¿Qué es la ecuación de Bernoulli?

El principio de Bernoulli es un enunciado que parece ir en contra de la intuición, acerca de cómo la velocidad de un fluido se relaciona con la presión del fluido. Muchas personas sienten que el principio de Bernoulli no debería de ser correcto, pero esto se debe a un mal entendimiento de lo que dice el principio. El principio de Bernoulli establece lo siguiente:

El principio de Bernoulli: dentro de un flujo horizontal de fluido, los puntos de mayor velocidad del fluido tendrán menor presión que los de menor velocidad.

Así que dentro de una tubería horizontal de agua que cambia de diámetro, las regiones donde el agua se mueve más rápido se encontrarán a menor presión que las regiones donde se mueve más lento. Esto a muchas personas les parece contrario a la intuición, ya que asocian una gran velocidad con presiones altas. En la siguiente sección, mostraremos que, en realidad, esta es otra manera de decir que el agua irá más rápido si hay más presión detrás de ella que delante de ella. En la siguiente sección vamos a derivar el principio de Bernoulli, vamos a mostrar de manera más precisa qué es lo que dice y, con suerte, lo haremos ver un poco menos misterioso.

Los fluidos incompresibles tienen que aumentar su velocidad cuando alcanzan una sección más estrecha para mantener el volumen de flujo constante. Por esta razón, una boquilla estrecha en una manguera causa que el agua salga más rápido. Puede ser que algo te esté molestando sobre este fenómeno: si el agua se acelera en la constricción, también gana energía cinética. ¿De dónde sale esta energía? ¿De la boquilla? ¿De la tubería?

La única manera de darle energía cinética a algo es haciendo trabajo sobre él. Esto se expresa por el principio del trabajo y la energía.

Así que si una región del fluido aumenta su velocidad, algo externo a esa porción del fluido debe estar haciendo un trabajo sobre ella. ¿Qué fuerza provoca que se haga trabajo sobre el fluido? Bueno, en la mayoría de los sistemas del mundo real hay muchas fuerzas disipativas que podrían estar haciendo un trabajo negativo pero, para mantener las cosas simples, vamos a suponer que estas fuerzas viscosas son despreciables y que tenemos un flujo continuo y perfectamente laminar. Un flujo laminar es significa que el fluido fluye en capas paralelas sin cruzar caminos. En un flujo laminar no hay remolinos ni vórtices en el fluido.

Muy bien, entonces supondremos que no tenemos pérdida de energía debida a fuerzas disipativas. En este caso, ¿qué otras fuerzas podrían estar haciendo trabajo sobre nuestro fluido, acelerándolo? La presión del fluido circundante estará causando una fuerza que puede hacer trabajo y acelerar una porción del fluido.

Considera el diagrama a continuación, que muestra agua que fluye sobre las líneas de flujo, de izquierda a derecha. A medida que el volumen de agua señalado entra en la región constreñida, aumenta su velocidad. La fuerza de la presión $P_1$‍ en el lado izquierdo del agua sombreada empuja hacia la derecha y hace un trabajo positivo, ya que empuja en la misma dirección que el movimiento del fluido sombreado. La fuerza de la presión $P_2$‍ en el lado derecho del fluido sombreado empuja hacia la izquierda y hace un trabajo negativo, ya que empuja en la dirección opuesta del movimiento del fluido sombreado.

Sabemos que el agua debe acelerar (debido a la ecuación de continuidad), por lo que una cantidad neta positiva de trabajo se realiza sobre ella. Así, la cantidad de trabajo que realiza la fuerza debida a la presión en el lado izquierdo debe ser más grande que la cantidad de trabajo que realiza la fuerza debida a la presión en el lado derecho. Esto significa que la presión en el lado ancho y lento $P_1$‍ tiene que ser mayor que la presión en el lado angosto y rápido $P_2$‍.

Esta relación inversa entre la presión y la velocidad en un punto en un fluido se llama el principio de Bernoulli.

