Bases del espacio nulo y del rango

en este vídeo y tal vez en los posteriores quiero hablarles acerca de todo lo que ya hemos visto es decir quiero contar todo lo que hemos visto acerca del vector columna linealmente independiente es un espacio vectorial una base un espacio vectorial el espacio en una matriz del espacio 9 una matriz en su forma escalonada todo eso lo quiero meter en un vídeo o en varios a partir de ahorita así que aquí tengo una matriz y lo que quiero es investigar qué onda con esta matriz y lo primero que me gustaría ver es cuál es el espacio columna de la matriz ha hecho déjame ponerlo aquí abajo el espacio columna de la matriz y si haces un poco de memoria lo que vimos en el vídeo pasado es que el espacio columna de la matriz ar es exactamente lo mismo que el espacio vectorial generado por los vectores columnas la matriz es decir el vector 123 el vector 114 el vector 141 y el vector 132 es decir me estoy tomando todos los vectores columna de esta matriz am y lo que voy a hacer es calcular el espacio vectorial de esta matriz y este es el espacio columna y si a mí me impidieran cuál es el espacio columna pues ya cabe es justo el espacio vectorial que se forma por estos cuatro vectores pero saber si son linealmente independientes si son una base que genere en el espacio y cómo se podrá visualizar el espacio al que me estoy refiriendo esas son preguntas que voy a tratar de resolver a lo largo de este vídeo pero lo que sí quiero que quede claro es que si a ti te preguntaban cuál es el espacio columna de la matriz a pues es justo esto que tenemos aquí el espacio vectorial formado por estos cuatro vectores y ya esa es la respuesta ahora bien si yo quisiera saber si estos cuatro vectores son linealmente independientes o dependientes pues una de las maneras para resolver esta pregunta es fijarme el espacio nulo de la matriz a pero recuerda que el espacio mundo de la matriz am y esto fue lo que vimos hace un par de vídeos es exactamente el mismo que el espacio nulo de la forma escalonada de la matriz y por lo tanto si buscamos el espacio nulo de la forma escalonada de la matriz am creo que va a ser mucho más sencillo para encontrar el espacio nulo de la matriz a y recuerda si el espacio es nulo de la matriz am solamente contiene al vector entonces mis vectores que forman a mi espacio columna son linealmente independientes si existe al menos otro vector que no sea el vector cero en un espacio nulo de la matriz a entonces estos vectores son linealmente dependientes así que para hacer las cosas más fácil primero busquemos la forma escalonada de la matriz am y voy a dejar el primer renglón igual y a continuación lo que quiero hacer es que tengamos un cero en este primer componente es decir voy a multiplicar por dos la primera fila ya esto le voy a restar la segunda fila y que me queda y para que no se nos olvide que estamos haciendo déjeme escribirlo aquí lo que voy a hacer es tomarme dos veces este renglón y después restarle la fila número dos y bueno entonces que me va a quedar 2 por 12 menos 12 0 después 2 por 12 menos uno me va a dar 1 después 2 por 12 menos 4 estos menos 22 menos 4 - 2 y por último dos por 12 menos tres es menos 2 3 - 1 y ya tengo este otro renglón que tengo aquí y ahora lo que voy a hacer es fijarme del tercer renglón y me voy a tomar este tercer renglón menos tres veces el primero lo que voy a intentar es que tengamos la menor cantidad de entradas negativas por lo tanto no voy a tomar esta tercera columna menos tres veces la primera columna para que en un principio me quede cero y que me va a quedar así que esto menos esto déjame ponerlo aquí lo voy a escribir son tres veces esta columna y me voy a tomar la resta de esta menos esta y entonces que me va a quedar 3 menos 304 menos 3 es uno que te das cuenta que hay puros 34 menos 3 es 11 menos 3 - 2 y 2 - 3 - 1 y bueno ya que tengo