Integrales dobles 6

qué tal bienvenidos de nuevo en el vídeo pasado estábamos encontrando el volumen bajo una superficie y a lo que llegamos fue a esta integral vamos a resolverla para ver qué nos queda mira nada más descubrí que puedo mover la pantalla hacia abajo y entonces ya podemos tener más espacio para trabajar pero bueno como le hacemos para evaluar esta integral pues veamos en la integral interior estamos integrando con respecto a x es decir estoy sumando todas las pequeñas alturas moviendo el valor de x como ya lo habíamos mencionado en este dibujo de acá es dejar fijo e integrar con x variable déjame cambiar colores entonces cuál es la anti derivada de xy cuadrada con respecto a x ésta es fácil de hacer es simplemente x cuadrada entre 2 por una cuadrada entonces xx cuadrada de cuadrada entre dos ahí está y tengo que evaluar con límite superior 1 y con límite inferior x igual a raíz de esto de aquí puede asustarnos un poco pero vamos a ver que no es tan difícil una vez que lo evaluamos déjame poner la integral de afuera de 0 a 1 y poner aquí de ella ahora si x es 1 cuánto vale esta expresión pues esta expresión queda simplemente ya cuadrada entre 2 y cuadrada entre 2 y ahora hay que restar el valor de cuando x vale raíz de y vamos a ver que nos queda si x es raíz de y nos queda raíz deje al cuadrado que simplemente es g y luego hay que multiplicarlo por una cuadrada entonces nos queda cúbica déjame copiarlo aquí abajo de kubica y hay que dividir entre 3 vale entonces ahora tenemos que tomar la integral con respecto a y es decir tenemos que sumar estos rectángulos en la dirección de iu nos queda de 0 a 1 y aquí nos queda de ella y esto está padre lo ves porque cuando tomamos la primera integral con respecto a x estamos dejando fijo y así que la respuesta queda como una función de y más aún también tenemos límites en función de y y aún así las cosas no se complicaron mucho pero bueno volvamos a lo que hacíamos cuál es la derivada de esta expresión ya cuadrada entre 2 - ya kubica entre 3 pues saber la anti derivada de ye cuadrado entre 2 es que cubica dividida entre 3 pero con el 12 hace tres por 26 menos llega a la cuarta entre 4 por 3 nos queda 12 no la regué por aquí en algún lugar a ver que kubica en 36 - ye cuarta entre entre a ver déjame poner aquí ya cuadrada entre 12 ahí esperan un poquito de dónde saqué este 3 de aquí aquí es donde me equivoqué debería de ser un 2 más bien a ver déjame checarlo a ver nos queda x igual a raíz de entonces raíz de g al cuadrado nos queda ahí porque cuadra de kubica pero el 2 no tuvo por qué hacerse 3 el 2 siempre debió haber sido un 2 entonces más bien habría que dividir entre 2 saleh sí verdad sí sí sí nos queda entre dos cuando tomamos la integral nos queda ya la cuarta entre cuatro que nos queda 4 x 2 que es 8 tengo que asegurarme de no hacer este tipo de errores me choca cuando pasa eso pero prefiero tachar un poquito a repetir todo el vídeo pero va ahora si quedo bien la anti derivada es llega a la cuarta entre 4 y con el 2 nos queda 4 por 2 que es ya la cuarta entre 8 ahora sólo nos queda evaluar esto en 1 y 0 y restar entonces ahí va a quedar un sexto menos un octavo menos puros ceros así que pues los ceros no no los ponemos porque no nos importan bueno el pongo aquí 10 de este modo nos queda esta resta de fracciones cuánto nos queda el denominador común es 24 aquí arriba nos queda 4 menos 34 menos 3 nos queda 1 entonces es un 24 un 24 ago efe estoy aquí es el volumen del sólido que queríamos encontrar ahora como lo hicimos en esta ocasión fue que integramos primero con respecto a xy luego con respecto a y no te da algo de curiosidad ver qué pasa si lo hacemos al revés a mí si vamos a hacerlo voy a borrar algunas cosas por aquí a ver voy a dejar este dibujo grande pero todo lo demás lo voy a borrar ahí está este es mi borrador profesional electrónico aquí está voy a borrar aquí abajo vamos a hacer mucho mucho espacio para poder trabajar bien y ahí está a ver fíjate voy a dejar esta gran figura pero lo que sí voy a volver a dibujar es el eje x pues justo lo que quiero es que sigamos practicando esto de encontrar las regiones de integración entonces ahí va ahí tenemos el eje ahora este de acá es el eje x i x ok entonces nuestros límites