El principio de Bernoulli: en puntos a lo largo de una línea horizontal de flujo, las regiones de mayor presión tienen una menor velocidad del fluido, y las regiones de menor presión tienen una mayor velocidad del fluido.

Conceptualmente, podría ser más simple pensar acerca del principio de Bernoulli como el hecho de que un fluido que fluye de una región de mayor presión a una de menor presión se acelerará debido a la fuerza neta sobre la dirección de movimiento.

La idea de que las regiones donde el fluido se mueve más rápido tendrán menor presión puede parecer extraña. Seguramente, un fluido que se mueve rápidamente y te golpea debe aplicar mayor presión en tu cuerpo que un fluido que se mueve lentamente, ¿cierto? Sí, es cierto. Pero ahora estamos hablando de dos presiones diferentes. La presión a la que se refiere el principio de Bernoulli es la presión interna que el fluido ejerce en todas direcciones durante el flujo, incluyendo la que ejerce sobre la tubería. Esta es diferente de la presión que un fluido ejercerá sobre ti si te pones en su camino y detienes su movimiento.

Observa que el principio de Bernoulli no dice que un fluido que se mueve rápidamente no puede tener presiones significativamente altas. Solo dice que la presión en una región más lenta de ese mismo sistema que fluye debe tener una presión más alta que la región que se mueve más rápido.

La ecuación de Bernoulli es esencialmente una manera matemática de expresar el principio de Bernoulli de forma más general, tomando en cuenta cambios en la energía potencial debida a la gravedad. Derivaremos esta ecuación en la siguiente sección, pero antes de hacerlo miremos cómo es la ecuación de Bernoulli, desarrollemos una idea de lo que dice y veamos cómo podemos usarla.

La ecuación de Bernoulli relaciona la presión, la velocidad y la altura de dos puntos cualesquiera (1 y 2) en un fluido con flujo laminar constante de densidad $\rho$‍. Usualmente escribimos la ecuación de Bernoulli de la siguiente manera:

Las variables $P_1$‍, $v_1$‍ y $h_1$‍ se refieren a la presión, la velocidad y la altura del fluido en el punto 1, respectivamente, mientras que las variables $P_2$‍, $v_2$‍ y $h_2$‍ se refieren a la presión, la velocidad y la altura del punto 2, como se muestra en el diagrama a continuación. En este podemos ver una elección particular de los dos puntos (1 y 2) en el fluido, pero la ecuación de Bernoulli es válida para cualesquiera dos puntos en el fluido.

Cuando usas la ecuación de Bernoulli, ¿cómo sabes dónde escoger tus puntos? Tienes que seleccionar uno de los puntos en donde quieres determinar una variable desconocida. De otro modo, ¿cómo podrás resolver la ecuación para esa variable? Típicamente, escogerás el segundo punto en una posición donde se te ha dado alguna información o donde el fluido está abierto a la atmósfera, ya que la presión absoluta ahí es la presión atmosférica $P_{atm}=1.01\times {10}^{5}Pa$‍.

Observa que la $h$‍ se refiere a la altura del fluido por encima de un nivel arbitrario que puedes escoger de cualquier forma que te resulte conveniente. Típicamente, es más fácil escoger al más bajo de los dos puntos (1 o 2) como la altura donde $h=0$‍. La $P$‍ se refiere a la presión en ese punto. Puedes escoger usar la presión manométrica o la presión absoluta, pero cualquier presión que decidas usar (manométrica o absoluta) debes utilizarla en el otro lado de la ecuación. No puedes sustituir la presión manométrica en el punto 1 y la presión absoluta en el punto 2. De mismo modo, si sustituyes la presión manométrica en el punto 1 y resuelves para la presión en el punto 2, el valor que obtengas será la presión manométrica en el punto 2 (no la presión absoluta).