ahora a esta matriz de aquí lo que voy a hacer en primer lugar es fijarme en estos dos unos que tengo aquí y dos voy a reducir para que poco a poco me quede una matriz escalonada entonces el segundo renglón lo voy a dejar tal cual cero 1 2 - 1 y voy a trabajar cuando el primer renglón y con el tercer renglón y para el primer renglón de que voy a hacer es tomarme el renglón 1 la fila 1 - la fila 2 es decir este menos este 1 - 0 1 1 1 es 01 - menos 2 es lo mismo que uno más 2 que es 3 103 y por último y después 1 - menos uno en lo cuales dos uno más uno es 2 1 032 y aquí abajo en mi tercer renglón en mi tercer fila date cuenta de lo siguiente que tenemos dos filas iguales y por lo tanto puedo eliminarlas si yo restó la segunda menos la tercera entonces se va a cancelar la tercera y me va a quedar como las dos son iguales cuando yo tomé la diferencia de ambas pues no va a quedar por 000 menos dos más dos es cero y menos uno más uno es 0 x 0 y aquí también 0 menos uno más uno es cero y bueno ya que tengo la forma escalonada de la matriz esta es la forma escalonada porque en mi tercer renglón es un renglón de puros ceros y los dos primeros renglones las dos primeras filas están escalonadas y por lo tanto estábamos buscando el espacio nulo de la matriz am dijimos que el espacio nulo de la matriz a es exactamente lo mismo que el espacio nulo de la forma escalonada de la matriz a que es justo esta que tengo aquí y como encuentro un espacio nulo bueno para esto lo que tenemos que hacer es tomarnos a esta matriz y multiplicarla por un vector de cuatro componentes porque tenemos cuatro columnas x 1 x 2 x 3 de x 4 y el espacio nulo es todos los vectores x de esta forma que cumplan que a x o en este caso la forma escalonada de la matriz a por x sea igual al vector 0 el vector 0 de 3 componentes porque tenemos 3 filas y bueno si te das cuenta aquí lo que puedo hacer es un sistema de ecuaciones en los cuales voy a obtener variables pivote y variables libres las variables pivotes son aquellas que si nos fijamos en su respectiva fila en la forma escalonada de la matriz a tenemos una entrada con 1 y las otras dos entradas puros ceros mientras que las variables libres van a ser nuestras variables dependientes es como variables independientes y variables dependientes así que fíjate bien vamos a multiplicar esta primera fila por nuestro vector xy me queda 1 por x 1 que ese es uno más 0 por x 2 que esté x 2 + 3 por x 3 que es 3 veces x 3 más 2 por x 4 que es 2 veces x 4 y esto tiene que ser igual a 0 a este 0 que está en nuestro primer componente de nuestro vector resultante 0 ahora mi siguiente ecuación quién va a ser pues es esta segunda fila por mi vector x y es 0 x x 1 + 1 por x 2 es decir x 2 menos 2 veces x 3 - x 4 y esto también tiene que ser igual a 0 y si multiplicamos nuestra tercera fila por el vector x pues date cuenta que no llegamos a nada porque tendremos 0 + 000 es igual a 0 y pues eso pues ya no sabemos por lo tanto no tenemos una tercera cuestión solamente tenemos estas dos ecuaciones las cuales cada una de ellas tiene una variable pivote qué es estas dos que estoy circulando aquí y tiene aparte variables libres o variables independientes y las variables vivo te las voy a dejar del lado izquierdo de la ecuación mientras que mis variables libres las voy a poner del lado derecho de la ecuación date cuenta que encontramos una variable pivote porque si nos fijamos en la fila que tiene la variable pivote todas las demás entradas de esa fila son cero mientras que una variable es libre cuando existe el menos otra componente en esa fila que no es cero por lo tanto x 3 es una variable libre x 4 es una variable libre mientras que que es 1 y x2 son variables pivote y bueno pues voy a despejar las a ver qué es lo que me queda y tengo x 1 es igual a todo esto entonces vamos a dejar a x 1 del lado izquierda de la ecuación y