Rango(a) = Rango(transpuesta de a)

en algún vídeo anterior argumentó que el rango de una matriz am es igual al rango de su transpuesta y fue algo que dije sin demostrar lo dije como un dogma de fe porque estaba algo cansada pero lo voy a retomar porque porque es importante es un concepto de suma importancia y nos ayudará a entender lo ya aprendido así que vamos a iniciar con esto voy a voy a iniciar primero con el rango de la trans puesta con esta parte entonces el rango de la trans puesta de una matriz es igual a la dimensión del espacio columna de la matriz transpuesta de a transpuesta esa es la definición de rango y la dimensión del espacio columna de una matriz transpuesta es igual al número de vectores en la base para el espacio columna de la trans puesta entonces para cualquier sub espacio que tengas averiguas cuantos vectores necesitas para formar tu base los cuentas y esa es su dimensión ajá es el número de vectores en la base para el espacio columna de 1 transpuesta y donde esto el espacio columna es lo que conocemos como el espacio fila de a ajá las columnas de la trans puesta son lo mismo que las filas de a sol o simplemente cambias las filas y columnas ok perfecto ahora bien cómo podemos como podemos averiguar cuántos vectores necesitamos para la base de del espacio columna de a transpuesta o el espacio fila de a vamos a pensar en esto vamos a pensar primero en el espacio columna de a transpuesta lo que voy a hacer aquí es dibujar a la matriz de esta manera tenemos a es una matriz de m por n voy a poner a la matriz a como un montón de un montón de vectores columna o filas de vectores entonces tenemos aquí la fila 1 la fila 2 sería esta esto es la fila 2 hasta llegar a la fila m ajá es una matriz de m por n cada vector es de en elementos y tenemos n columnas y esa es la matriz a ahora para la matriz transpuesta de a se va a mirar algo así la voy a poner de esta manera a traspuesta sería esto tenemos r1 r2 hasta llegar a ere m ajá ha transpuesto es una matriz de n por m por lo tanto las filas de a serán las columnas de a transpuesta y también cabe mencionar que el espacio columna de a transpuesta es igual aquí lo voy a poner el espacio columna de a transpuesta es igual al generado de r1 r2 hasta rm o equivalente esto es igual al generado de las filas de la matriz a de hecho sólo voy a escribir aquí porque es importante entonces esto esto es igual al generado de las filas de la matriz a estos son conceptos equivalentes y ok ya muy bien entonces estos son los sub espacios generados son todas las combinaciones lineales de las columnas o de estas filas entonces si queremos las bases queremos lo que queremos hacer es encontrar un conjunto mínimo de vectores linealmente independientes que podamos usar para construir cualquiera de estas columnas o cualquiera de estas filas ahora qué sucede cuando ponemos a la matriz a en su forma escalonada reducida lo que queremos hacer es efectuar un montón de operaciones con las filas para que esté en su forma escalonada reducida entonces eventualmente haciendo las operaciones con las filas obtendrás la forma escalonada reducida de la matriz a baja con algunas entradas pivote se mirarán algo así la voy a dibujar con algunas entradas pivotes digamos que esta es una de ellas tendríamos aquí puros ceros después acá tenemos otra entrada pivote y digamos que ok digamos que las siguientes no son entonces ésta no es ni esta entrada pivote después cero si digamos que está si es una entrada pivote y ahí lo tenemos entonces algo así se mirará en esta en esta matriz ya tienes algunas entradas pivote y las y las obtienes realizando operaciones en las filas de la matriz estas operaciones puedes por ejemplo tú sumar dos veces a la fila 2 le sumas dos veces la fila 1 y ese entonces será tu fila 2 ahora si sigue realizando operaciones obtienes la forma escalonada reducida así que estas filas son combinaciones lineales de estas otras filas y otra manera sería por ejemplo revertir estas operaciones entonces digamos que aquí yo hago operaciones con filas lo voy a escribir otra vez hago operaciones con filas para obtener la matriz a voy como en reverso otra manera de pensar en esto los vectores ellos generan a todos estos es decir todos estos vectores pueden ser representados como combinaciones lineales de las filas pivote obviamente sus filas no tus filas que no sean pivote serán compuestos por puros ceros pero esos son irrelevantes ajá no no importan pero tus filas pivotes y tomas combinaciones lineales de ellos puedes revertir las operaciones y regresar a tu matriz original así que todos estos pueden ser representados como combinaciones lineales de estos y todos todos todas las entradas pivotes son por definición bueno de hecho casi