El area de un triangulo isoceles es l^2*sin a/2? siendo l la longuitud de un lado igual y a es el angulo comprendido entre los dos lados iguales.

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Curso: Geometría - Preparación Educación Superior > Unidad 5

Lección 9: Cálculo del área de regiones circulares

Cálculo del área de regiones circulares (sector circular y segmento circular)

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Cálculo del área de regiones circulares (sector circular y segmento circular)

Lo que necesitas saber para esta lección

Antes de iniciar esta lección, debes revisar la lección sobre área de regiones circulares.

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección aprenderás a resolver problemas relacionados al cálculo de áreas de regiones circulares (sector circular y segmento circular) en diversos contextos.

Sector circular

Es aquella porción del círculo determinada por un ángulo central, limitada por dos radios y un arco de circunferencia.

En la figura,

θ

es el ángulo central y

r

el radio correspondiente al sector circular.

Como sabes,

θ

se puede medir en radianes o en grados sexagesimales. Para cada uno de estos casos, existe una fórmula para obtener el área del sector circular.

Fórmulas para obtener el área de un sector circular

Dependiendo de la unidad de medida de

θ

utilizaremos la siguientes fórmulas:

Cuando $θ$ ‍ se mida en radianes:

\begin{array}{r} Área del sector circular = \frac{θ}{2} \times r^{2} \end{array}

Cuando $θ$ ‍ se mida en grados sexagesimales:

\begin{array}{r} Área del sector circular = \frac{θ \times π}{360 °} \times r^{2} \end{array}

Veamos algunos ejemplos

Ejemplo 1

En el siguiente gráfico, el radio

r

de la circunferencia mide

3 cm

¿Cuál es el área de la región sombreada?

Del gráfico se desprende que el ángulo asociado a la región sombreada es

θ = 360 ° - 120 ° = 240 °

Para obtener el área de la región sombreada, aplicamos la segunda fórmula propuesta, ya que el ángulo central (

240 °

) está expresado en grados sexagesimales.

Reemplazando los valores en la fórmula, obtenemos el área del sector circular (

A

\begin{aligned} A = \frac{θ \times π}{360} \times r^{2} & = \frac{240 ° \times π}{360 °} \times 3^{2} \\ = 6 π \end{aligned}

Por tanto, el área de la región sombreada es

6 π

{cm}^{2}

Ejemplo 2

Un sector circular está limitado por el arco

A B

y los lados del ángulo

A O B

cuya medida es

\frac{2 π}{3}

radianes. El radio mide

3 cm

¿Cuál es el área de la región que encierra el sector circular?

De la información propuesta, se tiene el siguiente gráfico:

Como se observa, la medida del ángulo está expresado en radianes, por lo que apicamos la primera fórmula propuesta para obtener el área del sector circular (A)

\begin{aligned} A & = \frac{\frac{2 π}{3} \times 3^{2}}{2} \\ = 9 \times \frac{π}{3} \\ = 3 π \end{aligned}

Por tanto, el área de la región sombreada es

3 π

{cm}^{2}

Sectores circulares usuales

Si aplicamos correctamente las fórmulas para la obtención del área de un sector circular, podemos obtener resultados útiles para resolver problemas de forma más simple.

Área del semicírculo

El área del semicírculo equivale a la mitad del área de un círculo. También podemos obtener este resultado considerando como medida del ángulo del sector circular (semicírculo) el valor de

π

radianes. Así, se obtiene lo siguiente:

En el sector circular mostrado

A O B

, el ángulo central asociado es de media vuelta o

π

radianes.

Aplicamos la fórmula respectiva para la obtención del área y se tiene:

\begin{array}{r} Área del semicírculo = \frac{π}{2} \times r^{2} \end{array}

Área de la región cuadrantal o cuarta parte del círculo

El área de la región cuadrantal se obtiene cuando la medida del ángulo del sector circular es

\frac{π}{2}

radianes. Observa:

En el sector circular mostrado

A O B

, el ángulo central asociado es de un cuarto de vuelta o

\frac{π}{2}

radianes. Ahora, aplicando la fórmula respectiva para la obtención del área se tiene:

\begin{array}{r} Área de la región cuadrantal = \frac{π}{4} \times r^{2} \end{array}

Veamos más ejemplos

Ejemplo 3

Se separa una región cuadrantal de un parque circular, cuyo radio es

2 m

. Se tiene planeado colocar pasto sintético en toda esa región.

¿Cuál es la cantidad de pasto sintético que se necesita para cubrir la región cuadrantal?

