El estadístico ji cuadrada para la prueba de hipótesis

digamos que tenemos un examen estandarizado donde cada pregunta del examen tiene cuatro posibles opciones de respuesta la opción a la opción b la opción c y la opción de las personas que diseñaron el examen aseguran que al paso de muchos años las opciones a b c yd tiene la misma probabilidad de ser la respuesta correcta para cualquiera de las preguntas es decir que la respuesta correcta tiene una probabilidad del 25 por ciento de estar en cualquiera de las opciones ahora digamos que ustedes tienen una corazonada de que las respuestas tienen una desviación hacia una opción u otra como podemos probar esto podemos comenzar con una hipótesis nula y con una hipótesis alternativa de manera que podamos hacer una prueba de hipótesis digamos que la hipótesis nula es las opciones correctas se distribuyen de igual manera es decir que hacer ya la opción correcta el 25% de las veces de el 25% de las veces se el 25% de las veces y de el 25% de las veces la hipótesis alternativa es que las opciones correctas no se distribuyen de igual era como vamos a probar las hipótesis ya sabemos cómo comenzar con estas pruebas primero tenemos la población de todos los elementos posibles y tomamos una muestra digamos que la muestra es de 100 elementos por lo que n es igual a 100 vamos a escribir los datos que obtenemos de esa muestra esta es la opción correcta este sería el número esperado y este es el número real en un momento veremos a qué nos referimos con esto tenemos cuatro opciones diferentes a b c y d recordemos que en una prueba de hipótesis empezamos por suponer que la hipótesis nula es verdadera en este caso la hipótesis nula es la que dice que todas las opciones tienen la misma probabilidad de ser la opción correcta así que el número esperado de la opción a sería el 25% de estos 100 elementos que es 25 lo mismo pasa para la opción b para la opción c y la opción de ahora digamos que los resultados reales que encontramos para cada opción al analizar los 100 elementos son la opción a fue la opción correcta 20 veces la opción b fue la correcta 20 veces la opción se fue la opción correcta 25 veces y la opción de fue la correcta 35 veces al ver las cantidades reales podríamos pensar que d tiene una frecuencia más alta pero recordemos que esto es solamente una muestra y por aleatoriedad obtuvimos más opciones de que las otras hay cierta probabilidad de obtener este resultado aún suponiendo que la hipótesis nula es verdadera esta es justamente la meta de estas pruebas de hipótesis saber cuál es la probabilidad de obtener un resultado por lo menos así de extremo y si esa probabilidad es menor que cierto umbral entonces tendemos a rechazar la hipótesis nula y aceptar la alternativa estos umbrales los hemos visto con anterioridad como niveles de significancia digamos que el nivel de significancia es del 5% por lo que si la probabilidad de obtener este resultado o algún resultado más alejado de lo esperado es menor que este umbral entonces rechazamos la hipótesis nula todo esto nos lleva a una cuestión interesante cómo podemos calcular la probable de tener un resultado así de extremo o más extremo como podemos medirlo pues vamos a ver un estadístico nuevo para ayudarnos con esta cuestión así como también veremos una nueva letra griega la letra g mayúscula que parece como una equis pero algo más curvada el estadístico se llama ji cuadrada y es una forma de calcular la diferencia entre el valor real y el valor esperado y traducir esto en un número la distribución de ji cuadrada está muy bien estudiada y la podemos usar para encontrar la probabilidad de obtener un resultado así de extremo o más extremo si el número obtenido es menor que el nivel de significancia entonces rechazamos la hipótesis nula lo cual sugiere la alternativa como calculamos el estadístico he cuadrada no es difícil para cada una de estas categorías calculamos la diferencia entre el valor real y el valor esperado para la opción a el valor real es 20 y le restamos el valor esperado de 25 elevamos al cuadrado esta diferencia y la dividimos entre el valor esperado le sumamos lo mismo para la opción b 20 menos 25 al cuadrado entre 25 que es el valor esperado sumamos para la opción c 25 menos 25 al cuadrado entre 25 y por último sumamos para la opción de 35 menos 25 al cuadrado entre 25 si calculamos esto tenemos 20 menos 25 al cuadrado nos da 25 esto también da 25 esto es 0 35 menos 25 es 10 al cuadrado es 100 tenemos uno más uno más 04 por lo que el estadístico cuadrada en este ejemplo es igual a 6 y ahora qué hacemos con este número pues lo podemos buscar en la distribución y cuadrada para los grados de libertad apropiados de los cuales hablaremos en un momento y encontrar cuál es la probabilidad de que el estadístico cuadrada sea igual o mayor que 6 para entender cómo se ve una distribución cuadrada aquí vemos varias distribuciones y para diferentes grados de libertad para calcular los grados de libertad tenemos que ver el número de categorías que tenemos en nuestro ejemplo tenemos cuatro categorías y vamos a restarle uno a este número esto tiene mucho sentido porque si supiéramos con anticipación cuántos valores de a dv dice o de de ay si supiéramos las proporciones e incluso las proporciones supuestas entonces siempre podemos calcular la cuarta es por eso que tenemos cuatro menos 1 grados de libertad son 3 en la gráfica los grados de libertad pueden estar representados con una capa la línea de acá igual a 3 es de color azul claro así que nos vamos a fijar en esta línea azul que corresponde a 3 grados de libertad y queremos encontrar la probabilidad de obtener un estadístico he cuadrada que sea mayor o igual que 6 así que nos interesa esta área de acá podemos encontrar esto usando una calculadora o si estamos resolviendo un examen tipo ap statistics podemos usar las tablas que nos proporcionan como esta tabla de aquí recordemos que tenemos tres grados de libertad tenemos cuatro categorías y restamos 1 y nos da 3 el valor de la cuadrada es 6 por lo que esto de aquí nos dice que la probabilidad de obtener un valor igual o mayor que 6.25 para la gi cuadrada es del 10% si vemos de nuevo esta imagen sabemos que la probabilidad de tener 6.25 o más cuando tenemos 3 grados de libertad esto de aquí es el 10% y si esto es 10% entonces la probabilidad de tener un valor de la cuadrada mayor o igual que 6 va a ser mayor al 10% también podemos ver esto como el valor p así que para nuestra probabilidad suponiendo que la hipótesis nula es verdadera si es mayor al 10% entonces definitivamente es mayor que nuestro nivel de significancia debido a esto no podemos rechazar la hipótesis nula este es un ejemplo de que aunque nuestra muestra resulte tener más de es la probabilidad de tener un resultado tan extremo como lo que vimos va a ser un poco mayor al 10% nos vemos en el siguiente vídeo