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Curso: Ingeniería eléctrica > Unidad 2

Lección 4: Respuesta natural y forzada

La respuesta natural de un circuito LC. Deducción

La deducción formal de la respuesta natural del circuito LC, donde descubrimos la frecuencia de oscilación. Escrito por Willy McAllister.

Derivamos la respuesta natural del circuito inductor-capacitor,

LC

Aquí es donde nacen las ondas sinusoidales.

Antecedentes

En este artículo resolveremos paso a paso una ecuación diferencial de

segundo orden. No es necesario que tengas experiencia previa con esta clase de ecuaciones, pero puedes revisar nuestros videos sobre ecuaciones diferenciales de segundo orden. En los artículos sobre las respuestas naturales de los circuitos

\underset{―}{RC}

\underset{―}{RL}

resolvemos ecuaciones de primer

orden. También puedes revisar nuestros videos sobre ecuaciones diferenciales de primer orden.

Qué vamos a construir

La ecuación diferencial homogénea de segundo orden siguiente describe la respuesta natural de un circuito

LC

L \frac{d^{2} i}{d t^{2}} + \frac{1}{C} i = 0

La solución para la corriente es:

i (t) = \sqrt{\frac{C}{L}} V_{0} \sin ω_{\circ} t

Donde

ω_{\circ} = \sqrt{\frac{1}{LC}}

es la frecuencia natural del circuito

LC

V_{0}

es el voltaje inicial en el capacitor.

En ingeniería eléctrica, utilizamos la letra

j

para denotar

\sqrt{- 1}

.
(Usamos la letra

i

para la corriente).

Introducción

Los sistemas de primer orden

Hasta ahora hemos estudiado las respuestas naturales de los circuitos de primer orden

\underset{―}{RC}

\underset{―}{RL}

, que solo tienen un componente capaz de almacenar energía,

C

L

. La forma de la respuesta natural de los circuitos de primer orden es una exponencial que "decae" a su valor final. El resistor disipa la energía contenida en el componente de almacenamiento.

Los sistemas de segundo orden

Ahora estudiamos un circuito sin resistores y con dos componentes capaces de almacenar energía. Esto circuitos son sistemas de segundo orden porque producen ecuaciones con segundas derivadas.

En este artículo cubrimos el circuito

LC

, uno de los dos últimos circuitos que resolveremos con un tratamiento completo de ecuaciones diferenciales. El último circuito al que le aplicaremos este tratamiento es el circuito

RLC

(en el próximo artículo). Las matemáticas de las ecuaciones diferenciales se dificultan cada vez más. Afortunadamente, una vez que hayamos concluido con los circuitos

LC

RLC

, nos aprenderemos un buen atajo que hará nuestras vidas mucho más simples.

Me ciño a las ecuaciones diferenciales en vez de ir directo al atajo porque quiero mostrarte de dónde provienen las ondas sinusoidales en la electrónica. Las ondas sinusoidales emergen de las soluciones de las ecuaciones de segundo orden. Las ondas sinusoidales son muy importantes; son los bloques de construcción de todas las otras clases de señales.

Los sistemas de segundo orden son los primeros sistemas que van y vienen en el tiempo, u oscilan. El ejemplo clásico de un sistema mecánico de segundo orden es un reloj de péndulo. En la electrónica, el sistema clásico de segundo orden es el circuito

LC

La respuesta natural

Queremos encontrar la respuesta natural del circuito

LC

. La respuesta natural es lo que hace un circuito cuando no hay una fuerza externa sobre él, y siempre es una parte importante de la respuesta total de un circuito.

La respuesta natural de un circuito de $2$ ‍.o orden

Para continuar en búsqueda de una solución precisa para la respuesta natural, proporcionemos al circuito algo de energía inicial. Etiquetamos los componentes poniendo especial atención a la convención de los signos para los componentes pasivos. El inductor tiene una corriente inicial de

0 A

porque el interruptor comienza en posición abierta. Suponemos que el capacitor tiene un voltaje inicial

v_{C} = - V_{0}

antes de que cierre el interruptor (observa cómo el signo

+

v_{C}

está en la parte inferior). Al tiempo

t = 0

cerramos el interruptor.

