Uso de la matriz de cambio de base ortogonal para encontrar la matriz de transformación. Ejemplo

aprendimos en el último vídeo que si tengo alguna matriz digamos una matriz ce y que digamos que ésta es una matriz de n por acá y vamos a dar digamos sus vectores columna déjenme poner bien este margen más o menos si tenemos la matriz ce y sus columnas son los vectores c1 c2 y así sucesivamente hasta el vector seca ok ahí tenemos nuestra matriz con estos vectores como columnas entonces si estas columnas formas y estos vectores columnas forman un conjunto corto normal ok entonces vamos a suponer que todos estos forman un conjunto junto a orton normal corto orton normal si si forman un conjunto or tomo orton formal perdón mostramos que si multiplicamos la matriz se transpuesta por la matriz c esto nos iba a dar la matriz identidad de tamaño k verdad y ese tamaño acá porque aquí tenemos que éste desde perdón es al revés tenemos que éste desde acá por n verdad que es la transporta y éste desde n por acá entonces al final lo que nos queda es que desde cada por acá muy bien entonces ahora vamos a preguntarnos qué pasa si k es igual a n muy bien entonces la pregunta que vamos a tratar de resolver es bueno qué va a pasar si ahora suponemos que k es igual a n entonces en realidad estamos pensando que la matriz c es una matriz es una matriz cuadrada una matriz cuadrada verdad y sí sí tenemos ese caso entonces las columnas además sabemos que las columnas por ser un conjunto [ __ ] normal son linealmente independientes eso eso lo vimos ya hace algunos vídeos y eso inmediatamente también me dice sí ya lo hemos visto que se es invertible que se es invertible si sus matrices por ser por ser una matriz cuadrada cuyas columnas son linealmente independientes entonces tenemos que nuestra matriz c es invertible verdad de hecho de hecho podemos decir más de hecho podemos decir que ese 1 c2 y así todos estos todos estos vectores son una base del espacio con una base de muy bien entonces esto lo que me está diciendo es que existe alguna matriz sea la menos 1 que si lo multiplicamos por c por la izquierda o por la derecha de hecho debe debe funcionar que si lo multiplicamos por la izquierda o por la derecha nos debe dar la matriz identidad de tamaño n pero además por ser un conjunto [ __ ] normal por ser un conjunto corto normal sabemos que la matriz transpuesta por ser verdad lo que tenemos acá es la matriz identidad de tamaño n aunque entonces déjenme escribir esto tenemos que la matriz la matriz de n por n por en cuyas columnas la matriz cuyas columnas forman un conjunto punto un punto corto normal si tenemos una matriz que cumple estas características entonces fíjense realmente como la inversa de una matriz es única cuando existe esto quiere decir que tanto sea la menos 1 como se transporta son las mismas verdad tenemos que sea la menos 1 es lo mismo que se transporta entonces sí sí mi matriz es cuadrada es cuadrada y sus columnas forman un conjunto harto normal que además de todo es una base de rn sabemos sabemos que es invertible pero más aún sabemos que su inversa es su matriz transpuesta y esto esto viene de esta propiedad verdad de que en realidad las inversas son únicas y en ese sentido pues deben coincidir muy bien entonces vamos a utilizar este hecho porque puede ser muy difícil calcular una una inversa de una matriz para una matriz a lo mejor no sé que se encuentren que sea de tamaño 10 x 10 o de 100% verdad eso puede ser muy difícil pero esto nos hace más fácil el cálculo de esta de esta matriz entonces vamos a utilizar un ejemplo ya pues digamos que ya habíamos revisado para para dar una aplicación de cómo podemos usar esto entonces vamos a considerar los vectores de 1 el ejemplo que ya teníamos dos tercios menos era menos dos tercios ya un tercio vector también teníamos el vector v2 que era el vector que tenía entradas dos tercios dos tercios un tercio y menos dos tercios y también teníamos el vector b3 que era el que tenía como entradas y un tercio dos tercios dos tercios voy entonces este ya lo habíamos trabajado creo que incluso varias veces en vídeos anteriores al menos en alguno de derecho no importa en algunos en algún vídeo ya habíamos visto que en realidad este es un conjunto corto normal es un conjunto corto normal cada uno tiene norma 1 y además entre ellos son ortogonales verdad entonces vamos a ver qué pasaría vamos a ir construyendo una función a lo mejor un poco alocada pero pero que quede muy claro lo que queremos hacer queremos ahora el punto de este vídeo es construir una interesante transformación en r3 que es lo que les había anunciado y vamos para eso primero a tomar dos vectores digamos el b 1 y el b 2 entonces estos dos vectores se verán que andará que andará el vector que anda b1 y un vector ortogonal digamos que anda de 2 más o menos se ve que son ortogonales entonces estos dos vectores generan todo un plano verdad porque son linealmente independientes entre ellos no son