La integral del producto de senos

ya hemos establecido que estas tres integrales valen cero para estas condiciones que tenemos del lado derecho ahora vamos a seguir y por supuesto siempre recuerda que nuestro objetivo es poder calcular series de furia y hallar los coeficientes que acompañan a cada función trigonométricas muy bien entonces en este vídeo vamos a calcular la integral de 0 a 2 pi del producto de senos es decir seno de emt por el seno de nt dt verdad y esto será igual a 0 justo en el caso cuando m sea distinto de n es decir tomemos digamos números entre los distintos verdad y cuando m sea distinto de menos en es decir tampoco puede ser el inverso aditivo verdad y por supuesto aquí vamos a poner que m n sean enteros verdad aquí estos son enteros y entonces también cabría la posibilidad de que m y n sean iguales verdad en el caso en que me llene sean iguales pues tendremos la integral de 0 a 2 pi del seno de mt por el seno de mt entonces eso es el seno al cuadrado de mt verdad por supuesto esto es con respecto a de verdad y éste nos va a dar un valor de pi muy bien entonces aquí en realidad lo que nos va a interesar es el caso en que tomemos coeficientes positivos verdad porque en series de fury eso lo vamos a tomar en estos casos muy bien entonces vamos a resolver este problema vamos a tratar de resolver este problema y simplemente vamos a bajar un poco esto muy bien entonces vamos a tratar de hacer esto muy bien entonces lo primero que vamos a hacer como siempre es tratar de expresar esto de otra forma utilizando identidades trigonométricas muy bien entonces aquí por ejemplo lo que podemos hacer es bueno es reescribir la integral de cero a dos pi y el seno de m por t por el seno de n por te lo podemos ver como una diferencia de cosenos y otra vez si no te acuerdas de esto puedes revisar en la página de khan academy algunas identidades trigonométricas verdad pero esto en esencia lo podemos escribir como un medio que multiplica al coseno de m - n que multiplica t - el coseno de m más n que multiplica muy bien y todo esto va a ser integrado vamos a dejarlo con el mismo color con respecto a té muy bien ahora bien lo que nosotros podemos hacer es distribuir este producto verdad él un medio multiplicaría a estos dos cosenos y tenemos la integral de una diferencia de verdad en realidad eso sería la diferencia de las integrales entonces lo que tendríamos sería un medio que multiplica a la integral de 0 a 2 y delko seno del coseno de m - n por t y aquí vamos a integrar con respecto a t y luego restamos que sería un medio por la integral verdad la integral de 0 a 2 pi del coseno el coseno de m más deporte en el porte de té muy bien entonces fíjense muy bien que en este punto verdad aquí lo que tenemos es que m cn no es cero y m n tampoco es cero porque justamente estamos suponiendo que m no es n así que este es un número entero no nulo vamos a ponerlo así esto es un entero no nulo es decir no es cero verdad justamente porque me es distinto de n y aquí tendremos que m n también es un entero no nulo un entero no nulo justamente porque m no es menos n entonces bajo estas condiciones nosotros sabemos verdad desde antes que en la integral del coseno de un número entero no nulo verdad por t desde cero a dos pi es cero verdad entonces ambas integrales esta integral será cero esta otra integral también vale cero y en este caso toda la integral pues vale cero verdad porque simplemente multiplicamos por un medio pero todo eso vale 0 verdad entonces aquí ya tenemos está esta primera afirmación verdad esta primera afirmación vamos a ver qué pasa con el caso en el que m es igual a n y para eso voy a borrar todo esto vamos a borrar todo esto todo esto vamos a borrarlo y dejarlo más o menos limpio y lo voy a dejar justamente hasta aquí entonces si nosotros evaluamos el caso en que m es igual a n verdad en este caso si m es igual a n pues justamente tenemos el caso de la integral verde verdad pero bueno si m es igual a n pues m n sigue siendo un entero no nulo verdad estoy todavía es un entero no nulo vamos a escribirlo entero nulo y entonces está integral vale 0 sin embargo la integral del lado izquierdo pues m n vale 0 verdad y entonces ya no es válido nuestro resultado que teníamos antes pero en realidad es muy fácil verdad aquí lo que vamos a tener es que esto vale 0 verdad y el coseno de 0 por tesco seno de 0 y eso vale todo 1 muy bien entonces en esencia con lo que nos quedamos es con lo siguiente tendremos un medio que multiplica a la integral desde cero hasta dos y de la constante 1 dt dt muy bien y esto va que será igual bueno esto será un medio que multiplica a la anti derivada de uno y nosotros sabemos que la anti derivada de uno es de verdad y esto va evaluado desde cero a dos p entonces esto por supuesto será igual a un medio que multiplica multiplica a 2 p 2 p - 0 entonces de hecho sólo lo vamos a dejar como 2 pi y la mitad de 2 pues es justamente pi y ese es el valor de nuestra integral para el caso en el que me es igual a n y en cuyo caso se escribe como la integral desde 0 a 2 pide seno al cuadrado mt con respecto a verdad entonces el resultado speed entonces en resumen cuando m es igual a n tenemos que la expresión verde es equivalente a la que teníamos anteriormente cuando m es igual a n y en este caso la integral vale