vamos a pasar todo lo que no tenga que ver con x 1 del lado derecho estos dos se van porque es 0 x x 20 x 1 x 0 0 y me queda que x 1 en la primera ecuación es igual a menos 3 veces x 3 menos 2 veces x 4 lo único que hice fue restar menos 3 veces x 3 menos 2 veces x 4 de ambos lados de la ecuación y de la segunda ecuación que obtengo x2 es igual a 2 veces x 3 + x 41 que está siendo sumando 2 veces x 3 más x 4 de ambos lados de la ecuación y aquí te das cuenta que ya tengo dos variables pivote o dos variables dependientes que es x1 y x2 mientras tengo dos variables independientes o libres que es x 3 y x 4 y ahora sí vamos a escribir entonces quién es el espacio en uno de la matriz a que por ciento es el espacio no lo de la forma escalonada de la matriz y lo podemos ver como los siguientes vectores los vectores x 1 x 2 x 3 x 4 que cumplan y aquí es cuando voy a utilizar esta información que tengo esta información de mis variables pivote y de mis variables libres porque hay x1 lo puedo ver como menos 3 veces x 3 menos 2 veces x 4 y x2 lo puedo ver también como 2 veces x 3 más x 4 es decir que x1 y x2 dependen de x 3 y de x 4 por lo tanto si yo quiero escribir al vector x1 y x2 x x4 entonces lo puedo ver de la siguiente manera como x1 lo puedo escribir dependiendo x3 y x4 y como x 2 también lo puedo escribir dependiendo x 3 y x 4 entonces a mi vector x lo puedo ver como a x 3 que por cierto va a ser una constante que multiplica a un cierto vector y después como todo también está escrito en la variable x 4 voy a poner más x 4 que multiplica a otro vector x 3 a que vector multiplica pues bueno fíjate que forma x 1 con menos 3 veces x 3 menos 2 veces x 4 por lo tanto voy a poner aquí en el vector de este lado del x 3 en menos 3 ya esto hay que sumarle menos 2 veces x 4 así que aquí voy a poner menos 3 menos 3 x x 3 - 2 x x 4 me dan y vector x 1 se cumple la igualdad y x2 se forma con 2 veces x 3 + una vez x 4 2 veces x 3 + x 4 es lo mismo que x 2 se cumple mi igualdad y después x 3 es igual a x 3 lo multiplicamos por 1 y le sumamos 0 veces x 4 x4 lo podemos ver como 0 veces x 3 + una vez el mismo una vez x 4 es por eso la importancia de variables libres y variables pivote porque las variables libres se pueden escribir como combinación lineal de ellas mismas mientras que las variables pivote también se pueden escribir como una combinación lineal de las variables libres y entonces obtengo que el vector x 1 x 2 x 3 x 4 lo podemos ver como esta combinación lineal de estos dos vectores porque tanto x 3 x 4 existen en los números reales como habíamos visto hace un par de vídeos entonces a este vector que tengo aquí lo puedo ver como una combinación lineal de estos dos vectores del vector -3 2 1 y 0 y del vector menos 2 1 0 y 1 estos dos vectores cuando tomamos cualquier combinación lineal de ellos nos va a cumplir mi ecuación homogénea asociada y por lo tanto puedo decir que como toda combinación lineal de estos vectores nos sirven para resolver la ecuación homogénea asociada entonces el espacio vectorial formado por estos dos vectores es exactamente el mismo que el espacio nulo de la matriz y por lo tanto es lo mismo que el espacio nulo de la forma escalonada de la matriz am así que ya tenemos una respuesta el espacio nulo de la matriz am es el espacio vectorial generado por estos dos vectores por el vector menos 3 2 10 y por el vector menos 2 10 y 1 y entonces nos ponemos bastante feliz por esta respuesta pero pero que eso que queríamos realmente entonces vamos a recordar atrás lo que íbamos lo que íbamos era buscar el espacio nulo de la matriz a que por 7 habíamos dicho que es lo mismo que el espacio un nudo de la forma escalonada de la matriz ham porque nosotros queríamos saber qué pasaba con los siguientes vectores con el vector 132 los vectores columnas de la matriz a 123 perdón el vector 123 el vector 114 el vector 141 