por definición no exactamente son linealmente independientes porque ve aquí yo tengo un 1 y ningún otro elemento de la columna es 1 así que no puede ser presentado como combinación lineal de los otros ahora bien por qué es importante esto porque recuerda que iniciamos diciendo que queríamos encontrar una base para el espacio fila cierto creamos un conjunto mínimo de vectores linealmente independientes que generen ahora bien todos estos pueden ser representados como combinación lineal de estos vectores en las filas de estos vectores pivote y ya está esto en la forma escalonada reducida y todos son linealmente independientes entonces forman una base razonable así que éstas son filas pivote aquí tenemos una acá tenemos otra aquí tendríamos la tercera y bueno tal vez haya más pero en este ejemplo es muy particular así que esto sería una base razonable para el espacio fila lo voy a escribir aquí entonces las filas pivote en la en la forma escalonada reducida las filas pivote en la forma escalonada reducida de la matriz a son una base para el espacio fila de a y el espacio fila de am es lo mismo que el espacio de columna de a transpuesta entonces también lo pongo aquí pongo o el espacio columna de a transpuesta el espacio fila de a es lo mismo que el espacio columna de a transpuesta ahora si queremos conocer la dimensión del espacio columna simplemente contamos contamos el número de filas pivote que tenemos entonces la dimensión de la de tu espacio fila lo cual es lo mismo que que el espacio columna de a transpuesta será el número de filas pivote en la forma escalonada reducida o hecho más sencillo es el número de entradas pivote que tienes ajá porque cada cada entrada pivote tiene una fila pivote podemos decir entonces que el rango de a transpuesta es igual al número de entradas pivote en la forma escalonada reducida de la matriz y en la forma escalonada reducida de a porque cada entrada tivo te corresponde a una fila pivote estas filas pivote forman una base para el espacio fila cada fila es combinación lineal de estos ajá entonces así que lo que éstos generan éstos generan y ahora cuál es el rango de a cuál es el rango de la matriz a encontramos el rango de la matriz a transpuesta baja pero y el rango de a cuál es el rango de a lo voy a escribir aquí entonces el rango de a es igual es igual a la dimensión del espacio columna de a a a- o lo que es lo mismo también es el el número de vectores en la base para el espacio columna de a cierto entonces si tomamos a la matriz a y en lugar de vectores fila ponemos vectores columna de esta forma entonces tenemos asm por n y voy a poner en lugar de filas pongo columnas tenemos la columna 1 la columna 2 hasta la columna n tenemos n columnas ahora el espacio de columna es esencialmente el sub espacio generado por estos elementos a por cada uno de estos vectores columna entonces el espacio columna de amd es igual al generador de c1 c2 hasta cn esa es la definición pero queremos saber de vectores en la base es cierto el número de vectores en la base una base razonable sí sí esto sí esto lo convierte es a su forma escalonada reducida entonces tienes algunos algunas entradas pivote y su columna pivote correspondiente entonces tendrías por ejemplo así algunas entradas pivote algunas no y así se miraría esto entonces tiene cierta cantidad de columnas pivote voy a usar otro color para esto cuando por operaciones llegas a la forma escalonada reducida de la matriz a aprendimos que los vectores en la base los que forman una base para tu espacio columna son las columnas que corresponden a las columnas pivot es cierto a estas columnas entonces esta es una columna pivote por lo tanto este puede ser un vector de la base y lo que quieres hacer es contar el número de vectores que hay en la base porque date cuenta que no no necesitas saber quiénes son esos vectores de la base sino saber la cantidad de vectores que hay en la base y observa que para cada para cada columna pivote aquí tenemos un vector base que le corresponde entonces solamente contamos las columnas pivote y el número de columnas pivote con responde al número de entradas pivote que tenemos por lo tanto podemos decir que el rango de a lo escribo el rango de a es igual es igual al número de entradas pivote en la forma escalonada reducida de la matriz an en la forma escalonada reducida de la matriz amp y como puedes ver es exactamente lo mismo para el rango de la trans puesta es cierto es decir la dimensión del espacio columna de a transpuesta o lo que es lo mismo la dimensión del espacio fila de a y con esto ya hemos llegado a nuestra conclusión lo que queríamos demostrar era que el rango de an es igual al rango de la trans puesta en efecto que son iguales bueno nos vemos pronto