Los términos ${\displaystyle \frac{1}{2}}\rho v^2$‍ y $\rho gh$‍ en la ecuación de Bernoulli se parecen a la energía cinética ${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2$‍ y la energía potencial $mgh$‍, solo con el término de la masa $m$‍ intercambiado por el de la densidad $\rho$‍. Así que no debe sorprendernos que la ecuación de Bernoulli sea el resultado de aplicarle la conservación de la energía a un fluido que se mueve. Derivaremos la ecuación de Bernoulli por medio de la conservación de la energía en la siguiente sección.

Considera el diagrama siguiente, donde el agua fluye de izquierda a derecha en una tubería que cambia tanto su área como su altura. Como antes, el agua se acelerará y ganará energía cinética $K$‍ en las constricciones de la tubería, dado que la tasa de flujo volumétrico debe mantenerse para un fluido incompresible, aún si las constricciones se mueven hacia arriba. Puesto que la constricción también causa que el fluido se mueva hacia arriba, la energía potencial del agua debida a la gravedad $U_g$‍ también aumentará, así como su energía cinética $K$‍. Derivaremos la ecuación de Bernoulli al igualar la energía adquirida por el fluido con el trabajo externo realizado sobre él.

Supongamos que el sistema energético que estamos considerando se compone de los volúmenes de agua 1 y 2, así como de todo el fluido entre esos dos volúmenes. Si suponemos que el fluido no es viscoso, su flujo es laminar y no hay fuerzas disipativas que lo afecten, entonces cualquier energía extra $\mathrm{\Delta }(K+U{)}_{sistema}$‍ añadida al sistema la causará el trabajo externo $(W_{externo})$‍ sobre el fluido que realicen las fuerzas de presión que lo rodean.

Podemos expresar este hecho de forma matemática como,

Primero trataremos de encontrar el trabajo externo $W_{externo}$‍ realizado sobre el agua. Nada del agua entre los puntos 1 y 2 puede realizar trabajo externo, ya que esa agua es parte de nuestro sistema energético. Las únicas presiones que pueden hacer un trabajo externo directamente sobre nuestro sistema son $P_1$‍ y $P_2$‍, como se muestra en el diagrama. El agua en $P_1$‍ a la izquierda del volumen 1 hará trabajo positivo, ya que la fuerza apunta en la misma dirección que el movimiento del fluido. El agua en $P_2$‍ a la derecha del volumen 2 hará trabajo negativo en nuestro sistema, pues empuja en la dirección opuesta al movimiento del fluido.

Por simplicidad, consideraremos el caso en que la fuerza debida a la presión del agua a la izquierda del volumen 1 empuja al volumen 1 a través de todo su ancho $d_1$‍. Al suponer que el fluido es incompresible, este debe desplazar un volumen de agua idéntico en cualquier parte del sistema, causando que el volumen 2 se desplace en su longitud una distancia $d_2$‍.

Podemos encontrar el trabajo con la expresión $W=Fd$‍, sustituir la fórmula para la fuerza debida a la presión $F=PA$‍ en la expresión del trabajo y obtener $W=PAd$‍. Así, el trabajo positivo hecho sobre nuestro sistema por el agua cerca del punto 1 será $W_1=P_1{A}_1{d}_1$‍ y el trabajo hecho por el agua cerca del punto 2 será $W_2=-P_2{A}_2{d}_2$‍.

Al sustituir estas expresiones para el trabajo en el lado izquierdo de nuestra fórmula de energía-trabajo $W_{neto}=\mathrm{\Delta }(K+U{)}_{sistema}$‍, obtenemos

Pero los términos $A_1{d}_1$‍ y $A_2{d}_2$‍ tienen que ser iguales, ya que representan los volúmenes del fluido desplazado cerca del punto 1 y del punto 2. Si suponemos que el fluido es incompresible, un volumen idéntico de fluido debe ser desplazado en todos lados en el fluido, incluyendo cerca de la parte superior. Así, $V_1=A_1{d}_1=A_2{d}_2=V_2$‍. Podemos escribir el término de volumen simplemente como $V$‍, ya que los volúmenes son iguales. Esto simplifica el lado izquierdo de la fórmula trabajo-energía a

Con eso terminamos el lado izquierdo. Ahora tenemos que trabajar sobre el lado derecho de esta ecuación. Esta es una parte sutil y crucial de la derivación. Recuerda que nuestro sistema no solo incluye las porciones sombreadas de agua cerca de los puntos 1 y 2, sino también toda el agua entre esos dos puntos. ¿Cómo podremos dar cuenta de todo el cambio en la energía cinética y la energía potencial debida a la gravedad de todas las partes de ese sistema tan grande y enredado?