Como con el análisis de cada circuito, comenzamos por escribir una de las leyes de Kirchhoff. En este caso, utilizamos la ley de voltaje de Kirchhoff (LVK) alrededor de la malla, comenzando por la esquina inferior izquierda y recorriendo el circuito en el sentido de las manecillas del reloj.

v_{L} + v_{C} = 0

L \frac{d i}{d t} + \frac{1}{C} \int i d t = 0

Esta ecuación de la LVK contiene una integral, que es difícil de tratar. La manera de eliminar la integral (también conocida como antiderivada) es derivarla. Así, derivamos todos los términos en la ecuación.

\frac{d}{d t} (L \frac{d i}{d t} + \frac{1}{C} \int i d t) = \frac{d}{d t} 0

Esto resulta en una segunda derivada para el término

L

y en la desaparición de la integral para el término

1 / C

, y nos deja con

0

en el lado derecho.

L \frac{d^{2} i}{d t^{2}} + \frac{1}{C} i = 0

Podemos escribir de forma más limpia la ecuación si eliminamos el coeficiente en el primer término, por lo que dividimos entre

L

. Esta ecuación diferencial de segundo orden captura la esencia de nuestro circuito.

\frac{d^{2} i}{d t^{2}} + \frac{1}{LC} i = 0

Proponer una solución

Cuando resolvimos los circuitos de primer orden

RC

RL

, propusimos una solución exponencial para

i (t)

. Proponer soluciones también funciona con ecuaciones de segundo orden. Nuestra ecuación de segundo orden impone requisitos similares: queremos una función cuya derivada se le parezca, de tal forma que la suma de la una con la otra sea igual cero. La función exponencial cumple con este requisito. Así, proponemos una función exponencial con ciertos parámetros ajustables:

i (t) = K e^{s t}

La constante

K

es un factor de amplitud que escala la corriente de tal forma que sea grande o pequeña.

La constante

s

se encuentra en el exponente, al lado del tiempo

t

. Puesto que los exponentes no tienen unidades,

s

debe tener unidades de

1 / t

, por lo que es una frecuencia. Como queremos determinar la respuesta natural, decimos que

s

es la frecuencia natural.

Ahora sustituimos nuestra propuesta de solución en la ecuación diferencial y verificamos si la satisface.

\frac{d^{2} i}{d t^{2}} + \frac{1}{LC} i = 0

\frac{d^{2}}{d t^{2}} (K e^{s t}) + \frac{1}{LC} (K e^{s t}) = 0

Trabajemos sobre el primer término al tomar las dos derivadas. La primera derivada es:

\frac{d}{d t} (K e^{s t}) = s K e^{s t}

Y la segunda derivada:

\frac{d^{2}}{d t^{2}} (K e^{s t}) = \frac{d}{d t} (s K e^{s t}) = s^{2} K e^{s t}

Sustituimos la segunda derivada en la ecuación:

s^{2} K e^{s t} + \frac{1}{LC} K e^{s t} = 0

Y factorizamos el término

K e^{s t}

K e^{s t} (s^{2} + \frac{1}{LC}) = 0

¿De cuántas maneras podemos hacer verdadera esta ecuación?

K = 0

es muy aburrido.

0 = 0

, ¿a quién le importa?

El término

e^{s t}

nunca se anula en tiempo finito.

Esto nos deja con una solución interesante cuando el término

s + 1 / LC

es igual a cero:

s^{2} + \frac{1}{LC} = 0

A esta ecuación la llamamos la ecuación característica de nuestro circuito. Queremos encontrar las raíces de la ecuación característica (los valores de

s

que hacen el lado izquierdo de la ecuación igual a cero).

s^{2} = - \frac{1}{LC}

Vaya, mira lo que está por ocurrir. Estamos a punto de sacar la raíz cuadrada de un número negativo. Estamos a punto de generar un número imaginario.

La constante

s

tiene dos valores posibles:

s_{1} = + j \sqrt{\frac{1}{LC}}

s_{2} = - j \sqrt{\frac{1}{LC}}

Los ingenieros eléctricos utilizan la letra

j

para denotar la unidad imaginaria,

\sqrt{- 1}

, pues usan la letra

i

para la corriente.

Como abreviación, denotaremos el término de la raíz cuadrada como:

ω_{\circ} = \sqrt{\frac{1}{LC}}

El símbolo

ω

es la letra griega omega minúscula. A menudo usamos

ω

para denotar una frecuencia medida en radianes por segundo. El ángulo de un circulo completo es

360^{\circ}

2 π

radianes. El ángulo de un radián es

360^{\circ} / 2 π \approx {57.6}^{\circ}

. Siempre que veas

ω

, piensa "radianes por segundo".

