Multiplicar por j es una rotación

hay otra característica de los números complejos que quiero compartir con ustedes y lo veremos aquí abajo nuestra definición de j es que j al cuadrado es igual a menos 1 y ahora lo que quiero hacer es una secuencia de multiplicaciones de jota y es para mostrar una propiedad importante de esta unidad imaginaria vamos a calcular las potencias de jota y las voy a graficar en este plano complejo este es el eje real este es el eje imaginario vamos a encontrar las potencias de j comenzamos con jota a la 0 y cualquier número elevado a la 0 va a ser igual a 1 j a la 0 es 1 y si lo dibujamos en este plano complejo va a estar aquí sobre el eje real y nada sobre el eje imaginario ahora jota a la 1 va a ser igual a jota es j multiplicada por ella misma una sola vez por lo que es igual a jota sí gráfica moss este número va a estar por acá sobre el eje imaginario no va a tener componente real es completamente imaginario continuemos ahora nos toca encontrar jota al cuadrado a que es igual pues lo escribí aquí arriba jota al cuadrado es igual a menos 1 donde ponemos esto en el plano complejo pues acá menos 1 de este lado y va a estar sobre el eje real no tiene componente imaginario ahora calculemos jota al cubo pues esto va a ser igual a jota al cuadrado por jota y estas dos las tenemos aquí arriba jota al cuadrado es menos 15 está a la 1 es igual a jota menos 1 por jota y es igual a menos jota donde está esto en nuestra gráfica pues va a estar aquí abajo en la parte negativa de nuestro eje imaginario no va a tener componente real tenemos cuatro respuestas encontremos un par más ahora tenemos jota a la cuarta va a ser igual a jota al cuadrado por jota al cuadrado y vemos que es menos 1 x menos 1 que es igual a 1 vamos a graficar lo y vemos que ya lo grafica mos está justo aquí hagamos uno más jota a la quinta es igual a jota a la cuarta por j aquí tenemos jota la cuarta que es igual a uno por jota por lo que es igual a jota vamos a graficar lo y vemos que ya lo tenemos aquí podemos ver que tenemos un patrón aquí 1 j - 1 - j 1 j menos 1 y menos jota se sigue repitiendo y aquí viene lo interesante de esto si dibujamos estos como vectores si dibujamos a estos números imaginarios como vectores cuando multiplicó por j aquí uno por j nuestro vector rota a 90 grados este es el primer paso que teníamos aquí cuando multiplique a uno por jota y me quedó j cuando tuvimos jota al cuadrado terminamos en menos uno por lo que multiplicar de nuevo por jota causa que nuestro vector rote o gire otros 90 grados si lo hacemos otra vez y multiplicamos esto por otra jota llegaremos a carl y el último nos lleva hasta acá esta es una propiedad clave de j de esta unidad imaginaria el multiplicar por la unidad imaginaria nos va a dar esta rotación o este giro de 90 grados cada vez es la idea de un número que ocasiona que otros números giren o rotten y esta es una característica de j que la hace muy importante y es la razón por la que usamos números imaginarios en ingeniería eléctrica aquí la idea clave es que j gira esto es lo que nos encanta de j y lo último que quiero mencionar es las potencias negativas de j qué sucede con ellas si tenemos jota a la menos 1 va a ser igual a 1 / j y si multiplico esto por jota entre jota y cualquier cosa entre sí misma va a ser igual a 1 por lo que no estoy modificando el valor aquí y esto va a ser igual a jota aquí arriba entre j por jota jota al cuadrado a que es igual jota al cuadrado pues lo tenemos por aquí es igual a menos 1 por lo que esto es igual a jota entre menos uno que es igual a menos jota así que siempre que veamos a jota en una fracción jota a la menos uno básicamente va a introducir un signo negativo y vamos a tener una jota con signo negativo como resultado de esta fracción así que jota a la menos 1 es igual a menos jota y vamos a usar esto en ocasiones para ayudarnos con la matemática así que este fue un repaso rápido de los números complejos y si algo de esto fue nuevo para ustedes los invito a que vayan y vean los vídeos que tenemos en cana acá de mí sobre números complejos y si esto es algo que ya habían visto pues espero que les haya ayudado a desempolvar un poquito estos conocimientos para estar listos y usar estos números