Movimiento circular uniformemente variado - Parte 2

Ahora que ya sabemos que el movimiento  circular uniformemente variado, o MCUV,   es un movimiento en trayectoria circular con la  aceleración constante, y que también conocemos   sus ecuaciones, es el momento perfecto para que  hablemos de las gráficas más importantes que   se pueden representar en el movimiento circular  uniformemente variado. Vamos a ver tres gráficas:   la gráfica de cambio de la aceleración angular  como función del tiempo, la gráfica del cambio   de la velocidad angular como una función del  tiempo y la gráfica del cambio de la posición   angular también como función del tiempo. Así que  primero, recordemos qué es la posición angular,   qué es la velocidad angular y qué es la  aceleración angular. Primero, podemos   decir que la posición angular φ es una magnitud  angular que representa el ángulo que forma en   cada momento el vector de posición de un cuerpo;  por su parte, la velocidad angular representa   el desplazamiento angular, es decir, delta de  φ, experimentado por un cuerpo en cada unidad   de tiempo; mientras que la aceleración angular  representa la variación de la velocidad angular,   es decir delta de ω, respecto al tiempo. Así  que empecemos con la gráfica de la aceleración   angular como función del tiempo. Para esto,  pensemos en un ejemplo de la vida real,   ¿qué tal un ventilador? Imaginemos que las aspas  de este ventilador se mueven en un MCUV, bueno,   en un movimiento circular uniformemente variado  la aceleración angular no cambia, es constante   ¿cierto? Esto quiere decir que las aspas tienen  el mismo cambio de velocidad en tiempos iguales,   entonces, la gráfica de la aceleración angular  contra el tiempo de un movimiento circular   uniformemente variado muestra que la aceleración  angular, que se mide en rad•s², es constante en   todo momento, ya que la aceleración no cambia por  definición. Si la aceleración angular es positiva,   tendremos una recta constante por encima  del eje X, es decir, el ventilador parte   del reposo y está aumentando su velocidad hasta  alcanzar su velocidad máxima. Mientras que si la   aceleración angular es negativa, tendremos una  recta constante por debajo del eje X, es decir,   el ventilador va disminuyendo su velocidad  hasta llegar al reposo. Podríamos pensar que   se va "apagando" desde la velocidad máxima. Ahora  bien, si pensamos en el área debajo de esta recta   constante de la aceleración positiva, o por arriba  de la recta constante de la aceleración en el caso   de ser negativa, de un tiempo inicial a uno final,  entonces ¿qué crees que represente? Bueno, sabemos   que ω = ω₀ + αt, o, dicho de otra manera: ω - ω₀  = αt, ¿cierto? Ahora bien, si nos fijamos en el   área de este rectángulo, estamos multiplicando el  tiempo, que es la base de este rectángulo, por la   altura, que es la aceleración angular. Entonces,  para un intervalo de tiempo dado, el área bajo   la curva de la aceleración angular, o sobre  la curva en caso de tener una desaceleración,   nos da la diferencia o el cambio en la velocidad  angular, es decir, el área que representamos aquí   nos da el cambio en la velocidad angular, lo cual  tiene mucho sentido. Ahora bien, ¿qué pasará en la   gráfica del cambio de la velocidad angular también  como función del tiempo? Pausa el video y piénsalo   antes de que lo trabajemos juntos. Bien, en el  eje horizontal, el eje X, de nuevo pondremos   el tiempo y en el eje vertical, la velocidad  angular. La velocidad angular se mide en rad•s,   y aumenta o disminuye de manera uniforme con el  paso del tiempo, ya que tenemos un movimiento   con aceleración angular constante. Recuerda, eso  quiere decir que hay cambios de velocidad angular   iguales en tiempos iguales. Podemos ver que la  ecuación ω = ω₀ + αt es la ecuación de una recta   de la forma y = mx + b, donde en este caso m = α y  b = ω₀. De nuevo podemos distinguir dos casos: si   la aceleración es positiva, entonces tendremos una  recta con pendiente positiva, es decir, de nuevo   tenemos la idea de cambios positivos iguales en  la velocidad angular en tiempos iguales. De nuevo   puedes pensar que el ventilador está aumentando  de velocidad desde el arranque y, por lo tanto,   la velocidad aumenta. De hecho, podemos  darnos cuenta de que su pendiente, es decir,   la tangente del ángulo que forma con respecto a la  horizontal, es la aceleración. Siguiendo la misma   lógica, si la aceleración es negativa, entonces  