_{L} = 0

Encuentra $i (t)$ ‍.

Calcula el factor de amortiguamiento y la frecuencia de resonancia:

α = \frac{R}{2 L}

así que

α = \frac{10}{2 \cdot 1} = 5

ω_{o} = \frac{1}{\sqrt{LC}}

así que

ω_{o} = \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 / 9}} = 3

Encuentra las raíces (reales negativas) de la ecuación característica:

s_{1, 2} = - α \pm \sqrt{α^{2} - ω_{o}^{2}}

s_{1, 2} = - 5 \pm \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = - 5 \pm \sqrt{16} = - 1, - 9

Arma una solución propuesta:

i = K_{1} e^{s_{1} t} + K_{2} e^{s_{2} t}

i = K_{1} e^{- t} + K_{2} e^{- 9 t}

Usa las dos condiciones iniciales (igual que en el ejercicio que resolvimos anteriormente):

i (0^{+}) = 0

\frac{d i}{d t} (0^{+}) = 10

Escribe las expresiones para

K_{1}

K_{2}

t = 0

. Al usar la primera condición inicial:

i (0) = 0 = K_{1} e^{- 0} + K_{2} e^{0}

0 = K_{1} + K_{2}

Ahora tomamos la derivada de la corriente propuesta y usamos la segunda condición inicial:

\frac{d i}{d t} = \frac{d}{d t} [K_{1} e^{- t} + K_{2} e^{- 9 t}] = - K_{1} e^{- t} - 9 K_{2} e^{- 9 t}

\frac{d i}{d t} (0) = 10 = - K_{1} e^{- 0} - 9 K_{2} e^{0}

10 = - K_{1} - 9 K_{2}

Ahora resolvemos las dos ecuaciones de las condiciones iniciales juntas. De la primera condición inicial:

K_{1} = - K_{2}

Al sustituirla en la segunda condición inicial:

10 = - (- K_{2}) - 9 K_{2}

10 = - 8 K_{2}

K_{2} = - 1.25,

y por lo tanto

K_{1} = + 1.25

Y la solución para la corriente es:

i = 1.25 e^{- t} - 1.25 e^{- 9 t}

$α^{2} - ω^{2} = 0 :$ ‍ críticamente amortiguado

La frontera entre subamortiguado y sobreamortiguado ocurre cuando

α = ω_{o}

. El factor de amortiguamiento y la frecuencia de resonancia están balanceadas, y el término dentro de la raíz cuadrada se hace

0

. Las raíces de la ecuación característica,

s

, son dos números reales idénticos, llamados raíces repetidas:

s_{1, 2} = - α \pm {\sqrt{α^{2} - ω_{o}^{2}}}^{0}

s_{1, 2} = - α

Resolver una ecuación diferencial de

2

.º orden con raíces repetidas es un poco complicado. No voy a hacer la deducción aquí, pero en lugar de eso te voy a referir a un video que trata acerca de resolver las raíces repetidas. Bienvenido de vuelta... Con las raíces repetidas, la respuesta es una exponencial multiplicada por

t

i = \frac{V_{0}}{L} t e^{- α t}

Se dice que esta respuesta es críticamente amortiguada.

Sean

R = 4 Ω

L = 1 H

C = 1 / 4 F

.
Sean las condiciones iniciales

v_{c} (0) = 10 V

i_{L} = 0

Encuentra $i (t)$ ‍.

La ecuación diferencial que modela al circuito es,

\frac{d^{2} i}{d t^{2}} + 4 \frac{d i}{d t} + 4 i = 0

la cual conduce a la ecuación característica correspondiente,

s^{2} + 4 s + 4 = 0

Podemos factorizar esto directamente (sin necesidad de usar la fórmula cuadrática),

(s + 2) (s + 2) = 0

lo que nos da las raíces reales repetidas,

s_{1} = - 2

s_{2} = - 2

Con raíces reales repetidas la solución es,

i = \frac{V_{0}}{L} t e^{- α t}

i = \frac{10}{1} t e^{- 2 t}

i = 10 t e^{- 2 t}

La respuesta críticamente amortiguada se parece mucho a la respuesta sobreamortiguada. Es difícil notar la diferencia a simple vista. La respuesta crítica es una frontera para todas las posibles respuestas que decaen.