múltiplos del otro entonces esto me genera todo un plano en rn y por supuesto tenemos a b3 que es ortogonal a ellos 2 entonces a quien dará salen tan derechitas las líneas bueno espero se entiende el punto más o menos ahí ya quedo b3 b3 que es ortogonal a todo este plano y por supuesto aquí estamos trabajando en nuestro espacio r 3 muy bien entonces utilizando esto tenemos que este espacio rojo de hecho le voy a poner nombre este de aquí es el espacio b que es el espacio vectorial generado por los vectores b1 y b2 que de hecho es un plano verdad es un plano es un plano como lo conocemos y esta línea de tres o más bien este vector de tres es el vector que genera una línea que es ortogonal a todo el plan aunque en realidad podemos generar todo el espacio el espacio el complemento ortogonal de b con la línea que genera de 3 entonces la pregunta es bueno supongamos que yo tengo por ahí un vector digamos por aquí así aquí este vector y yo me pregunto cuál será el vector correspondiente que está reflejado por debajo de este plano entonces lo que tenemos que hacer es proyectar primero al plano por ahí pega y luego hacer esta misma distancia pero por aquí abajo verdad entonces éste este vector y estará por acá va del plan aquí es donde digamos pegaría en el plano muy bien o si tenemos por ejemplo un vector de este otro lado algo así entonces al reflejar sobre él sobre el plano tenemos primero a donde pega y luego hacia acá abajo y entonces estamos pensando en la transformación correspondiente a la reflexión digamos de estos vectores de cualquier vector en r3 respecto a este plano es decir como una especie de espejo verdad que si yo tengo un punto aquí me fijo donde está el plano y luego esa misma distancia proyectada se debe ir hacia abajo y esa es la transformación que nos interesa encontrar ahora bien esto no es tan sencillo de encontrar sin embargo lo que sí podemos saber es quiénes son las proyecciones tanto de b1 b2 y b3 por ejemplo la transformación aplicada a b1 definitivamente pues si vamos a reflejar respecto al plano pero ve uno está en el plano pues entonces es el mismo verdad la reflexión de cualquier punto del plano el mismo lo mismo va a pasar con la transformación aplicada a dedos esto será de 2 2 ahora el punto interesante de todos estos es que pasa con la transformación qué pasa con la transformación pero aplicado a b3 porque al aplicar la b3 b3 definitiva en fin definitivamente ya no está en el plano entonces lo que va a pasar es que proyectamos sobre el plano ok y luego tenemos que hacer esa misma distancia misma distancia debe 3 pero por abajo entonces en realidad a la hora de proyectar como es tv3 es ortogonal a todo el plano esta proyección cae directamente y simplemente es el inverso de b3 es menos de 3 verdad eso es una forma de cómo ver esta proyección entonces vamos a hablar ahora de la transformación lineal que habíamos mencionado cómo expresar esta transformación para cualquier punto del espacio en términos de una transformación lineal y digo quedaría pendiente ver que es una transformación lineal por él por el momento pueden creerme que así es porque queremos aquí el punto central es encontrar una transformación en r3 que me determine este este fenómeno ok entonces lo que vamos a hacer es vamos a bajar primero un poco vamos a bajar un poco y tenemos a x y queremos encontrar una matriz y tal que al aplicarla tenemos nuestra transformación verdad podemos interpretar la transformación de x como la multiplicación de una matriz por equis y esto está determinado en nuestra base estándar en nuestra base canónica muy bien entonces como realmente no conocemos este hecho vamos a tener que darle la vuelta al problema por ejemplo podemos hacer un cambio de base tomar una base distinta y elegir para esa base o ver cómo se vería x en coordenadas de esa base correcto y esto pues sabemos que es alguna matriz sea la menos 1 ahora podemos aplicar alguna transformación de verdad que me determine la la transformación de x pero en la base b y finalmente tendremos que regresar a nuestra base original y expresar lo en términos de nuestra base original con la matriz c este es el diagrama que queremos utilizar verdad entonces tenemos que si tx de x es igual a esta matriz a por x le podemos dar la vuelta al problema y utilizar varias matrices para expresar nuestra matriz a td x primero aplicamos como más bien sería primero aplicamos sea la menos 1 verdad bajamos aquí luego aplicamos de y luego aplicamos a nuestro vector x entonces esto inmediatamente si si nosotros nos tomamos de una base [ __ ] normal una base corto normal entonces qué ocurre con ser transpuesta por c ok fíjense que se es la matriz de cambio de base entonces sí sí nuestra base es [ __ ] normal tenemos justo el ejemplo que tenemos anteriormente de transpuesta por c ya sabemos que es la identidad y además sabemos que sea la menos 1 existe y no sólo existe que además se transporta es la inversa de nuestra matriz entonces