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Curso: Ingeniería eléctrica > Unidad 2

Lección 4: Respuesta natural y forzada

La respuesta de un circuito RC a un voltaje de escalón

¿Cómo responde un circuito RC a un escalón de voltaje? Resolvemos la respuesta total como la suma de la repuesta forzada y la natural. La respuestas del paso RC es un comportamiento fundamental de todos los circuitos digitales. Escrito por Willy McAllister.

Provoquemos una abrupta subida de voltaje en un circuito resistor-capacitor

(RC)

y observemos qué le ocurre al voltaje que pasa a través del capacitor.

Queremos encontrar el voltaje

v (t)

a través del capacitor como función del tiempo.

Cuando algo cambia en un circuito, como, por ejemplo, cuando cerramos un interruptor, los voltajes y las corrientes en el circuito se ajustan a las nuevas condiciones. Si el cambio es un escalón de voltaje, es decir, una subida abrupta de cero a un valor constate de voltaje, decimos que la respuesta de los voltajes y las corrientes es una respuesta al escalón. Esta respuesta al escalón es una manera frecuente de darle al circuito un pequeño "empujón" para ver lo que hace, y nos dice bastante sobre las propiedades del mismo.

Qué vamos a construir

Podemos separa la respuesta total de un circuito en una respuesta forzada más una respuesta natural. Podemos combinar estas respuestas por medio del principio de superposición.

Calculamos la respuesta forzada con las fuentes prendidas, pero con las condiciones iniciales (energía interna almacenada) iguales a cero.
La respuesta natural es lo que hace el circuito cuando incluimos las condiciones iniciales (los voltajes iniciales en los capacitores o las corrientes iniciales en los inductores) en ausencia de fuentes.

total = forzada + natural

Derivamos la respuesta al escalón de un circuito

R C

por medio del siguiente método para las respuestas forzada y natural:

v (t) = V_{S} + (V_{0} - V_{S}) e^{- t / RC}

V_{S}

es la altura del escalón de voltaje.

V_{0}

es el voltaje inicial sobre el capacitor.

Encontrar la respuesta al escalón de un circuito $RC$ ‍

Estamos interesados en el voltaje en el capacitor,

v

como una función del tiempo. Empezamos por ver qué sucede antes de que se cierre el interruptor. Después nos adelantamos mucho en el tiempo y averiguamos en dónde termina el circuito. Por último, vemos qué sucede entre que se cierra el circuito y mucho tiempo en el futuro.

Estado inicial

Antes de que se cierre el interruptor,

(t < 0)

, el esquema nos dice que existe un voltaje inicial en el capacitor:

v (0) = V_{0}

Sabemos que la corriente en el circuito es

0

porque el interruptor está abierto. Estas son las condiciones iniciales del circuito.

Estado final

Si cerramos el interruptor en

t = 0

, la corriente empezará a fluir alrededor del circuito que ahora ya está completo. La corriente continuará fluyendo mientras haya una diferencia de voltaje a través del resistor.

En algún momento en el futuro, el voltaje en el capacitor,

v

, será igual al voltaje de la fuente,

V_{S}

. Cuando esto suceda, el voltaje a través del resistor,

V_{S} - v

, será

0

y la corriente caerá a

0

. Ese es el estado final del circuito.

Resumen: el circuito empieza sin corriente y termina sin corriente, pero el voltaje (y la corriente) hacen algo entre el inicio y el fin.

Periodo de transición

Entre el estado inicial y el estado final, la corriente y el voltaje se ajustan a las nuevas condiciones impuestas por la fuente de voltaje. Al periodo en el que las condiciones están cambiando le llamamos periodo de transición. El cambio en

v

durante este tiempo es la respuesta de transición del circuito

RC

. En nuestro ejemplo, cerrar el interruptor le aplica un escalón de voltaje al circuito

RC

, por lo que también la llamamos respuesta escalón.