tendremos una recta con pendiente negativa,   y por lo tanto tendremos cambios descendentes  iguales en tiempos iguales, es decir, una recta   descendente. El ventilador disminuye su velocidad  cuando lo apagamos hasta llegar al reposo; de   nuevo su pendiente será su aceleración. Ahora ¿qué  representará el área bajo la curva de la velocidad   angular? Pausa el video y piénsalo un poco. Bueno,  esta gráfica es la del área debajo de la curva de   velocidad angular contra el tiempo. Para calcular  el área debajo de la curva, podemos dividirla,   primero, en un rectángulo que tenga como área ω₀t,  es decir, este rectángulo que tenemos aquí, más   este triángulo que -observa- tiene como altura ω  - ω₀, y la base es t; entonces su área es ω - ω₀,   todo esto por t entre 2. Y bueno, sin perder  generalidad, podemos decir que t₀ = 0. Así que   el área total bajo la curva será: A = ω₀t + (ω  - ω₀) t/2. Ahora bien, a partir de la ecuación   de la velocidad angular podemos obtener que: ω -  ω₀ = αt. Utilizando esto, entonces, el área es,   bueno: ω₀t más, y en lugar de poner ω - ω₀,  pondremos (αt) t /2, lo cual me dará: ω₀t + αt² /   2. Bien, ya tenemos la expresión para el área  total bajo la curva de la velocidad angular contra   el tiempo. Antes de terminar la interpretación de  esta área, es un excelente momento de presentar la   última expresión que vamos a trabajar en este  video, es decir, la posición angular. Tenemos   que φ = φ₀ + ω₀t + 1/2 αt²; y esta expresión ¿no  se parece mucho a lo que acabamos de encontrar?   ¡Claro!, si pasamos φ₀ del otro lado de la  ecuación, vamos a tener que: φ - φ₀ = ω₀t + 1/2   αt². Y es justo la expresión que encontramos  para el área, es decir: A = φ - φ₀, que, como ya   sabemos, es igual a ω₀t + 1/2 αt², dicho de otra  manera, acabamos de encontrar que el área bajo   la curva de la velocidad angular que buscábamos es  el cambio de la posición angular. Así que ya está,   podemos decir que el área que representamos  aquí nos da el cambio en la posición angular,   lo cual tiene mucho sentido. Por último, pero no  por eso menos importante, tenemos la gráfica de   la posición angular como función del tiempo.  Para ello, utilizaremos la última fórmula   que presentamos al final del ejercicio anterior.  ¿Cómo se ve esta gráfica? Pausa de nuevo el video   e intenta esbozar su gráfica y ver si coincide  con la que trabajaremos juntos. ¿Cómo se verá la   gráfica de la posición angular a través del tiempo  en un movimiento circular uniformemente variado?   Bueno, pondremos en el eje horizontal, el eje  X, al tiempo y en el eje vertical la posición   angular, que denotamos con la letra griega φ.  Como es una función cuadrática, se tiene que   ver distinta a la función anterior, ¿estás de  acuerdo? Tenemos t², entonces es de la forma:   y = ax² + bx + c, por lo que φ₀ será el valor  donde cortamos a la ordenada. La posición angular,   medida en radianes según las unidades del  sistema internacional, aumenta o disminuye   de manera no uniforme con el paso del tiempo.  Podemos distinguir dos casos dependiendo de que   la aceleración angular sea positiva o negativa, es  decir, si el valor de α es mayor o menor que cero.   Observa: cuando el tiempo aumenta, entonces la  posición angular también aumentará; sin embargo,   la forma en la que aumentará dependerá del signo  de la aceleración: si la aceleración es positiva,   entonces la velocidad aumentará, lo que hará que  la posición también aumente cada vez más rápido.   Puedes ver que las aspas del ventilador se siguen  moviendo y lo hacen cada vez más rápido. Por otra   parte, si la aceleración es negativa, la velocidad  irá disminuyendo, lo que implica que el ventilador   seguirá aumentando su posición angular, seguirá  moviéndose, pero esta vez cada vez más lento. Por   ejemplo, al apagar el ventilador la velocidad  de las aspas empieza a disminuir, las aspas   se seguirán moviendo en el mismo sentido cada vez  más lento, pero la posición angular aumenta aunque   cada vez más lento hasta pararse por completo. Así  que ahora ya sabemos cómo se ven las gráficas de   la posición angular, la velocidad angular y la  aceleración angular con respecto del tiempo en   un movimiento circular uniformemente variado.  Espero te sea útil para entender un poco más,   de manera gráfica, en qué consiste este movimiento  y puedas apoyarte en estas ideas para los   ejercicios que encuentres en un futuro. Esto es  todo por este video, nos vemos en el siguiente.