Bueno, tenemos que hacer una suposición más antes de terminar la derivación. Vamos a suponer que el flujo del fluido es constante. Por "flujo constante" nos referimos a que la velocidad del fluido que pasa por un punto particular de la tubería no cambia. En otras palabras, si te pararas y observaras cualquier sección particular de la tubería transparente, verías agua nueva pasarte en todo momento, pero si el flujo es constante, entonces toda el agua tendría la misma velocidad cuando pase ese punto particular.

Entonces, ¿cómo es que la idea de flujo constante nos ayuda a determinar el cambio en la energía del sistema grande y enredado? Considera el siguiente diagrama. Nuestro sistema de energía consiste del fluido ensombrecido (volumen 1, volumen 2 y todo el fluido entre estos). En la primera imagen, el sistema tiene una cantidad de energía total $(K+U{)}_{inicial}$‍. En la segunda imagen, se realizó trabajo sobre el sistema completo, ganó energía, se desplazó a la derecha, y ahora tiene una energía total diferente $(K+U{)}_{final}$‍. Pero observa que la energía del fluido entre las líneas punteadas será la misma que la que era antes de que se realizara trabajo si suponemos flujo constante. El agua cambió de posición y de velocidad en la región entre las líneas punteadas, pero lo hizo de tal forma que se moverá con exactamente la misma velocidad (es decir, $v_a$‍ y $v_b$‍), y tendrá la misma altura que el agua que se encontraba previamente en esa posición. La única cosa que es diferente en nuestro sistema es que ahora el volumen 2 se extiende a una sección de la tubería en la que no estaba previamente y que ahora nada en nuestro sistema ocupa la vieja posición detrás del volumen 1.

En general, esto significa que podemos determinar el cambio total en la energía del sistema simplemente considerando las energías de los puntos en los extremos. Es decir, podemos tomar las energías cinética y potencial $(K_2+U_2)$‍ que ahora existen en el volumen 2 después que el trabajo ha sido realizado y restarles las energías cinética y potencial $(K_1+U_1)$‍ que ya no existen detrás del volumen 1 después de que el trabajo ha sido realizado. En otras palabras, $\mathrm{\Delta }(K+U{)}_{sistema}=(K_2+U_2)-(K_1+U_1)$‍.

Al sustituir esto en el lado derecho de la ecuación de trabajo-energía $P_{1}V-P_{2}V=\mathrm{\Delta }(K+U{)}_{sistema}$‍, obtenemos

Ahora sustituiremos las fórmulas para la energía cinética $K={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2$‍ y la energía potencial debida a la gravedad $U_g=mgh$‍ para obtener,

En esta ecuación, $P_1$‍ y $P_2$‍ representan las presiones del fluido en los volúmenes 1 y 2, respectivamente. Las variables $v_1$‍ y $v_2$‍ representan las velocidades del fluido en los volúmenes 1 y 2, respectivamente, y $h_1$‍ y $h_2$‍ representan las alturas del fluido en los volúmenes 1 y 2, respectivamente.

