Demostración de la minimización del error cuadrático en la regresión lineal. Parte 2

nuestra meta es simplificar esta expresión para el error cuadrática de los n puntos recordemos que estábamos haciendo acá arriba teníamos n puntos y estamos haciendo la suma de los errores al cuadrado de cada uno de los puntos hacia la línea tal vez debería llamarle la recta pero vamos a dejarlo en línea de ahí obtuvimos esta expresión verdad ahorita ya más o menos la empezamos a trabajar pero lo que queremos hacer ahorita es simplificar la lo más posible para poder optimizar la queremos encontrar un mínimo para el error cuadrática de la línea entonces queremos dar una m y una vez que minimicen esta expresión de aquí para hacer eso pues parece ser que ahorita pues se está poniendo más y más espeluznante el álgebra pero este siguiente paso va a simplificar mucho las cosas para mostrarte lo vamos a pensar en el promedio de el promedio de las jie cuadradas con promedio me refiero a media aritmética vale nos quedaría 1 al cuadrado más de 2 al cuadrado más y así sucesivamente hasta que llegamos a g n al cuadrado ahí tenemos la suma de n valores entonces hay que dividir entre la cantidad que es n esto de aquí lo vamos a denotar de la siguiente forma vamos a ponerle ya al cuadrado promedio va el gorrito quiere decir el promedio y aquí abajo vamos a ponerle cuadrado este es el promedio de las jie cuadradas ahora si multiplicamos a ambos lados de la ecuación por n obtenemos lo siguiente lleva 1 al cuadrado más de 2 al cuadrado más y así sucesivamente hasta que llegamos a más n al cuadrado es igual a n veces estamos multiplicando por n déjame ponerlo con color amarillo lo voy a poner así entonces es igual a n multiplicado por el promedio de las jie cuadradas ya cuadrada promedio observa que esto de aquí este primer término de nuestra suma es exactamente n veces el promedio de las ye cuadradas vale muy bien entonces esto de aquí es la idea para simplificar un poquito la expresión ahorita vamos a seguir haciendo esto para cada uno de los términos pasemos al segundo sumando a equis uno y uno más x 2 de 2 + tatata y así hasta más x n&n bueno si tenemos toda esta suma y la dividimos entre n porque son n términos nos quedaría el promedio de los x y así lo vamos a denotar como x barrita osea sumamos con todos los subíndices y luego dividimos entre n una vez más si multiplicamos por n ambos lados obtenemos lo siguiente x 1 y 1 más x 2 2 más y así sucesivamente tatata mas x nn es igual a es igual a otra vez en amarillo n veces el promedio de las equis y es entonces n por xy promedio va vamos a seguir haciendo esto sin hacer las cuentas tan explícitamente acá arriba le voy a poner que este término de acá es n por el promedio de las equis y de modo similar en el tercer término nos queda n veces el promedio de los valores de las yes eso es este término de aquí luego pasando acá abajo tenemos n veces el promedio de las x es cuadradas a lo mejor suena mejor si digo el promedio de los valores de las x es cuadradas bueno como sea luego por acá tenemos el promedio de las x es x n porque pues si estuviera dividido entre n sería el promedio pero como no lo está es n veces el promedio finalmente hay un n b cuadrada que vamos a dejar así bueno vamos a reescribir todo para estrenar nuestra nueva anotación en términos de promedios después las íes cuadradas y los productos y así entonces nos queda que el error cuadra de la línea es el error cuadra tico de ciertos puntos a la línea mx ve es igual a este primer sumando déjame usar colores distintos no voy a poner así en morado es n x el promedio de las jie cuadradas muy bien luego el segundo término que voy a pintar así en verde deja pongo todo en verde es menos dos veces m es esto de ahí x n multiplicado por el promedio de los productos xy muy bien vamos al tercer término y creo que ahorita ya vas a ver que esto se simplifica un poco más va a estar en términos de promedios pero esos van a ser constantes es menos dos veces p x n veces n veces el promedio de los valores de jacques allá arriba no le había puesto promedio bueno no le hace luego tenemos más que este término de