Integrales dobles 3

en el vídeo pasado encontramos el volumen entre esta superficie que es xy cuadrada y el plano x y cuando x va de 0 a 2 y lleva de 0 a 1 la forma en la que lo hicimos fue integrar primero con respecto a x es decir lo que dijimos fue vamos a dejar una fija para encontrar el área debajo de la curva moviendo x esto no sea un área que dependía de cada i y luego integramos estas áreas con respecto a iu pero a lo mejor se puede hacer al revés es decir fijando un valor de x y comenzando por integrar con respecto al vale pues hagamos esto esperemos que esta otra forma de hacerlo nos dé la misma respuesta ok entonces déjame borrar varias de las cosas que tenemos aquí recuerda que la respuesta que nos dio fue dos tercios y si este experimento no sale bien entonces tendríamos dos formas de encontrar la respuesta lo cual está padre va déjame redibujar la gráfica para que podamos volver a explicar la intuición este de aquí es el eje de las x este de acá es el eje de las yes este es el eje de las setas entonces déjame marcarlos aquí le voy a poner x aquí le voy a poner y acá le voy a poner z ahora lo que voy a hacer es dibujar el rectángulo en el cual estamos integrando a ver déjame ver queda más o menos algo así y luego queda una marca paralela al eje x por acá aquí está x igual a 1 aquí esta x igualados y por aquí está igual a 1 ahora sí voy a intentar lo más que pueda hacer un dibujo bonito entonces queda algo más o menos así déjame ponerlo con otro color a ver la gráfica viene más o menos así sube sube más o menos así y luego baja recto una cosa de este estilo ahora el volumen que nos importa es este de aquí este que le estoy dando un poco de perspectiva aquí está la parte superior de la superficie y lo que nos importa es el volumen debajo de la superficie es decir bueno voy a marcar por aquí un poquito un poco más oscuro para que se vea como cómo se va levantando la hoja queremos poner un poco de sombras listo creo que con esto ya tiene un poco más de volumen entonces vamos a ver pues si mira es más o menos como estarle dando la vuelta a la página de un libro sale entonces vamos a intentar encontrar el volumen la vez pasada lo que hicimos fue fijar un ahí pero ahora lo que vamos a hacer es empezar fijando una equis es decir vamos a dejar una equis fija vamos a tomar un valor de x el que sea digamos a ver lo voy a marcar con este color que es verde y lo voy a marcar más o menos a la mitad digamos por aquí entonces ahora lo que vamos a hacer es un corte paralelo al plano y ez va entonces ahí lo voy a subir tantito para que veamos cómo va el corte si dejamos una equis constante por ejemplo x igual a 1 nos queda z igual a ye cuadrada entonces vamos a poder encontrar el área debajo de una curva cuando hacemos el corte queda más o menos algo así entonces la curva de la cual es de la cual estoy hablando es esta algo así déjame sombrear la y lo que nos gustaría hacer es encontrar el área debajo de esta curva como le vamos a hacer para encontrar esto pues lo que vamos a hacer es ver esto como una función zeta igual a xy cuadrada pero recuerda que x ya está fija es decir es una función de dos variables pero por el momento x está fija nuestra base de los rectángulos va a ser de jeff porque ahora el pequeño cambio va a ser en que tenemos que multiplicar por la altura de este rectángulo que es igual a xy cuadrada y entonces que nos quedan tenemos xy cuadrada que es la altura x belle que es la base y lo que queremos hacer es integrar todos todos todos estos rectángulos para hacer esto tomamos la integral de 0 a 1 y recordemos que estamos moviendo la aie entonces bueno ya teniendo el área de esta de esta curva de aquí podríamos sumar todas estas áreas y al final dándole un poco de profundidad aquí lo voy a marcar algo así déjame darle un poco luego a poner con otro color para que se vea la profundidad a veces me siento como ese ese chico que dibuja en la televisión pero fíjate entonces ahora tenemos el volumen de esta área es decir como que la área la multiplicamos por de xy se volvió un volumen y si integramos todos estos volúmenes que son muy muy muy muy delgados en todos los valores de x vamos a obtener el volumen debajo de la superficie es decir hay que integrar desde x igual a cero hasta x igual a 2 muy bien entonces vamos a pensarlo tantito esta área que es verde que está aquí en verde debería de ser una función de x es decir si dejamos una x constante y movemos la y nos debería quedar una función de x aquí en esto que está de color rosa entonces después eso lo vamos a poder integrar con respecto a x y ya encontrar el volumen vamos a ver si es cierto vamos a dejar x constante y cuál es la anti derivada de ya cuadrada pues es llega al cubo entre 3 aquí nos queda y al cubo entre 3 multiplicada por equis acuérdate que x es una constante entonces tenemos que evaluarlo de 0 a 1 y luego tenemos que integrar de 0 a 2 b x entonces vamos a hacer esta integral de aquí adentro a ver si ponemos ya igual a 1 nos queda 1 al jugo que es un tercio x x que es una constante y luego hay que restar menos 0 al cubo que cuando todo eso de ahí nos va a dar 0 entonces esta expresión de aquí que está en color pues morado es x tercios páez x x 1 entre 3 - 0 y ahora va la integral de afuera la integral de afuera va de 0 a 2 de x y entonces fíjate ya que fijamos una x el área de esta superficie verde está dada por x tercios va eso fue justamente lo que nos dijo la primera integral que hicimos esta que estoy marcando aquí es x tercios para x igual a 1 esto nos da un tercio pero conforme movamos la x vamos a ir obteniendo otras áreas entonces ahora lo que tenemos que hacer es integrar con respecto a x para sumar todas estas áreas va entonces vamos a integrar con respecto a x x tercios eso pues es una integral súper fácil de las que ya conocemos así ésta tranquilidad normal y cuál es su ante derivada pues es x cuadrada entre 2 pero aparte por ahí hay un tercio entonces nos queda x cuadrada entre 2 x 3 que es 6 y esto de aquí tenemos que evaluarlo con límite superior 2 e inferior 0 2 al cuadrado entre 6 nos queda 4 sextos menos 0 y esto de aquí simplemente es cuatro sextos cuántos cuatro efectos pues simplificando nos quedan dos tercios entonces el volumen es dos tercios y está súper bien si nos acordamos del vídeo pasado esta es la misma respuesta que obtuvimos dejando primero fijo y después integrando con bueno con respecto a y en resumen pudimos voltear el orden de integración y obtuvimos la misma respuesta uff qué bueno todo va de maravilla mira todavía acabamos con un poco de tiempo de sobra déjame traer otra vez la superficie para divertirnos rotando la un poco wow qué diversión ahí está va entonces el volumen que encontramos fue este de aquí que está entre la superficie y el plano xy al final de cuentas dio igual en qué orden integramos por el momento es todo lo que te tengo que contar nos vemos en el próximo vídeo