y el vector 132 y el vector 132 y tras lo que andábamos era respondernos la pregunta acerca de que estos vectores serán linealmente independientes o linealmente dependientes así que déjame ponerlo aquí estos vectores son linealmente independientes esa era nuestra pregunta recuerdas y bueno pues vamos a ver un poco de la teoría que vimos en el vídeo pasado nosotros habíamos dicho ya habíamos concluido en el vídeo pasado que si nosotros teníamos los vectores del espacio columna de la matriz am estos vectores eran linealmente independientes si encontrábamos una única solución a la ecuación línea la homogénea asociada a x igual a cero si solamente teníamos una solución a esta ecuación estábamos diciendo entonces que la solución era el vector x igual a cero y por lo tanto que el espacio nulo de la matriz am sólo contenía el vector cero el espacio en uno de la matriz a solamente contenía el vector cero y por lo tanto eran linealmente independientes además habíamos visto que todo esto eran un sí solos y por lo tanto si yo encuentro al menos otro vector que no sea el vector cero en un espacio nulo de la matriz am esto quiere decir que en mis vectores son linealmente dependientes recuerda que en cualquier otro caso que no pasará esto que se cumple aquí abajo entonces tenía dependencia lineal y si te das cuenta que encontré dos vectores que están en espacios nulo de la matriz am estos dos que tengo aquí de hecho encontré que el espacio vectorial generado por estos dos era el espacio nulo de mi matriz amp por lo tanto como un espacio nulo de mi matriz a contiene a estos dos vectores de todas sus combinaciones lineales y no solamente contiene el cero podemos decir que hay muchos más vectores que cumplen la ecuación en línea la homogénea asociada y entonces esto quiere decir que existen más de una solución más que solamente el vector cero y entonces que mis lectores son linealmente dependientes inspectores son linealmente dependientes que responde la pregunta que teníamos en un inicio saber si el conjunto de vectores columna de mi espacio columna este conjunto cda eran linealmente dependientes o linealmente independientes y ya podemos construir que son linealmente dependientes pero bueno que significa que tenga vectores linealmente dependientes nosotros nos tomamos a este espacio vectorial generado estos cuatro vectores y si te das cuenta lo que nos preguntábamos en un inicio es que si estos cuatro vectores formaban una base de nuestro espacio y las respuestas que no forman una base de nuestro espacio porque no son linealmente independientes por lo tanto no es una base de cde a podemos notar que claramente estos cuatro vectores generan nuestro sub espacio pero nosotros linealmente independientes por lo tanto no son una base de sda y recuerda que para hacer una base necesitábamos que fueran linealmente independientes y que generarán su espacio oa mi espacio y como no son linealmente independientes entonces existe un intruso supongamos este puede ser cualquiera de todos los demás tal que no aportan ninguna nueva información es decir que podemos escribir a este intruso como una combinación lineal de los otros tres y de hecho pues vamos a hacerlo para acabar todo este análisis así que manos a la obra y bueno de hecho podría acabar aquí el vídeo pero no de una vez vamos a trabajar con todo esto porque me parece bastante interesante que sabemos yo sé que x 1 que multiplica a mi primer vector columna 1 2 + x2 que multiplica a mi vector 114 más x 3 que multiplica a mi vector 141 más x 4 que multiplica a 1000 vector 132 esto es igual a 0 porque cumple la ecuación homogénea y ahora como x 3 y x 4 son variables libres mientras que x1 y x2 son variables pivote entonces lo que voy a hacer es darle valores a estas variables libres es más lo que voy a hacer es fijarme en esto que tengo aquí pasar a x 4 del otro lado ya x 3 lo voy a bautizar