Pero dado que estamos suponiendo que el fluido es incompresible, las masas desplazadas de los volúmenes 1 y 2 deben ser las mismas, $m_1=m_2=m$‍. Al eliminar los subíndices en las masas, obtenemos

Podemos dividir ambos lados entre $V$‍ y eliminar los paréntesis para obtener,

Podemos simplificar esta ecuación al observar que la masa del fluido desplazado dividida entre el volumen del fluido desplazado es la densidad del fluido $\rho ={\displaystyle \frac{m}{V}}$‍. Al sustituir ${\displaystyle \frac{m}{V}}$‍ con $\rho$‍, obtenemos

Ahora, solo vamos a reorganizar la fórmula usando álgebra para poner todos los términos que se refieren al mismo punto en el espacio en el mismo lado de la ecuación; así,

Y ahí está, finalmente. ¡Esta es la ecuación de Bernoulli! Dice que si sumas la presión $P$‍ con la densidad de energía cinética ${\displaystyle \frac{1}{2}}\rho v^2$‍ y la densidad de energía potencial debida a la gravedad $\rho gh$‍ en cualesquiera dos puntos de un flujo laminar, serán iguales.

Podemos ver la ecuación de Bernoulli como una ley de conservación de energía para un fluido en movimiento. Vimos que la ecuación de Bernoulli era el resultado de usar el hecho de que cualquier energía cinética o potencial extra que gana un sistema o fluido es debido al trabajo externo realizado en el sistema por otro fluido no viscoso. Debes tener en mente que tuvimos que hacer muchas suposiciones en el trayecto para que esta derivación funcionara; tuvimos que suponer flujo laminar y ausencia de fuerzas disipativas, ya que de otra manera se hubiera generado energía térmica; tuvimos que suponer flujo constante, pues de otra forma nuestro truco de cancelar las energías en la sección de en medio no hubiera funcionado; tuvimos que suponer incompresibilidad, o de otra forma los volúmenes y las masas no hubieran sido necesariamente iguales.

Ya que la cantidad $P+{\displaystyle \frac{1}{2}}\rho v^2+\rho gh$‍ es la misma en todo punto de un flujo laminar, otra forma de escribir la ecuación de Bernoulli es,

Esta constante será diferente para diferentes sistemas de fluidos, pero para un fluido no disipativo que fluye de forma laminar y constante, el valor de $P+{\displaystyle \frac{1}{2}}\rho v^2+\rho gh$‍ será el mismo en cualquier punto del fluido.

Aquí debemos observar que el principio de Bernoulli está contenido en la ecuación de Bernoulli. Si empezamos con,

y suponemos que no hay cambios en la altura del fluido, los términos $\rho gh$‍ se cancelan si los restamos de ambos lados.

O lo podemos escribir como,

Esta fórmula resalta el principio de Bernoulli, ya que si la velocidad $v$‍ de un fluido es mayor en una región dada de un flujo laminar, la presión $P$‍ debe ser menor en esa región (que es el principio de Bernoulli). Un incremento en la velocidad $v$‍ debe ser acompañado por una disminución simultánea de la presión $P$‍ de manera que la suma siempre dé el mismo número constante.

Eres dueño de un restaurante y estás investigando nuevas formas de entregar bebidas a tus clientes. Una propuesta es una tubería que llevará cerveza de raíz de densidad $1,090{\displaystyle \frac{kg}{m^3}}$‍ a través del restaurante. Una sección de la tubería se muestra a continuación. Los planos establecen que la velocidad y la presión manométrica de la cerveza de raíz en el punto 1 son $3.00\text{ m/s}$‍ y $12,300\text{ Pa}$‍, respectivamente. La cerveza de raíz en el punto 2 está $1.20\text{ m}$‍ más alta que el fluido en el punto 1 y viaja a una velocidad de $0.750\text{ m/s}$‍. El número para la presión en el punto 2 no se ve claramente.

En este punto debemos escoger la altura $h=0$‍ de referencia. Escogeremos $h=0$‍ a la altura del punto 1. Esto establece que $h_1=0$‍ y $h_2=1.2\text{ m}$‍. Al sustituir estos valores para las alturas, obtenemos

Nos podemos deshacer del término con el cero y sustituir los valores numéricos de las otras variables para obtener,

Nota: sabemos que esta es la presión manométrica en el punto 2, y no la presión absoluta, ya que sustituimos la presión manométrica para la presión 1. Si hubiéramos querido la presión absoluta, podríamos sumarle la presión atmosférica $(1.01\times {10}^5\text{ Pa})$‍ a nuestra respuesta.