Vamos a usar nuestro conocimiento de los estados inicial y final, más lo que sabemos acerca de

R

C

, para obtener una comprensión precisa de la respuesta de transición.

Análisis

Para comenzar el análisis de este circuito, usamos la ley de corriente de Kirchhoff para escribir una ecuación para la corriente en el nodo superior derecho. Sumamos las corrientes que fluyen fuera del nodo:

\begin{array}{cccl} i_{R} & + & i_{C} & = 0 \\ \frac{v - V_{S}}{R} & + & C \frac{d v}{d t} & = 0 \end{array}

Desenredemos esta expresión para que se vea como una ecuación diferencial:

\frac{v}{R} - \frac{V_{S}}{R} + C \frac{d v}{d t} = 0

C \frac{d v}{d t} + \frac{v}{R} = \frac{V_{S}}{R}

\frac{d v}{d t} + \frac{v}{RC} = \frac{V_{S}}{RC}

condición inicial:

v (0) = V_{0}

Esta es la ecuación diferencial que debemos resolver. El lado derecho tiene el término

V_{S} / RC

, que no involucra a

v

o a una derivada de

v

. Debido a esto, decimos que la ecuación es no homogénea.

Resolver una ecuación diferencial no homogénea no es la cosa más sencilla del mundo, por lo que vamos a desarrollar una estrategia.

Estrategia: encontrar las respuestas forzada y natural

Las dos dificultades (señal de entrada y condiciones iniciales) hacen que resolver una ecuación no homogénea sea una lata; las matemáticas pueden complicarse. Nuestra estrategia, como de costumbre, es partir el problema en partes. Separamos el problema grande en dos problemas más sencillos al tratar las respuestas forzada y natural una a la vez. Resolver las respuestas forzada y natural por separado es más simple que aventarnos de cabeza sobre la ecuación no homogénea.

¿Qué es la respuesta forzada? La respuesta forzada es cómo se ve la salida (el voltaje en el capacitor) a la larga, cuando, eventualmente, toda la energía almacenada se ha disipado. La respuesta forzada hace esto al ignorar la presencia de elementos capaces de almacenar energía (en este caso, ignora el capacitor y su voltaje inicial).

La respuesta forzada no puede decirnos qué ocurre al principio, cuando cierra el interruptor, o durante la transición al estado final, pues ignora la energía almacenada. Para esto, necesitamos la respuesta natural.

La respuesta natural nos dice qué hace el circuito conforme permitimos que la energía interna que tiene almacenada (el voltaje inicial en el capacitor) se disipe. Esto lo logra al ignorar el forzamiento de entrada (el escalón de voltaje provocado por el cierre del interruptor). El "destino" de la respuesta natural siempre es cero voltaje y cero corriente.

Al final, combinamos las respuestas natural y forzada para obtener la historia completa. La respuesta forzada impone su voluntad sobre la respuesta natural y le da un destino distinto de cero. Esto nos da la respuesta total.

La respuesta forzada más la natural es superposición

La respuesta forzada considera las entradas externas.
La respuesta natural considera las condiciones iniciales internas.
Obtenemos la respuesta total al sumar las dos.
Este es el principio de superposición en acción.

\begin{array}{clcc} \underset{―}{Condiciones iniciales} & \underset{―}{Entradas} \\ Respuesta forzada & 0 & e n t (t) \\ + & Respuesta natural & Conds. Inic. & 0 \\ = & \overset{―}{Respuesta total} & Conds. Inic. & e n t (t) \end{array}

v_{t} = v_{f} + v_{n}

(Los subíndices

_{t}

_{f}

_{n}

denotan las respuestas total, forzada y natural, respectivamente).

En matemáticas, describimos este método con los términos:

\begin{array}{clcc} \underset{―}{Condiciones iniciales} & \underset{―}{Entradas} \\ Solución particular & 0 & e n t (t) \\ + & Solución homogénea & Conds. Inic. & 0 \\ = & \overset{―}{Solución completa} & Conds. Inic. & e n t (t) \end{array}

A la solución homogénea también la llamamos "solución complementaria".