superiores esta curva de aquí y ésta estaba dada porque es igual a equis cuadrada o como también ya lo habíamos dicho puede ser x igual a raíz de y aquí nos queda x 1 y 1 y lo que nos importa es el volumen sobre la región sombreada vale vamos a dibujar nuestro nuestro de a es decir nuestros pequeños rectángulos entonces lo voy a hacer con color rosa a ver eso es como un color rosa mexicano va entonces la altura es de y eso ahí es una y su ancho es de x entonces el volumen el volumen sobre este pequeño cuadrado este de acá en 3d es el acá entonces el volumen sobre esto es el valor de la función en ese punto entonces nos queda x porque cuadrada y lo hay que multiplicarlo por el área de esa pequeña de esa pequeña superficie entonces ya sabemos que llevamos llamado de a pero es lo mismo que deje de x este signo de x no es necesario es si quieres puedes no hacerle caso y ahora escribí la aie primero porque lo que queremos hacer es sumar primero con respecto a ya que quiere decir sumar primero con respecto a y pues mira lo que vamos a hacer es sumar ahora verticalmente estos cuadrados que estoy poniendo por acá entonces lo que queremos hacer es sumar todas las desde entonces mi pregunta es la siguiente cuáles van a ser los límites de integración el límite superior otra vez choca con la curva fíjate choca por acá entonces cuál es a ver vamos a poner una equis fija para preguntarnos esta pregunta bien bien entonces ya que tenemos una equis fija cual es la altura de este punto entonces nuestra altura es igual a equis cuadrada porque justo ese es el valor que nos da la curva y el límite inferior está más fácil verdad el límite inferior baja choca con el eje de las equis entonces eso lo que nos dice es que el límite inferior es cero entonces esta expresión como está escrita por el momento es el volumen que está sobre esta región marcada de aquí cuando dejamos una equis fija es una rebanada de jamón cuando esta rebanada de jamón la hacemos paralela al plano al plano receta entonces es una cosa de este estilo va ahora lo que queremos hacer es sumar todo todo todo con respecto a x para sumar el área de todas esas rebanadas es decir queremos sumar los volúmenes sobre estos rectángulos entonces vamos a poner nuestros límites de x va desde x igual a 0 entonces voy a ponerle aquí desde x igual a 0 y luego integramos todo eso a este límite superior x igual a 1 vale entonces ya tenemos una expresión más para encontrar el volumen del sólido de acá la forma en la que lo pensamos es que lo último que se hace es lo de afuera tiene que ver mucho con la composición de funciones que afuera ponemos de equis entonces primero tenemos que dejar fija x y entonces trabajamos con lo de adentro entonces va otra observación al final todo nos va a quedar un número si tus límites de integración tienen una variable hasta el final es porque algo está pasando mal entonces hasta afuera siempre debe haber números en los límites de integración sin embargo adentro dejando una x fija aquí vemos que el límite inferior tiene que ser cero y el límite superior tiene que ser x cuadrada pero bueno vamos a evaluar ahora si para ver las cosas más concretamente y entonces lo primero que tenemos que hacer es integrar con respecto a y entonces nos queda x de kubica entre 3 porque x es constante acuérdate evaluado hasta x cuadradas desde cero y estamos integrando de 0 a 1 de x si ponemos x cuadrado en vez de y nos queda x cuadrada al cubo que se quizá la sexta y multiplicada por otra equis más a ver voy a escribirlo aquí entonces nos queda x x x al cuadrado al cubo entre 3 eso de ahí es igual a x a la 7 verdad x cuadrada al cubo es 6 por otra xx a la 7 y hay que dividir entre 3 menos esta cosa de aquí evaluada cuando ya es cero pero nos va a quedar cero entonces no lo escribimos evaluamos de 0 a 1 la integral y ahora hay que integrar finalmente con respecto a x ya casi terminamos entonces otra vez aumentamos el exponente en 1x a la 88 por 3 nos queda 3 por 8 24 y esto lo tenemos que evaluar desde 0 hasta 1 y creo que vamos a obtener lo mismo no les da emoción no les de emoción si es un 24 - 0 y una vez más cuando integramos en el otro orden de integración de todas formas obtenemos que el volumen es 1 entre 24 espero que te haya gustado nos vemos