Cuando hablamos de la frecuencia natural o de la frecuencia de resonancia, a menudo la llamamos

ω_{\circ}

, que pronunciamos "omega cero".

Podemos expresar las raíces de la ecuación característica en términos de

ω_{o}

como:

s_{1} = + j ω_{\circ}

s_{2} = - j ω_{\circ}

¡Qué tal! El circuito

LC

produce dos frecuencias naturales complejas,

s_{1}

s_{2}

, y una de esas frecuencias es negativa. Qué curioso. Este hecho resultará ser muy interesante.

Tanto

s_{1}

como

s_{2}

son raíces de la ecuación. Para nuestra propuesta de solución, existe la posibilidad de dos frecuencias naturales,

s_{1}

s_{2}

. Así, escribimos la solución general como una combinación lineal de dos términos, con dos constantes

K

ajustables.

i (t) = K_{1} e^{+ j ω_{\circ} t} + K_{2} e^{- j ω_{\circ} t}

A estas alturas puede que estés pensando "¿Números complejos? ¿Frecuencia negativa? ¿Esto en realidad sucede?" La respuesta es "sí". Por favor aguanta un poco mientras trabajamos con estas expresiones.

Las identidades de Euler

Para trabajar con estos exponentes complejos, recurrimos a una identidad importante.

Por medio de las expansiones en serie de Maclaurin de

e^{j x}

\sin j x

\cos j x

es posible deducir estas identidades de Euler:

e^{+ j x} = \cos x + j \sin x

e^{- j x} = \cos x - j \sin x

En el video enlazado, cada vez que el narrador dice

i

, nosotros decimos

j

Estas identidades nos permiten convertir el extraño término

e^{i m a g i n a r i o}

en un número complejo normal. Las partes real e imaginaria están dadas por una función coseno o una función seno, de tal forma que ambas componentes están en un rango entre

- 1

+ 1

Utilizar las identidades de Euler

Podemos utilizar las identidades de Euler en nuestra propuesta de solución.

i (t) = K_{1} e^{+ j ω_{\circ} t} + K_{2} e^{- j ω_{\circ} t}

i (t) = K_{1} (\cos ω_{\circ} t + j \sin ω_{\circ} t) + K_{2} (\cos ω_{\circ} t - j \sin ω_{\circ} t)

Al expandir las multiplicaciones, obtenemos:

i (t) = K_{1} \cos ω_{\circ} t + j K_{1} \sin ω_{\circ} t + K_{2} \cos ω_{\circ} t - j K_{2} \sin ω_{\circ} t,

y al factorizar los términos de seno y coseno:

i (t) = (K_{1} + K_{2}) \cos ω_{\circ} t + j (K_{1} - K_{2}) \sin ω_{\circ} t

No conocemos

K_{1}

K_{2}

, ni su suma o su diferencia. Parece perfectamente aceptable reemplazar las constantes

K

desconocidas con otras constantes desconocidas diferentes, por ejemplo, constantes

A

, solo para simplificar las cosas.

Si hacemos

A_{1} = (K_{1} + K_{2})

A_{2} = j (K_{1} - K_{2}

) entonces

i (t)

es:

i (t) = A_{1} \cos ω_{\circ} t + A_{2} \sin ω_{\circ} t

Utilizamos las identidades de Euler para volver a escribir las exponenciales complejas en términos de sumas de funciones trigonométricas. En esta ecuación, es la primera vez que en electrónica vemos un seno o un coseno como una función del tiempo (una onda sinusoidal).

(Observa cómo definimos

A_{2}

para incluir

j (K_{1} - K_{2})

, de tal forma que

j

no aparezca directamente en la propuesta de solución).

Probar la propuesta de solución

A continuación, verificamos nuestra propuesta de solución al sustituirla en la ecuación diferencial de segundo orden. Si podemos determinar valores para las constantes de tal forma que se satisfaga la ecuación, nuestra propuesta es una ganadora.

Determinar las condiciones iniciales

Las condiciones iniciales necesarias para un circuito de segundo orden son un poco más intrincadas que las de uno de primer orden. Cuando hicimos esto para circuitos de primer orden,

RC

RL

, teníamos que conocer un solo valor, una corriente inicial o un voltaje inicial. Con un circuito

LC

, que es de segundo orden, necesitamos conocer dos valores al momento en el que cierra el interruptor: la corriente y la derivada de la corriente.