$α^{2} - ω^{2} < 0 :$ ‍ subamortiguado

Cuando

α

es más pequeña que

ω_{o}

, el término de la raíz cuadrada tiene un número negativo adentro, y

s

resulta ser dos números complejos conjugados, con partes real e imaginaria. El circuito de ejemplo que trabajamos en artículo de la deducción de la respuesta natural del circuito RLC es un sistema subamortiguado.

La corriente se ve como una onda de seno que disminuye a través del tiempo. Piensa en el sonido que hace una campana cuando la golpeas. La nota de la campana resuena y se desvanece a través del tiempo. Ese es un sistema mecánico subamortiguado de segundo orden. Para los circuitos eléctricos de segundo orden, pedimos prestado el término y decimos que un sistema subamortiguado "resuena" a una frecuencia de aproximadamente

ω_{o} = \frac{1}{\sqrt{LC}} .

Si dejamos que la resistencia se haga muy pequeña y eventualmente se vaya a

0

, entonces

α = R / 2 L

se va a cero y

s_{1, 2}

se vuelve

ω_{o}

. El circuito se vuelve puramente una configuración

LC

. Cuando analizamos la respuesta natural del circuito LC, encontramos una onda sinusoidal que duraba para siempre. (En la vida real,

R

en realidad nunca es

0

, así que siempre se pierde algo de energía. Una campana no resuena para siempre).

El primer circuito de ejemplo que trabajamos anteriormente en este artículo tenía

R = 2 Ω, L = 1 H

C = 1 / 5 F .

No vamos a repetir la solución, pero aquí hay algunas observaciones al usar la notación de

α

ω_{o}

El factor de amortiguamiento,

α

, es

α = \frac{R}{2 L} = \frac{2}{2 \cdot 1} = 1

La frecuencia de resonancia,

ω_{o}

, es

ω_{o} = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 / 5}} = \sqrt{5}

Al ver los términos dentro de la raíz cuadrada:

α^{2} - ω^{2} = 1^{2} - \sqrt{5}^{2} = - 4 =

, un número negativo, el cual vimos que conduce a una solución de un seno decreciente. Por lo tanto, describiríamos el circuito de ejemplo como un sistema subamortiguado.

Resumen

El circuito

RLC

es el equivalente electrónico de un péndulo con fricción. El circuito se puede modelar con esta ecuación diferencial lineal de

2

o. orden:

L \frac{d^{2} i}{d t^{2}} + R \frac{d i}{d t} + \frac{1}{C} i = 0

La ecuación característica resultante es:

s^{2} + \frac{R}{L} s + \frac{1}{LC} = 0

Encontramos las raíces de la ecuación característica mediante el uso de la fórmula cuadrática:

s = \frac{- R \pm \sqrt{R^{2} - 4 L / C}}{2 L}

Al sustituir las variables

α

ω_{o}

escribimos

s

de manera un poco más sencilla como:

s = - α \pm \sqrt{α^{2} - ω_{o}^{2}}

donde

α = \frac{R}{2 L}

ω_{o} = \frac{1}{\sqrt{LC}}

Dependiendo del tamaño relativo entre

α

ω_{o}

, encontramos tres formas distintas para la solución:

sobreamortiguado, $α > ω_{0}$ ‍; conduce a la suma de dos exponenciales decrecientes.
críticamente amortiguado, $α = ω_{0}$ ‍; conduce a $t$ ‍ multiplicado por la exponencial decreciente.
subamortiguado, $α < ω_{0}$ ‍; conduce a un seno decreciente.

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Introducción

Qué vamos a construir

Modelar y resolver el circuito: repaso

La solución exacta

Sobreamortiguado, críticamente amortiguado y subamortiguado

α2−ω2>0:‍ sobreamortiguado

α2−ω2=0:‍ críticamente amortiguado

α2−ω2<0:‍ subamortiguado

Resumen

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$α^{2} - ω^{2} > 0 :$ ‍ sobreamortiguado

$α^{2} - ω^{2} = 0 :$ ‍ críticamente amortiguado

$α^{2} - ω^{2} < 0 :$ ‍ subamortiguado