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Curso: Precálculo > Unidad 7
Lección 12: Representar sistemas de ecuaciones con matricesRepresentar sistemas de ecuaciones con matrices
Dado un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 variables, podemos representarlo con la ecuación Ax=b, donde A es una matriz de 3x3, x es un vector tridimensional con las variables, y b es un vector tridimensional constante. ¿Por qué es útil? Podemos resolver el sistema resolviendo la ecuación, lo que en muchos casos es mucho más eficiente. Creado por Sal Khan.
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Transcripción del video
Me encanta analizar el mismo
problema de diferentes maneras. Por ejemplo, si tuviera un sistema de
tres ecuaciones con tres incógnitas, déjame inventar uno, 3x - 2y - z = -1, esa es una ecuación. Y en
tres dimensiones, esto representaría un plano. Y luego tengo otra,
2x + 5y + z = 0. Eso representaría otro plano. Ahora, si tuviéramos dos planos no paralelos,
se intersecarían entre sí y formarían una recta. Pero si tuviéramos un tercer plano,
vamos a escribirlo -4x - y = 8, entonces es posible, aunque
no siempre va a ser el caso, de que todos ellos se intersequen en
exactamente una coordenada x, y, z. Ahora, en otros videos ya hemos hablado sobre
cómo resolver sistemas de ecuaciones como este, con tres ecuaciones y tres incógnitas. Pero lo que quiero hacer en este video
es relacionar esta idea con la noción de matrices y multiplicación de matrices,
que ya también hemos visto en otros videos. Así que podemos pensar en este mismo
problema de la siguiente manera. Tomemos todos los coeficientes y creemos
una matriz de tres por tres con ellos. Vamos a hacerlo. Por ejemplo, tomaremos todos
los coeficientes para x, un 3, un 2 y un -4, y los pondremos en esta primera
columna aquí, 3, 2 y -4. Después hacemos lo mismo con todos los
coeficientes y, - 2, 5 y -1. - 2, 5 y -1. Y por último, pero no por eso menos
importante, todos los coeficientes z, un -1, un +1 y luego, implícitamente
tenemos 0z por aquí. No se puede ver. Así que sería -1, +1 y luego un 0. Así que estos son los coeficientes para x en púrpura, para y en amarillo y en
color salmón para z justo aquí. Ahora bien, vamos a multiplicar esta matriz por
un vector desconocido x, y y z, y lo vamos a igualar a un segundo vector tridimensional,
que sí conocemos, y que es -1, 0 y 8. Y sé que estás pensando en un montón de
cosas en este momento. Piensas: “Sal, esto parece algo mágico. Acabas de tomar los
coeficientes, y poner las x, y, z por aquí, y después colocaste lo que está a la derecha
del signo de igual, es decir, los lados que no tienen las variables en él, por acá. ¿Tiene
realmente sentido todo esto? ¿Funciona realmente?” Y para validar esto, vamos a multiplicar
el lado izquierdo de esta ecuación. En otros videos, hemos hablado de cómo multiplicar
una matriz de tres por tres, en este caso, por una matriz de tres por uno. Esto nos va a dar una
matriz de tres por uno. Así que eso ya se ve bien. Y sabemos que estos dos tienen
que coincidir en orden para que la multiplicación pueda estar definida. Entonces, las dimensiones del
producto van a ser tres por uno. Pero vamos a multiplicar todo esto. Para empezar, solo vamos a centrarnos en el lado izquierdo
y una forma de construirla es tomar esta fila y esta columna y luego tomar la suma del
producto de los términos correspondientes. Así que esto va a ser 3 veces x, que es 3x, menos
2 veces y, -2y, menos 1 vez z, -1z. Justo así. Y luego, para obtener la siguiente vamos a tomar
toda esta fila y multiplicarla por esta columna. Así que va a ser 2 veces x, y
esto es solo un repaso de cómo multiplicar matrices, más 5 veces
y, más 5y, más 1 vez z, más 1z. Y luego, por último pero no por eso menos
importante, si tomamos esta fila y esta columna obtenemos -4 veces x, -4x, menos 1 vez y,
–y, y luego 0 veces z, que podría o no escribirlo. Vamos a escribirlo para que
todo quede claro. Y así, el producto de lo que tenemos en
el lado izquierdo es esto de aquí. Cuidado, podría parecer una matriz de tres por
tres, pero en realidad es un vector de tres por uno por aquí, ya que si tenemos algún valor para
x, y y z, esto se va a evaluar a un cierto número. Del mismo modo, esto se va a evaluar a algún otro
número, y esto se va a evaluar a otro número. Y sabemos, de esta ecuación de una matriz
por un vector que hemos establecido, que esto, el lado izquierdo, este
producto, tiene que ser igual a lo que tenemos en el lado derecho.
Tiene que ser igual a -1, 0 y 8. Lo que significa, y creo que
ya empieza a tener sentido, que esto tiene que ser igual a eso,
y que esto tiene que ser igual a eso, y por último pero no menos importante,
-4x - y + 0z tiene que ser igual a ocho, que es exactamente lo que ese sistema
original de ecuaciones nos estaba diciendo. Ahora, es probable que estén rondando algunas
preguntas por tu cabeza. Una de las preguntas es: “bueno, todo eso está muy bien, has encontrado
una forma diferente de representar este sistema, pero ¿esto es una nueva forma de resolverlo?”. Y la respuesta que te daré por ahora es que sí, esto nos llevará a una nueva forma
de resolverlo. Porque si lo piensas, estamos tomando el producto de una matriz
y un vector aquí para obtener otro vector. Si existe alguna manera de desenrollar
la multiplicación de esta matriz, entonces podríamos hacerlo, porque después
podríamos aplicarlo a este vector de la derecha, y luego hallar este vector desconocido de aquí. Y esta es la forma en que, por ejemplo,
las computadoras, utilizando un montón de algoritmos, tratan de resolver problemas
como este, representándolos como matrices. Ahora, otro aspecto interesante de
la representación en sí es que te hace pensar este problema de
una forma un poco diferente. Podrías ver esto como tres planos en
tres dimensiones y la coordenada x, y, z como el punto en donde se podrían intersecar, o podrías ver esta matriz de tres por tres aquí
como una matriz de transformación que se le está aplicando a este otro vector tridimensional
desconocido, y bajo esta transformación del vector tridimensional desconocido obtenemos
este vector tridimensional conocido, - 1, 0 y 8. Así la pregunta para resolver esto sería: ¿podemos hacer una transformación inversa en el
lado derecho para hallar este vector desconocido? Así que te dejaré por aquí, continuaremos con
este tipo de razonamiento en futuros videos.