Escribimos todo lo que sabemos al tiempo

t = 0^{-}

(el instante previo a que se cierre el interruptor):

El interruptor está abierto, por lo que $i (0^{-}) = 0$ ‍
El voltaje inicial del capacitor está dado: $v_{C} (0^{-}) = - V_{0}$ ‍.

t = 0^{+}

es el instante posterior a que se cierra el interruptor, nuestro objetivo es encontrar

i (0^{+})

d i / d t (0^{+})

Conocemos algunas propiedades de los inductores y los capacitores que nos permitirán ir de

t = 0^{-}

t = 0^{+}

La corriente en un inductor no puede cambiar instantáneamente, por lo que
$i (0^{+}) = i (0^{-}) = 0.$ ‍
El voltaje de un capacitor no puede cambiar instantáneamente, por lo que
$v (0^{+}) = v (0^{-}) = V_{0} .$ ‍

(Después de que se cierra el interruptor solo hay un voltaje

v

, por lo que de ahora en adelante simplemente lo llamaremos

v

Ahora sabemos cuánto vale

i (0^{+})

, pero todavía no conocemos

d i / d t (0^{+})

. ¿Cómo podemos obtener esta derivada? ¿Qué tal de la ecuación

i

v

del inductor?

v = L \frac{d i}{d t}

\frac{d i}{d t} (0^{+}) = \frac{1}{L} v (0^{+})

\frac{d i}{d t} (0^{+}) = \frac{1}{L} V_{0}

Ahora tenemos nuestra segunda condición inicial. Esta establece que en el instante posterior al cierre del interruptor, la corriente en el inductor comienza a cambiar con una pendiente de

V_{0} / L

amperes cada segundo.

Resumen de las condiciones iniciales

i (0^{+}) = 0

\frac{d i}{d t} (0^{+}) = \frac{1}{L} V_{0}

Usar las condiciones iniciales para encontrar $A_{1}$ ‍ y $A_{2}$ ‍

Utilizamos nuestras condiciones iniciales una a la vez para determinar las constantes. La primera condición inicial es

i = 0

t = 0^{+}

. Sustituyámosla en la solución propuesta y veamos a dónde nos lleva:

i (t) = A_{1} \cos ω_{\circ} t + A_{2} \sin ω_{\circ} t

0 = A_{1} \cos (ω_{\circ} \cdot 0) + A_{2} \sin (ω_{\circ} \cdot 0)

0 = A_{1} \cos 0 + A_{2} \sin 0

\begin{array}{r} 1 \\ 0 = A_{1} \cos 0 \end{array} \begin{array}{r} 0 \\ + A_{2} \sin 0 \end{array}

0 = A_{1}

Por lo tanto,

A_{1}

0

; así, el término coseno desaparece de la solución. Nuestra propuesta ahora se ve como:

i (t) = A_{2} \sin ω_{\circ} t

Para determinar la constante

A_{2}

, utilizamos la segunda condición. La derivada de

i

t = 0^{+}

es:

\frac{d i}{d t} (0^{+}) = \frac{1}{L} V_{0}

Calculamos la derivada de la

i (t)

propuesta:

\frac{d i}{d t} = \frac{d}{d t} (A_{2} \sin ω_{\circ} t)

\frac{d i}{d t} = ω_{\circ} A_{2} \cos ω_{\circ} t

Al evaluar esta expresión en

t = 0

, obtenemos:

\frac{1}{L} V_{0} = ω_{\circ} A_{2} \cos (ω_{\circ} \cdot 0)

\frac{1}{L} V_{0} = ω_{\circ} A_{2} \cdot 1

A_{2} = \frac{1}{ω_{\circ} L} V_{0}

Podemos expresar

ω_{\circ}

en términos de

L

C

para obtener:

A_{2} = \sqrt{\frac{C}{L}} V_{0}

Y finalmente, después de un montón de trabajo duro, la solución para la corriente es:

i (t) = \sqrt{\frac{C}{L}} V_{0} \sin ω_{\circ} t

Los valores reales de los componentes

Para demostrar cómo se ve la solución, consideremos valores reales para los componentes. Tomemos

L = 1

henry y

C = 1 / 4

farad, y un voltaje inicial en el capacitor de

10 V

La frecuencia natural,

ω_{\circ}

, es:

ω_{\circ} = \sqrt{\frac{1}{LC}} = \sqrt{\frac{1}{1 \cdot 1 / 4}} = 2 radianes/segundo

La corriente como función del tiempo es:

i (t) = \sqrt{\frac{C}{L}} V_{0} \sin ω_{\circ} t = \sqrt{\frac{1 / 4}{1}} 10 \sin ω_{\circ} t

i (t) = 5 \sin 2 t

La corriente comienza a circular en el momento en el que se cierra el interruptor:

La corriente empieza con un patrón de onda sinusoidal que continúa por siempre (en este circuito ideal no hay resistencia, por lo que la energía nunca se disipa. En la vida real, el circuito tiene una pequeña resistencia que eventualmente disipa la energía).