acá más m cuadrada m cuadrada por n multiplicado por el promedio de los valores de los x cuadrada de las x cuadrada y luego ya casi acabamos es el último jalón es más dos veces mb x n multiplicado por el promedio de los valores de x y finalmente tenemos que sumar n veces b cuadrada + n veces b cuadrada muy bien en los últimos dos o tres vídeos lo único que hemos hecho es plantear el error cuadrática y simplificar pues de alguna forma este error va otra vez este error total viene de la suma de los errores verticales de los puntos a la línea pero esos errores elevados al cuadrado esto de aquí termina con la parte intensiva de álgebra en la siguiente etapa lo que queremos hacer es optimizar esta expresión que quiero decir con optimizar esta expresión lo que queremos hacer es encontrar los valores de m y de b que minimizan esta expresión que ya acabamos de encontrar es decir pues vamos a hacer un poco de derivadas parciales y así pero bueno antes de pasar a cuentas de cálculo vamos a visualizar el error cuadrática en tres dimensiones vamos a hacer pues este error cuadra tico es una función de dos variables es una función de m dv de esta forma determinar una superficie en el espacio son sólo dos variables porque todo lo que no es ni m ni ves son constantes en efecto observa que todo lo demás como los puntos ya están dados pues es un numerito tenemos promedios de x es cuadradas y así pero son puros numeritos todas las x es y las yes vienen de puntos que ya nos dan sí entonces todos los promedios ya son ciertos números ok déjame dibujar lo voy a poner por aquí el eje el egm va luego del otro lado a este de acá le voy a poner el eje y por acá sigue el eje m los valores negativos los valores negativos del egb y finalmente podemos imaginar el eje vertical algo de este estilo verdad como el eje del error cuadra tico de la línea el error cuadrática de la línea entonces para cualquier combinación de m y de b en el plano m pues lo que hacemos es poner la arriba eso nos da un cierto error eso nos da un punto en z bueno en el error cuadrática si hiciéramos todas las posibles combinaciones de mv pues ya hemos visto que esto nos determina una superficie ahí en el espacio se va a ver más o menos algo de este estilo deja de intentar dibujarla es algo que se parece un poquito a una parábola por así decirlo ahorita no me está quedando muy bien imagínate la más bien como en 3d va entonces es más o menos como un tazón o como un calcetín o algo por el estilo déjame intentar hacer una analogía o sea acá en el plano tenemos una parábola y aquí sí está la rotar amos alrededor de su eje entonces obtendremos un paraboloide algo como la punta de un calcetín en fin lo que queremos hacer es encontrar los valores bmv que nos den este punto mínimo es decir el punto que quede más abajo en el eje del error cuadrática déjame pintar un poquito más de la superficie algo de este estilo voy a dibujar por acá la parte de atrás que es lo que no vemos hay que dar la parte de adentro del calcetín ahora lo que queremos encontrar en los valores de m y de b que hagan mínimo el valor de pues de esta superficie o sea que nos deje la mínima altura en el error cuadrática para hacer esto es decir para hacer la parte de cálculo lo que vamos a hacer es encontrar derivadas parciales primero la parcial del error cuadrática con respecto a m y luego la parcial de esta expresión con respecto a b después de eso vamos a igualar ambas parciales a 0 porque pues es la misma idea de siempre en los puntos críticos las funciones tienen derivada igual a cero de este modo aquí déjame marcarlo en este punto crítico la pendiente tanto con respecto a b como con respecto a m va a ser igual a 0 es decir en este punto la parcial del error cuadrática con respecto a m es igual a 0 y de modo similar y la parcial del error cuadrática con respecto a b también va a ser igual a 0 excelente lo que haremos en el siguiente vídeo será uno encontrar las parciales del error cuadrática con respecto a m b y dos igualadas a cero encontrar un sistema de ecuaciones a partir del cual podamos concluir en el vídeo final resolveremos el sistema y sacaremos todo del horno