Más jerga: nuestra ecuación diferencial es una ecuación diferencial no homogénea de primer orden con coeficientes constantes. Qué trabalenguas.

Homogénea significa que los términos de la ecuación contienen $v$ ‍ o derivadas de $v$ ‍, y nada más. En específico, no hay término constante.
No homogénea significa que hay algún otro término además de $v$ ‍ o las derivadas de $v$ ‍. Así es como resultó la ecuación del circuito $RC$ ‍ forzado.
Primer orden significa que la derivada más alta es la primera derivada.
Coeficiente constante significa que los valores de los componentes $(R, C, etcétera)$ ‍ no cambian conforme pasa el tiempo.
Ordinaria significa que solo hay una variable independiente, $t$ ‍.

Resolver un circuito forzado

El método para resolver un circuito forzado por una fuente externa es:

Iguala las condiciones iniciales a $0$ ‍ y resuelve la respuesta forzada.
Iguala la entrada a $0$ ‍ y resuelve la respuesta natural.
Suma la respuesta forzada a la respuesta natural para obtener la respuesta total.
Utiliza las condiciones iniciales para determinar las constantes necesarias.

Respuesta forzada del circuito RC

La respuesta forzada,

v_{f} (t)

, es la parte de la respuesta total que causa directamente la entrada, mientras suponemos que todas las condiciones iniciales son

0

. Nos olvidamos de las condiciones iniciales por el momento, y buscamos una solución a la ecuación diferencial no homogénea. La solución de la respuesta forzada usualmente es una versión escalada de la entrada.

Antes de

t = 0

, sabemos que la respuesta forzada es cero, pues la fuente de voltaje está desconectada del resistor y del capacitor.

Para

t > 0

, la ecuación es:

\frac{d v_{f}}{d t} + \frac{v_{f}}{RC} = \frac{V_{S}}{RC}

Nuestro acercamiento es proponer una solución para la respuesta forzada

v_{f}

, y probarla. Para esta respuesta, una buena suposición es una función que se parezca a la entrada. Ya que la entrada es constante para

t > 0

, propongamos que la respuesta forzada también sea una constante:

v_{f} = K_{f}

Para ver qué ocurre, sustituye este valor en la ecuación diferencial para

t > 0

\frac{d K_{f}}{d t} + \frac{K_{f}}{RC} = \frac{V_{S}}{RC}

El término de la derivada es

0

, lo que nos deja con:

\frac{K_{f}}{RC} = \frac{V_{S}}{RC}

Así que la ecuación diferencial forzada se satisface si:

v_{f} = K_{f} = V_{S}

Esta es nuestra respuesta forzada:

(Por casualidad, se ve exactamente igual a la entrada).

Respuesta natural del circuito RC

Ahora determinamos la respuesta natural. (Puedes revisar la deducción en detalle en el artículo sobre la respuesta natural del circuito RC). Para la respuesta natural, suprimimos (apagamos, igualamos a cero) la entrada y resolvemos el circuito por sí mismo.

Apagar la entrada significa reemplazar la fuente de voltaje con un cortocircuito. Cuando suprimimos las entradas, el lado derecho de la ecuación diferencial no homogénea original se vuelve

0

, convirtiéndose en una ecuación diferencial homogénea. (Sabemos cómo resolver estas).

\frac{d v_{n}}{d t} + \frac{v_{n}}{RC} = 0

Proponemos una solución para

v_{n}

en forma de una exponencial con dos parámetros ajustables y la probamos.

v_{n} = K_{n} e^{s t}

Sustituimos esta expresión en la ecuación diferencial homogénea.