La frecuencia natural de la onda sinusoidal es

ω_{\circ} = 2 radianes / segundo

. Podemos convertir de radianes por segundo a ciclos por segundo (también conocidos como hertz, o

Hz

) usando el hecho de que

1

ciclo completo para una función seno corresponde a

2 π

radianes. A menudo utilizamos el símbolo

f

para ciclos por segundo. La conversión es:

ω = 2 π f

La frecuencia natural del circuito en ciclos por segundo, o hertz

(Hz)

es:

f = \frac{2 radianes/segundo}{2 π} = \frac{1}{π} Hz,

o, de manera equivalente, la corriente hace un ciclo completo cada

π

segundos.

Un vistazo rápido a las condiciones iniciales

Podemos mirar de cerca el origen para ver cómo la solución tomó en cuenta las condiciones iniciales. La onda sinusoidal comienza en el origen,

i = 0

. Observa cómo la pendiente de la onda sinusoidal azul cerca del origen coincide con la pendiente de la recta negra, cuyo valor es

i = 10 A / s

El voltaje, $v (t)$ ‍

Hasta este punto, hemos determinado la corriente. Si quieres ir un poco más lejos, intenta determinar el voltaje,

v (t)

Encuentra una expresión para $v (t)$ ‍ después de que se cierra el interruptor.

Para determinar

v

en términos de

d i / d t

, probablemente la ruta más rápida sea usar la ecuación

i

v

del inductor.

v (t) =

Resumen

Deducimos la respuesta natural de un circuito

LC

al primero construir la siguiente ecuación diferencial homogénea de segundo orden:

\frac{d^{2} i}{d t^{2}} + \frac{1}{LC} i = 0

Posteriormente propusimos una solución de la forma

K e^{s t}

, la cual nos dio la ecuación característica del circuito:

s^{2} + \frac{1}{LC} = 0

Cuando calculamos las raíces de la ecuación característica, nos encontramos con una expresión muy extraña:

e^{j ω_{\circ} t}

, una exponencial con exponente complejo. Buscamos lejos dentro de nuestra bolsa de trucos y sacamos...

Las identidades de Euler

e^{+ j x} = \cos x + j \sin x

e^{- j x} = \cos x - j \sin x

Estas identidades nos permiten expresar la exponencial compleja como una combinación de funciones seno y coseno (en ingeniería eléctrica utilizamos la letra

j

para denotar

\sqrt{- 1}

Luego observamos cuidadosamente el circuito para determinar las condiciones iniciales. Para un sistema de segundo orden, encontramos valores iniciales para

i

y para

d i / d t

Encontramos una función

i (t)

que satisface la ecuación diferencial:

i (t) = \sqrt{\frac{C}{L}} V_{0} \sin ω_{\circ} t

ω_{\circ} \equiv \sqrt{\frac{1}{LC}}

es la frecuencia natural del circuito

LC

V_{0}

es el voltaje inicial en el capacitor.

(Esta solución es válida cuando la corriente inicial en el inductor es

0

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Antecedentes

Qué vamos a construir

Introducción

Los sistemas de primer orden

Los sistemas de segundo orden

La respuesta natural

La respuesta natural de un circuito de 2‍ .o orden

Proponer una solución

Las identidades de Euler

Utilizar las identidades de Euler

Probar la propuesta de solución

Determinar las condiciones iniciales

Resumen de las condiciones iniciales

Usar las condiciones iniciales para encontrar A1‍ y A2‍

Los valores reales de los componentes

Un vistazo rápido a las condiciones iniciales

El voltaje, v(t)‍

Resumen

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La respuesta natural de un circuito de $2$ ‍.o orden

Usar las condiciones iniciales para encontrar $A_{1}$ ‍ y $A_{2}$ ‍

El voltaje, $v (t)$ ‍