con el valor de 0 de una vez para que se cancele y entonces voy a pasar a x 4 del otro lado de la ecuación restando y por lo tanto que me va a quedar si supongo que x 3 es igual a 0 y déjame ponerlo aquí como x 3 es una variable libre es decir es una variable independiente pues voy a suponer que x 3 es igual a 0 entonces si x 3 es igual a 0 y si paso todo lo que tiene que ver con x 4 es decir x 4 x el vector 132 del otro lado de la ecuación entonces que me va a quedar pues esto se va a ver como x 1 que multiplica el vector 1 + x2 que multiplica al vector 114 después ya no pongo nada de x 3 porque x 3 es igual a cero y 0 por lo que sea es 0 entonces estos se cancelan se van y solamente me queda del otro lado de la ecuación menos x 4 que multiplica al vector 132 al vector 132 pero bueno x 4 también es una variable libre por lo tanto voy a suponer que x 4 es igual a menos 1 x 4 es igual a menos 1 y por lo tanto menos 1 x menos me va a dar 1 positivo 1 positivo por x 4 pues es 1 todo esto es 1 y me queda 1 por el vector 132 así que x 1 por el vector 123 + x2 por el vector 114 tiene que ser igual al vector 132 ya vamos simplificando un poco todo esto ojo cuando x 3 vale 0 y cuando x 4 vale menos 1 pero está genial porque si que es 3 vale 0 y x 4 vale menos 1 ya podemos obtener el valor de x1 y x2 con estas dos ecuaciones que tengo aquí y que habíamos encontrado hace rato te das cuenta entonces déjame y pegar esto de aquí y las voy a poner aquí abajo porque voy a trabajar con ellas dice x1 aquí las voy a poner es igual a menos 3 veces x 3 menos 2 veces x 4 pero si x 3 vale 0 y x 4 vale menos 1 entonces x 1 debe de valer menos 2 x menos 1 porque esto se extrae se van y después me queda menos 2 x menos 1 lo cual es 2 positivo entonces x 1 va a valer 2 vamos a escribirlo aquí estos dos valores implican que x1 marga 2 y que x 2 cuanto va a valer pues 2 veces x 3 se van y después me queda x 4 pero x 4 vale menos 1 entonces x 2 vale también menos 1 y entonces ya no puedo reemplazar aquí x 1 vale 2 x 2 vale menos 1 y si te das cuenta ya cumple con que este cuarto vector que yo tengo aquí este cuarto vector columna lo puedo representar como una combinación lineal de estos 2 2 por uno menos uno es 12 por 24 menos 1 es 32 por 36 menos 4 estos ya se cumplen acabo de encontrar que el cuarto vector lo puedo escribir como una combinación lineal de los dos primeros por lo tanto lo que me está diciendo es que el cuarto vector no me dan ninguna información nueva y es justo por esto que entonces muy conjunto de vectores no son linealmente independientes como tengo a x 3 y a x 4 como variables libres entonces dándole un valor x 3 x 4 encontré que este vector no me aporta información nueva y por lo tanto lo puedo escribir como una combinación de los dos primeros y se podrá hacer lo mismo con el tercero pues creo que va a pasar algo parecido así que vamos a hacerlo de una vez para no quedarnos con la duda si me fijo en el tercero pues ahora qué te parece si agarramos al revés los valores y ahora digo que x 4 es cero para que estos se cancelen y x3 es igual a menos uno entonces si x 4 es 0 déjame ponerlo aquí entonces esta parte de aquí se va a ir entonces esta última expresión se vamos se cancela porque son multiplicando por cero y si x 3 es igual a menos 1 entonces esto me queda menos 1 aquí en lugar de x 3 voy a poner menos 1 y si yo lo paso del otro lado sumando me va a quedar que x 1 que multiplica el vector 1 2 + x2 que multiplica el vector 114 esta suma de estos dos vectores es igual a este vector pero ya con signo positivo porque lo estoy pasando el otro lado de la igualdad entonces se convierte en el vector 141 positivo y de igual manera ya tengo un valor para x 4 ya tengo un valor para x 3 entonces con estas variables libres puedo reemplazarlas en estas ecuaciones encontrar mis variables pivote x1 tiene que ser igual a tres