Error cuadrático en la regresión lineal

en estos vídeos nos vamos a embarcar en una aventura para obtener una fórmula que luego es muy fácil de aplicar en los cursos de estadística pasa como en los vídeos de cocina nada más te muestran el resultado final así de la nada aquí vamos a ver cómo sacarla sin embargo te advierto que vamos a usar matemáticas espeluznantes porque pues va a haber muchas cuentas casi todas de ellas algebraicas al final se pone un poquito más padre pues vamos a usar parciales y cálculos pero si algo de esto te suena muy espantoso o crees que te va a desanimar no tienes que ver todo de hecho hasta el final de los vídeos puedes ver el resultado recién sacado del horno de cualquier forma lo que yo te recomiendo es deducir la fórmula conmigo porque es mucho más satisfactoria todo empieza tomando n puntos en el plano xy voy a dibujar aquí un plano x para poner los n puntos como puedes ver estoy dibujando nada más el primer cuadrante pero esto no tiene por qué ser así de hecho me voy a quedar en el primer cuadrante nada más por comodidad ahora supongamos que tenemos este punto de por aquí no mejor déjame hacerlo con colores distintos ahora sí supongamos que tenemos este punto de aquí y que sus coordenadas son x1 como de uno luego supongamos que tenemos otro punto no sé pues por acá sabes que mejor lo hago también con otro color distinto ok entonces tenemos otro punto por acá con coordenadas x 2,72 y después voy a seguir agregando puntos déjame dibujar algunos más voy a poner este y este y este de acá y pues voy a hacer esto hasta llegar al enésimo punto entonces por acá voy a dibujar el enésimo punto digamos algo de este estilo y va a tener coordenadas x n coma tiene muy bien entonces tenemos n puntos dibujados en el plano xy aquí ya dibujé a todos ellos lo que quiero hacer es encontrar una línea que minimice el error cuadrática a estos puntos de acá déjame visualizar esta línea más o menos entonces va a existir una línea que ahorita voy a intentar dibujar que en cierto sentido va a aproximar a los puntos la voy a dibujar más o menos algo así si no sabes que un poco más parecida a los puntos algo de éste y no quería que pasara por el punto de allá a ver ahí va un intento más algo de este estilo muy bien esto va a estar mejor o sea realmente no sé si se va a ver así pero lo que quiero hacer es minimizar el error cuadrática de cada uno de estos puntos a la línea favorita te cuento del error cuadrática antes de eso supongamos que la ecuación de esta línea es que es igual a mx + b esta expresión viene directamente de álgebra 1 aquí tenemos la pendiente de la línea la pendiente y b es la ordenada al origen de hecho la línea intersecta por acá en el 0 b 0 va con este planteamiento lo que quiero hacer en este y los siguientes vídeos es encontrar una m y una b es decir las dos variables que definen a la recta de modo que se minimice el error cuadrática y aquí te preguntas qué es el error cuadrática pasemos a eso para cada uno de los puntos diremos que el error entre él y la línea es la distancia vertical entre ellos entonces a esto que voy a marcar por aquí este de aquí le vamos a llamar el error 1 el error 1 ahora a este de acá a este que estoy marcando le vamos a llamar el error número 2 es su distancia vertical hacia la línea también lo puedes pensar en coordenadas como la diferencia de las coordenadas en g ahora vamos a seguir haciendo esto hasta el enésimo punto tomamos la diferencia de las coordenadas en del punto y del punto en la línea ahora vamos al error 1 si pensamos un poquito es este valor de 1 es decir el error es igual a 1 menos el punto correspondiente en la línea y cómo le hacemos para encontrar este punto pues a ver aquí tenemos x igual a x1 y este punto está sobre la línea entonces sería igual a mx1b verdad simplemente estamos tomando x1 en esta ecuación de la línea para obtener el punto sobre la línea entonces va a ser igual a mx1 más b muy bien esto de aquí es el primer error vamos a seguir con los otros puntos con el segundo punto vamos a tener de 2 mx2 más ve porque pues o sea este punto de acá es mx2b porque ahora estamos en valor x igual a x2 en esta línea ahora vamos a seguir haciendo esto hasta el enésimo punto este último error el enésimo va a ser llene menos m x ahora xe n por equis n más b ok ahora lo que queremos hacer es de cierta forma minimizar el error total pero no vamos simplemente a sumar todos los errores lo que queremos hacer es minimizar la suma de los errores pero al cuadrado sale entonces lo que vamos a hacer es sumar todos estos errores pero elevados al cuadrado déjame apuntarlo para hacer el álgebra entonces vamos a definir el error cuadrática de esta línea como la suma de los cuadrados de cada uno de estos errores entonces este primer error el error 1 efe 1 - mx1b y además de eso lo vamos a elevar al cuadrado ok entonces esto de aquí es el primer error elevado al cuadrado vamos al error 2 en rojo es de 2 - y luego hay que poner que dijimos así hay que poner mx2 + b y eso de ahí vamos a elevarlo al cuadrado va otra vez elevamos al cuadrado vamos a seguir haciendo esto sumamos todo así sucesivamente hasta el enésimo error entonces vamos a llegar hasta él cn - m x n b y ese error una vez más lo vamos a elevar al cuadrado fantástico entonces esto de aquí es el error cuadrática con respecto a la línea lo que queremos hacer en los siguientes vídeos es determinar determinar los m&b que que minimicen esto que minimicen el error cuadrática con respecto a la línea esta línea de acá fíjate en que se convierte en nuestro problema si consideramos al error cuadrática como una métrica estamos haciendo una optimización así de alguna forma estaremos dando la mejor recta que se aproxima a los puntos esto lo vamos a hacer en los siguientes vídeos poco a poco número uno para no darte tantas ideas de golpe y número dos ya que estamos optimizando para minimizar la probabilidad de que me equivoqué en las cuentas hasta la próxima