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Curso: Preálgebra > Unidad 7
Lección 8: Multiplicar y dividir números negativos- Por qué multiplicar un negativo por un negativo tiene sentido
- Por qué un negativo por un negativo es un positivo
- Signos de las expresiones
- Multiplicar números positivos y negativos
- Dividir números positivos y negativos
- Multiplicar números negativos
- Dividir números negativos
- Repaso de la multiplicación de números negativos
- Repaso de la división de números negativos
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Por qué multiplicar un negativo por un negativo tiene sentido
Usa el modelo de la multiplicación como sumas repetidas para entender la multiplicación de números negativos. Creado por Sal Khan.
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- Yo lo plantearía de esta forma:
Si se sabe que -5 - (-5) = -5 + 5 porque se nos indica que se quiere quitar 5 de deuda.
Y para eso se tiene que quitar 5 de esa deuda.
Para lo que se necesita sumar 5 para quedar en ceros esa deuda.
Ahora, una vez entendido esto, si pasamos a la multiplicación de números negativos, se puede interpretar como que "se quiere saber el número que se necesita para quedar en ceros una deuda" o "la cantidad necesaria para que una deuda quede en ceros".
Por lo cual, si se quiere saber la cantidad que se necesita para que tu deuda quede en ceros, necesitas restar cierto número de veces un número para que tu deuda quede en ceros.
Lo cual se puede interpretar también como el "ir abonando cierto número de veces" a tu cuenta para que esta esté en ceros.
Ahora, si tenemos *-12 x -3*. Podríamos interpretar esto como que se quiere restar 3 veces -12 o que se quiere restar 12 veces 3 veces.
Por lo que para poder restar un número negativo se sabe que se tiene que volver positivo para que pueda restarse. Por lo que la operación será equivalente a:-12 x -3 = -(-12)-(-12)-(-12)
Porque se quiere restar 3 veces en número 12.
Y como sabemos, para restar un número negativo de otro número negativo, el número que va a ser el sustraendo tendrá que se positivo para que se pueda restar del minuendo negativo.
Por lo que tiene sentido si en la ecuación -12 x -3 los números pasan a ser positivos. Ya que se interpreta que se quiere restar una cantidad negativa cierto número de veces.
Por lo que para restar una cantidad negativa, se tiene que tener números positivos. Por lo cual la ecuación -12 x -3 queda de la siguiente manera:
-12 x -3 = -(-12)-(-12)-(-12) = 12 + 12 + 12 = 36
Y si se retoma el ejemplo de la deuda descrito anteriormente, se puede decir que se necesitan 36 unidades para que la deuda quede en ceros de nuevo
Bueno, esta fue la forma en que yo me formulé el por qué al multiplicar un número negativo por otro negativo sale positivo.
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Transcripción del video
Imagina que tú, un antiguo filósofo matemático,
has concluido que para que la multiplicación de números positivos y negativos sea consistente
con todo lo que has desarrollado hasta ahora, con todas las demás propiedades de la multiplicación
que conoces hasta ahora, necesitas que un número negativo multiplicado por un número positivo o un
número positivo por un negativo te dé un número negativo, y que un número negativo multiplicado
por otro número negativo te dé un número positivo. Así lo aceptas, todo es consistente hasta ahora,
pero en realidad no tiene un sentido concreto completo para ti, y quieres tener una intuición un
poco más profunda, más que simplemente aceptar que es consistente con la propiedad distributiva
y todo lo demás. Entonces intentas hacer otro ejercicio mental, dices "Bueno, ¿cómo funciona
la multiplicación básica?" Entonces, si digo 2 x 3. Una forma de conceptualizar esto es que la
multiplicación básica en realidad es una suma repetitiva, por lo que podrías ver esto como dos
veces 3, literalmente es 3 + 3, y observa que hay dos de estos; o podrías verlo como tres veces dos,
por lo que esto es lo mismo que 2 + 2 + 2, y hay tres de ellos. Ambas formas de conceptualizarlo
te darán exactamente la misma respuesta: esto va a ser igual a 6. Esto ya lo sabías desde
antes de intentar abordar los números negativos, ahora intentemos hacer negativo uno de estos y
veamos qué sucede. Hagamos 2 x -3. Voy a poner el negativo en un color diferente, hay 2 x -3.
Bueno, una forma de visualizar esto es usar la misma analogía de arriba: es 3 negativo 2 veces.
Intentaré usar un código de color: 3 negativo y luego otro 3 negativo, o podría decir 3 negativo
-3 o, y esto es interesante: si vemos aquí arriba, en 2 x 3 sumamos 2 tres veces, pero como aquí hay
2 x -3 también podrías imaginar que vas a restar el 2 tres veces. Entonces aquí arriba pude haber
escrito + 2 + 2 + 2 porque este es un 3 positivo, pero ya que aquí tenemos un 3 negativo podemos
imaginar que restaremos 2 tres veces, por lo que aquí restamos 2, por acá restamos otro 2 y luego
restamos otro 2. Observa que de nuevo lo hiciste tres veces, entonces como este es un 3 negativo,
esencialmente estás restando 2 tres veces, y de cualquier forma en que lo pienses obtendrás 6
negativo. Ya comenzamos a sentirnos mejor con esta parte de aquí: negativos por positivos o positivos
por negativos te darán un negativo. Ahora veamos a lo que no es intuitivo. Al multiplicar negativo
por negativo de repente se cancelan los negativos y queda un positivo, ¿por qué ocurre esto?
Bueno, podemos usar este ejemplo de aquí. Digamos que tenemos 2 negativo multiplicado
por 3 negativo. Haré primero esta forma, vamos a multiplicar algo por 3 negativo, de
modo que restaremos repetidamente esto tres veces sin importar qué sea. Pero ahora esto
no es un 2 positivo, lo que vamos a restar tres veces es un 2 negativo. Permíteme aclararlo:
aquí dice que tenemos que restar algo tres veces, entonces restamos algo tres veces, eso es lo que
nos indica esta parte de aquí, y haremos esto exactamente tres veces, aquí arriba restamos
2 positivo tres veces. Ahora será 2 negativo, y sabemos desde que aprendimos a restar números
negativos que restar un negativo es lo mismo que sumar un positivo, por lo que esto va a ser lo
mismo que 2 + 2 + 2, lo que de nuevo nos da 6 positivo. Puedes aplicar la misma lógica de aquí,
pero ahora en lugar de sumar 3 negativo dos veces, que pude haber escrito como la suma de 3 negativo
más 3 negativo, es decir, sumar -3 dos veces, ahora vamos a restar 3 negativo dos veces. Vamos a
restar algo y vamos a restar de nuevo ese algo, y ese algo va a ser el 3 negativo: así que negativo,
negativo, y poner nuestros 3 aquí. Y una vez más: restar un negativo es como quitarle a alguien su
deuda, que es esencialmente darle dinero; esto es lo mismo que sumar 3 + 3, que nuevamente da como
resultado 6. Así que ahora tú, como el antiguo filósofo, te sientes bastante bien, no sólo todo
esto es consistente con todas las matemáticas que conoces: la propiedad distributiva, la
propiedad asociativa, todas estas cosas que ya sabes. Y ahora esto realmente tiene sentido
para ti, esto en realidad es consistente con la noción original o una de las posibles nociones
de la multiplicación como una suma repetida.