Multiplicar números complejos gráficamente, ejemplo: -1-i

Supón que multiplicamos un  número complejo z por –1–i. Y nos muestran z por aquí. ¿Qué punto representa el producto de z por –1–i? Pausa el video y ve si puedes  encontrar la respuesta. Perfecto, ahora trabajemos juntos. Bien, la forma en la que pienso en  esto es que cuando multiplicamos   por un número complejo, lo que  hacemos es rotar su argumento.  Y vamos a escalar el módulo de z  por el módulo del número complejo. Así que vamos a pensar un poco en esto. Voy a dibujar otro plano complejo por aquí,   este es mi eje real, este es mi eje imaginario. Y coloquemos –1–i, por aquí tengo –1, y por  aquí –i, entonces este punto representa –1–i. Ahora pensemos en un par de cosas.  Primero pensemos en cuál es su argumento,  y después pensemos en cuál es su módulo. El argumento será este ángulo de aquí. Además, puede ser que reconozcas que   si este lado tiene una longitud de (uno) 1 y  este otro lado tiene una longitud de (uno) 1,   entonces tenemos un triángulo 45º, 45º,  90º. Es decir, este ángulo es de 45º,   aunque claramente tenemos 180º antes. Es  decir, este ángulo completo será 180º+45º,   lo que nos da un argumento de 225º. Así que su argumento será igual a 225º. Entonces, cuando multipliquemos  por esto tendremos que rotar 225º.  Así que, veamos, por aquí rotamos 180º y después   45º más. Así que si solo rotamos  ese ángulo terminaríamos aquí. Sin embargo, también vamos a escalar el módulo,   y puedes ver que tenemos dos opciones  que escalan ese módulo. Por lo tanto,   la respuesta será la opción A o la B, ya que  la opción C y D rotan más hasta llegar por acá. Ahora, para encontrar la respuesta correcta,  necesitamos saber el módulo de –1–i,   de este punto de aquí, ya que vamos a  escalar el módulo de z por esa cantidad. Bueno, el módulo simplemente es la distancia  desde el cero en el plano complejo. Es decir, será   esta distancia de aquí. Y para obtenerla podemos  utilizar el teorema de Pitágoras. Si llamamos a la   hipotenusa c, sabemos que c^2=1^2+1^2. O c^2=2 o c es igual a la raíz cuadrada de 2. Así que este es su módulo. Su módulo   es igual a la raíz cuadrada de 2, que  es aproximadamente un poco más que 1.4. Así que digamos que es aproximadamente 1.4. Por lo tanto, no solo vamos a rotar  225º, además vamos a escalar el módulo,   es decir, la distancia desde el origen por 1.4. Así que, por aquí, tenemos 3 unidades desde el   origen. Y si las multiplicamos por  1.4, 3 por 1.4 es exactamente 4.2. Entonces 4.2 de estas unidades son 1, 2, 3,   4 y un poco más. Así que llegamos  a la opción B y hemos acabado.