Un hotel muy grande te pide que construyas una fuente de agua alimentada por una tubería cilíndrica de $15\text{ cm}$‍ de diámetro que transporta agua horizontalmente a $8.00\text{ m}$‍ bajo el nivel del suelo. La tubería se dobla hacia arriba y eventualmente dispara agua por el extremo de la tubería cilíndrica de $5.00\text{ cm}$‍ de diámetro, que está localizada $1.75\text{ m}$‍ arriba del suelo, con una velocidad de $32.0\text{ m/s}$‍. El agua tiene una densidad de $1,000{\displaystyle \frac{kg}{m^3}}$‍.

Estos problemas de la ecuación de Bernoulli son complicados, así que deberíamos dibujar un diagrama de la situación y escoger dos puntos de interés (este diagrama no está a escala).

Escogeremos el punto cerca del fondo de la tubería como el punto 1, ya que es donde queremos determinar la presión, y escogeremos la parte más alta de la tubería, donde el agua emerge, como el punto 2, ya que se nos dieron información acerca de la velocidad del agua en este punto.

No sabemos la velocidad del agua en el punto 1. Necesitaremos determinar la velocidad $v_1$‍ antes de que podamos usar la ecuación de Bernoulli para encontrar la presión en el punto 1.

Podemos hacer esto usando la ecuación de continuidad $A_1{v}_1=A_2{v}_2$‍, ya que el agua es incompresible. Determinamos el área transversal de una tubería cilíndrica con la expresión $A=\pi r^2$‍; así, al sustituir las áreas en la ecuación de continuidad, obtenemos

Cuando resolvemos esta ecuación para la velocidad $v_1$‍, los factores de $\pi$‍ se cancelan y nos quedamos con,

Al sustituir los radios de las tuberías podemos resolver para la velocidad en el punto 1 y obtener

$v_1={\displaystyle \frac{(2.50\text{ cm}{)}^2}{(7.50\text{ cm}{)}^2}}(32.0\text{ m/s})=3.56\text{ m/s}$‍

Ahora que tenemos la velocidad en el punto 1, podemos sustituirla en nuestra ecuación de Bernoulli reorganizada para obtener,

Podemos escoger la recta de referencia $h=0$‍ en el punto 1; así, $h_1=0\text{ m}$‍ y $h_2=8.00\text{ m}+1.75\text{ m}=9.75\text{ m}$‍.

Al sustituir esto en nuestra ecuación de Bernoulli reorganizada, el término $\rho g{h}_1$‍ desaparece (pues es cero); entonces,

Todo lo que tenemos que hacer ahora es determinar la presión $P_2$‍ en el punto 2. Vamos a argumentar que la presión en el punto 2 debe ser la presión atmosférica, ya que el agua salió hacia la atmósfera. Esta es una suposición que se debe hacer en muchos problemas que involucran la ecuación de Bernoulli. Siempre que un punto esté abierto a la atmósfera, ese punto debe estar a presión atmosférica. Podemos usar presiones absolutas en la ecuación de Bernoulli y decir que $P_2=1.01\times {10}^{5}Pa$‍, o podemos usar presiones manométricas y decir que $P_2=0$‍ (ya que la presión manométrica mide la presión por encima de la presión atmosférica). Siempre que podamos tomar ceros se simplifica nuestra vida, así que usaremos la presión manométrica; de este modo, $P_2=0$‍. Esto hace que nuestra ecuación de Bernoulli reordenada se vea como

Ahora podemos sustituir la densidad del agua $\rho =1,000{\displaystyle \frac{kg}{m^3}}$‍ y la magnitud de la aceleración debida a la gravedad $g=+9.8{\displaystyle \frac{m}{s^2}}$‍ para obtener,

Nota: lo que encontramos fue la presión manométrica, ya que sustituimos $P_2=0$‍. Si hubiéramos sustituido $P_2=1.01\times {10}^5\text{ Pa}$‍, hubiéramos encontrado la presión absoluta en el punto 1.