Dado que la región a cubrir con pasto sintético tiene la forma de una región cuadrantal, se aplicará la fórmula para obtener su área (

A R C

\begin{aligned} ARC & = \frac{π}{4} \times 2^{2} \\ = π \end{aligned}

Por tanto, la cantidad de pasto sintético que se necesita para cubrir la región cuadrantal es de

π

m^{2}

Ejemplo 4

El área que cubre un limpiaparabrisas depende de su longitud y de su ángulo de giro

d

(en radianes). Observa la siguiente figura:

¿Cuánto mide el ángulo de barrido $d$ ‍ del gráfico para que el limpiaparabrisas cubra un área equivalente a $2827.5$ ‍ ${cm}^{2}$ ‍?

Luego de revisar el área de un sector circular, podemos obtener el ángulo

d

, restando el área de los 2 sectores circulares cuyos radios son

34 cm

5 cm

, respectivamente.

Así, formulamos la siguiente ecuación

\begin{aligned} Área & = 34^{2} \times \frac{d}{2} - \frac{d}{2} \times 5^{2} = 2827.5 \\ \Rightarrow 578 \times d - 12, 5 \times d = 5655 \\ \Rightarrow 565.5 d = 5655 \\ \Rightarrow d = 10 \end{aligned}

Por tanto, el ángulo de barrido

d

debe medir

10

radianes para limpiar un área de

2827.5

{cm}^{2}

Segmento circular

Es aquella porción del círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente a un ángulo central. Observa la figura:

Donde el arco

\overset{⌢}{A B}

corresponde al ángulo

α

r

es el radio de la circunferencia.

Una estrategia usual para obtener el área del segmento circular se relaciona con la diferencia de áreas.

\begin{array}{r} Área del sector circular A B C - Área del △ A B C \end{array}

Así, tenemos la fórmula

Cuando $α$ ‍ se mida en radianes:

\begin{array}{r} Área del segmento circular = \frac{α - \sin α}{2} \times r^{2} \end{array}

Cuando $α$ ‍ se mida en grados sexagesimales:

\begin{array}{r} Área del segmento circular = (\frac{α \times π}{360 °} - \frac{\sin α}{2}) \times r^{2} \end{array}

Para este caso, utilizamos la fórmula anterior y convertimos el ángulo que se expresa en el sistema radial al sistema sexagesimal.

Vamos a utilizar una regla de tres simple para realizar la conversión, recordando que en el sistema radial

π

radianes equivale a

180 °

grados sexagesimales.

Sea

x

la medida de ángulo expresado en radianes.

\begin{array}{r} \frac{π}{180 °} = \frac{x}{α} \Rightarrow x = \frac{π \times α}{180 °} \end{array}

Ahora, utilizamos la fórmula anterior para calcular el segmento circular y reemplazamos para el valor de

α

en grados sexagesimales.

\begin{aligned} A_{S} & = \frac{\frac{π α}{180 °}}{2} \times r^{2} - \frac{r^{2} \times \sin θ}{2} \\ = (\frac{π \times α}{360 °} - \frac{\sin α}{2}) \times r^{2} \end{aligned}

Veamos una aplicación

Del siguiente gráfico, ¿cuál es el área que representa al segmento circular?

Ya que la región representa a un segmento circular, se traza

\overset{―}{O A}

\overset{―}{O B}

para formar el sector circular

A O B

. Observa.

Como la medida del ángulo está expresada en grados sexagesimales, aplicamos la fórmula respectiva.

\begin{aligned} Área del segmento circular & = (\frac{30 ° \times π}{360 °} - \frac{\sin 30 °}{2}) \times 4^{2} \\ = \frac{4 π}{3} - 4 \\ = \frac{4 π - 12}{3} \end{aligned}

Por tanto, el área del segmento circular es

\frac{4 π - 12}{3}

{cm}^{2}

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Aksana Aliaga Tinoco
Publicado hace hace 3 años. Enlace directo a la publicación “¿porque no lo hace con vi...” de Aksana Aliaga Tinoco
¿porque no lo hace con video?
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Jasiel Cabrera
Publicado hace hace 4 años. Enlace directo a la publicación “El area de un triangulo i...” de Jasiel Cabrera
El area de un triangulo isoceles es l^2*sin a/2? siendo l la longuitud de un lado igual y a es el angulo comprendido entre los dos lados iguales.
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- Sebastian
  Publicado hace hace 4 años. Enlace directo a la publicación “no entendi nada de ese co...” de Sebastian
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PACALLA TRUJILLO CARLA NAOMI
Publicado hace hace 4 meses. Enlace directo a la publicación “En el ejemplo 4 del secto...” de PACALLA TRUJILLO CARLA NAOMI
En el ejemplo 4 del sector circular está mal. El resultado es 5, al comprobar no sale el valor de área si se reemplaza d con 10
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ignaciovalenzuela0909@gmail.com
Publicado hace hace 2 años. Enlace directo a la publicación “El área sombreada es igua...” de ignaciovalenzuela0909@gmail.com
El área sombreada es igual a la figura compuestas?
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