s K_{n} e^{s t} + \frac{1}{RC} K_{n} e^{s t} = 0

Podemos factorizar el término común

K_{n} e^{s t}

K_{n} e^{s t} (s + \frac{1}{RC}) = 0

K_{n}

e^{s t}

son finitos,

K_{n} e^{s t}

nunca es igual a

0

. Si alguno de los dos se vuelve

0

, la respuesta es aburrida. Sin embargo, obtenemos una solución no trivial si:

s + \frac{1}{RC} = 0

Llamamos a esta la ecuación característica del sistema

RC

. Veremos muchas más de estas en el futuro.

s = - \frac{1}{RC}

Esto nos da la respuesta natural:

v_{n} = K_{n} e^{- t / RC}

Hacer esta cosa de la ecuación homogénea nos permitió encontrar

s

y la respuesta natural. La respuesta natural es una respuesta del circuito

RC

, y no está enredada con alguna función de entrada. Todavía tenemos que determinar

K_{n}

. Lo haremos en un momento, como parte de la respuesta total.

Respuesta total = respuestas forzada + natural

La respuesta forzada tomó en cuenta la señal de entrada.
La respuesta natural tomó en cuenta las condiciones iniciales internas.
Ahora las juntamos para obtener la respuesta total, que toma en cuenta ambas características.

v_{t} = v_{f} + v_{n}

v_{t} = V_{S} + K_{n} e^{- t / RC}

Utilizar las condiciones iniciales para encontrar $K_{n}$ ‍

Este es el punto donde usamos las condiciones iniciales para determinar

K_{n}

. Sabemos que la respuesta total al tiempo

t = 0

tiene que ser

v_{t} = V_{0}

(la respuesta total, no solo la respuesta natural). Sustituyamos lo que sabemos de

t = 0

en la ecuación para la respuesta total:

V_{0} = V_{S} + K_{n} e^{- 0 / RC}

La expresión exponencial se vuelve

1

, y nos quedamos con:

V_{0} = V_{S} + K_{n}

K_{n} = V_{0} - V_{S}

Ensamblar la respuesta total

Ahora sustituimos

V_{0} - V_{S}

en la respuesta total y obtenemos:

v_{t} = V_{S} + (V_{0} - V_{S}) e^{- t / RC}

Y eso es todo. Esta es la respuesta total a un escalón de voltaje para un circuito

RC

en serie.

Si el capacitor no tuviera voltaje inicial,

v (0) = 0

, entonces la ecuación para la respuesta total es:

v_{t} = V_{S} - V_{S} e^{- t / RC}

v_{t} = V_{S} (1 - e^{- t / RC})

Comentarios finales

¿Qué significa la respuesta forzada? La respuesta forzada básicamente ignora tanto la energía almacenada en el capacitor como su voltaje inicial. La respuesta forzada nos dice dónde va a parar el voltaje de salida a la larga, una vez que toda la energía almacenada se ha disipado.

La respuesta forzada no nos dice qué ocurre al principio o durante la transición al estado final, pues ignora la energía almacenada.

La respuesta natural nos dice qué hará un circuito aislado si su energía interna se puede disipar. El "destino" de la respuesta natural siempre es cero. La respuesta forzada le da un nuevo destino a la respuesta natural. En nuestro ejemplo, este nuevo destino fue

V_{S}

Resumen

Hablamos sobre cómo resolver un circuito resistor-capacitor con un voltaje de forzamiento. Usamos la ley de la corriente de Kirchhoff para construir una ecuación diferencial que representara al circuito, y la resolvimos por medio del método de las respuestas forzada y natural.

La respuesta forzada es lo que hace el circuito cuando las fuentes están encendidas, pero las condiciones iniciales son iguales a cero.
La respuesta natural es lo que hace el circuito al incluir las condiciones iniciales y eliminar la entrada.
La respuesta total es la suma de la respuesta forzada más la respuesta natural. Podemos combinar estas respuestas con el principio de superposición.

respuesta total = respuesta forzada + respuesta natural

Para una malla

R C

en serie, la respuesta al escalón es:

v = V_{S} + (V_{0} - V_{S}) e^{- t / RC}

V_{S}

es el escalón de voltaje y

V_{0}

es el voltaje inicial en el capacitor.

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