Usar matrices para transformar el plano: Componer matrices

Aquí tenemos dos matrices de transformación  distintas, y en este video vamos a pensar en cómo   podemos construir una nueva matriz basada en la  composición de estas matrices de transformación,   o, si queremos decirlo de una forma más simple,  lo que buscamos es una nueva transformación que   consista en aplicar, primero, una de  estas matrices de transformación y la   otra inmediatamente después. Entonces, primero  repasemos lo que está pasando: si tenemos un   vector aleatorio ab, ya sabemos que lo podemos ver  como a por el vector [1, 0], el vector unitario   en dirección X, más b por el vector [0, 1], el  vector unitario que va en la dirección vertical.   Ahora bien, si aplicamos esta idea a la matriz  de transformación A, tenemos que en lugar de usar   los vectores [1, 0] y [0, 1] usaremos estas dos  columnas, es decir: si aplicamos la transformación   a este vector, que llamaremos [ab]', nos quedará  a por, y en lugar de multiplicar por el vector   [1, 0], usaremos la columna [0, 5], más b  por, y en lugar del vector [0, 1], usaremos   la columna [2, -1]. Bien, este es un pequeño  repaso, pero lo que quiero que pensemos en este   video es ¿cuál será la matriz de transformación  de la composición?, y la denotaremos como B°A.   Puedes reconocer esto de la notación de funciones,  en donde primero aplicamos la función A y lo que   obtenemos de salida lo insertamos en B, obteniendo  así una nueva salida. Y esto tiene sentido porque   podemos ver las matrices de transformación como  funciones, funciones que mapean puntos en el plano   coordenado. Entonces, en esta situación, ¿cuál  será la matriz de transformación que represente   la composición de éstas dos? Pausa el video y  piénsalo. Muy bien, lo que pasará es que primero   transformaremos cualquier punto usando estos  dos vectores [0, 5] y [2, -1], porque esta es   la primera transformación que tenemos que hacer,  y después aplicaremos esta segunda transformación   al vector resultante. Ahora, esto parece un poco  complicado, y no queremos escribirlo en términos   de a y b, sino que queremos escribirla en términos  de una matriz de transformación. Entonces,   una forma de pensar en esto es transformar cada  uno de estos vectores que tenemos en la matriz A,   porque recuerda: estos vectores nos dicen en  qué se convierten los vectores unitarios [1,   0] y [0, 1]. Entonces, si transformamos [0, 5]  usando la matriz B, y también transformamos [2,   -1] usando la matriz B y los ponemos en sus  respectivas columnas, obtendremos la composición.   Déjame escribirlo de esta forma. Vamos a decir que  la composición B°A es igual a una gran matriz de 2   x 2, y lo primero que haremos es aplicar la matriz  de transformación B al vector columna morado de A,   que nos quedará, bueno, esto será 0 [ -3, 1], vamos a escribirlo: nos queda 0 [-3,   1] + 5 [0, 4], 5 por 0 4. Esto nos dará un  vector de 2 x 1; y esa será nuestra primera   columna de la composición. Ahora pensemos en este  segundo vector [2, 1], si lo transformamos usando   B ¿qué obtendremos? Obtendremos 2 [-3, 1] más  -1, y entonces mejor lo escribimos así:   -1 [0, 4]. Y esto no parece una matriz aún, pero  si resolvemos todo esto obtendremos una matriz de   2 x 2, es decir, si multiplicamos, bueno, 0 por  lo que sea es 0 y 5 por este vector será: 5 por 0   es 0 y 5 por 4 es 20, me queda el vector [0, 20];  mientras que en esta otra parte tendremos 2 [-3,   1] será igual a [-6, 2], y a esto le restaremos  el vector [0, 4]. Y ahora, si queremos escribir   esto de manera clara como una matriz de 2 x 2,  tendremos como resultado -y creo que merecemos un   redoble de tambor-: la primera columna es [0, 20]  mientras que en la segunda columna tenemos [-6,   -0], sigue siendo -6, y 2 - 4 = -2. Y lo hemos  logrado, hemos creado una nueva matriz de   transformación basada en la composición B°A, por  lo tanto, si aplicamos la matriz de transformación   A a cualquier vector y después aplicamos la matriz  de transformación B a ese vector resultante,   será equivalente a aplicar sólo esta matriz de  transformación de 2 x 2 de la composición B°A.