menos tres por menos uno estrés y x2 tiene que ser igual a menos dos porque recuerda que todo lo que tienen que ver con x 4 se va se cancela porque x 4 es cero y bueno x 1 igual a 3 x 2 igual a menos 2 será que ya secundó esta igualdad tres por uno menos dos es 13 por 2 6 menos 12 43 por 39 menos 8 es 1 perfecto también se cumple y esto quiere decir que entonces este tercer vector en nuestro conjunto de vectores columna tampoco aporta nada nuevo lo podemos escribir como una combinación lineal de los dos primeros vectores y bueno entonces con toda esta información a que estoy llegando el espacio vectorial generado y esperán es más déjeme ponerlo de esta forma éste sí lo cruzo y aquí voy a poner que entonces el espacio columna de la matriz am que era igual al espacio vectorial generado por los vectores b1 b2 b3 b4 columna a mis cuatro vectores columna de esta matriz am y ahora podemos prescindir de estos dos porque son combinaciones lineales de los dos primeros por lo tanto esto es lo mismo que el espacio vectorial generado por los primeros dos vectores es decir por el vector 123 y por el vector 114 como los otros dos son combinaciones lineales de los dos primeros entonces el espacio vectorial generado por estos dos vectores es mi espacio columna de la matriz a y aunque seguramente te estás preguntando si estos dos vectores son linealmente independientes es decir habrá forma de escribir a uno de los dos como una combinación lineal del otro y bueno si pensamos una combinación lineal de solamente un vector estamos pensando en la multiplicación escalar de este mismo vector así que habrá forma de escribir uno de estos como un múltiplo escalar del otro déjame ponerlo aquí si tengo el vector 123 ya este vector lo voy a multiplicar por una constante una constante que multiplica el vector 123 y esto por definición es exactamente lo mismo que 1 por 0 2 por 0 3 por 6 habrá forma de encontrar una constante que satisfaga que esto sea igual al vector 1 14 es decir en mi otro vector pues encontramos un hace que pase esto pues ya acabamos entonces que me poner aquí 11 4 pero entonces tenemos que igualar componente componente y en este caso me dice que se tiene que ser igual a 11 por uno es igual a 1 en este caso se tiene que valer un medio y aquí ya hay una contradicción y es más si no te basta en nuestra tercera componente se tendría que valer cuatro tercios y es otra contradicción es decir no podemos encontrar una constante una sola que satisfaga que al multiplicar la por el primer vector nos dé el segundo vector y es de igual manera para probar lo contrario para tomarnos el segundo vector y ver que no hay ninguna constante tal que al multiplicarlo por el segundo vector nos dé el primer vector esto quiere decir que estos dos vectores son linealmente dependientes y más aún que entonces el conjunto de vectores 1 2 3 si estamos bien 1 2 3 y 1 2 3 el conjunto de vectores que contiene el 1 2 3 y al 11 4 es una base y ojo es una base porque son linealmente independientes y porque generan a todo el espacio columna de a y bueno ya casi no tengo tiempo por lo tanto te dejo por este vídeo y bueno lo que voy a hacer en los siguientes vídeos es dado que ya establece que esta es una base del espacio columna de amd entonces vamos a intentar visualizarlo porque recuerda que podemos decir que el espacio columna de amd es igual al espacio vectorial generado por estos dos vectores y nos vamos a dar cuenta que en r3 el espacio vectorial generado por estos dos vectores es un plano un plano en r3 y bueno estoy haciendo un pequeñísimo repaso y lo he dicho miles de veces cuando estoy diciendo que esta es una base estoy diciendo que estos vectores generan el espacio vectorial de sda y bueno estos cuatro vectores también lo hacían pero la diferencia es que estos dos vectores de mí son linealmente independientes bueno de cualquier manera te dejo ahora