utilizando esto aquí aquí en realidad está esta está inversa estamos hablando de la trans puesta de nuestra matriz se verdad entonces como estas dos son iguales y la inversa que coincide con la trans presta estamos pensando que a es igual a c de transpuesta y esto es lo que vamos a utilizar para poder resolver este problema que habíamos planteado el de encontrar nuestra matriz asociada a ésta tanto a esta transformación lineal y vamos a tomarnos una base pues muy particular que justamente ya tenemos aquí la base generada por b1 b2 y b3 que por cierto es bastante útil porque de 1 y b 2 son las que son generan a nuestro espacio ve a nuestro plano sobre el cual queremos proyectar ib3 pues es él es ortogonal a todo el plan bien entonces utilizando nuestra base ve el conjunto que tiene a b1 b2 b3 que si tenemos este conjunto fíjense que realmente expresar a b1 b2 y b3 en términos de esa base es muy sencillo por ejemplo de uno pues simplemente va a ser de 1 + 0 b 2 0 de 3 entonces de uno escrito déjenme ponerlo así entonces ve uno escrito en términos de nuestra base de no es otra cosa más que el 100 verdad estamos reescribiendo a b1 en términos de nuestra base nueva lo mismo va a pasar con b 2 y con b3 quien va a ser de 2 en términos de nuestra base b pues simplemente será cero veces b uno más una vez b 20 veces b 3 entonces este es el vector 0 10 y finalmente b 3 escrito en términos de nuestra base b nuevamente será cero veces b 10 veces b 2 pero una vez b 3 muy bien entonces ya que está escrito de esta forma primero nos falta ver quién es la matriz de cambio de base que bueno es está dada por los vectores b1 b2 y b3 y la otra cosa que nos falta es determinar quién no es quien es nuestra matriz d entonces la matriz de es una matriz que va a tener tres columnas de uno de dos y de tres ahí están sus columnas estas son son columnas y tenemos que determinar quién es de uno de dos y de tres pero vamos a hacer una pequeña observación fíjense muy bien en quién sería la transformación aplicada de uno pero escrita en términos de nuestra base ve ok entonces esto pues no es otra cosa más que si nos tomamos el vector de uno escrito en la base b y aplicarle la matriz de entonces esto es de esta forma verdad aquí está dicho o pintado en este diagrama ahora bien esto pues es esta matriz que tiene columnas de uno de dos y de tres aplicado a este vector que ya dijimos que es el 100 y esto pues no es otra cosa si multiplicamos todos estos solo van a permanecer las coordenadas de de uno entonces este es el vector de uno lo mismo vamos a tener con la matriz perdón la transformación aplicada a b2 pero en términos de nuestra base ve esto es la matriz de multiplicada por b 2 en términos de nuestra base b y esto es la matriz que tiene a de uno de dos de tres que multiplica al vector ya no el 100 sino al 010 y en este caso los únicos que las únicas coordenadas que sobreviven son las de 2 entonces esto simplemente es de 2 finalmente ya podrás imaginarte quién será quién será la transformación aplicada a b3 en términos de nuestra base ve nuevamente pues es la matriz que tiene a de 1 de 2 ya de 3 que multiplican al 0 0 1 y por lo tanto los únicos que sobreviven son las coordenadas de de 3 entonces fíjense que con esta pequeña observación ya sé quiénes son los vectores columna de de uno de dos y de tres son justamente cómo se verían las imágenes o la transformación aplicada a la base nueva a la base d pero escritos en nuestra en esa misma base pero más aún si sabemos quiénes son verdad aquí los tenemos escritos aquí están escritos entonces de hecho déjenme déjenme bajar más para para ir anotando todo esto la matriz de la matriz d por esta por esto que acabamos de observar acá arriba es la matriz que tiene como vectores columnas a la transformación en b1 vista en términos de nuestra base ve a la transformación en b2 vista en términos de nuestra base ve y la transformación aplicada de tres vista en términos de nuestra base ve estas son las columnas del de la matriz de y además sabemos que te debe 1 como lo habíamos visto ya anteriormente te aplicado a b1 b1 te aplicado en b2 es de dos aplicado a b3 es menos de 3 entonces realmente podremos reescribir estos vectores en términos de nuestra base original perdón en términos de nuestra base b que es la nueva ok de hecho pues sabemos ya que ya que está descrito de esta forma que te aplicado a b1 la transformación en términos de b pues es simplemente b1 en términos de b y eso sabemos muy bien que no es de hecho está aquí arriba es el 100 también sabemos quién sería y de hecho podemos ir escribiendo quién es nuestra matriz de la primera columna es 100 muy bien quién sería de la transformación aplicada al vector de 2 en términos de nuestra base ve pues eso es v2 en términos de la base ve términos de la base ve y esto es como ya lo habíamos visto anteriormente 0 1 0 entonces en esta segunda columna es 0 1 ahora quien nos falta ver pues la transformación aplicada a b3 entonces la transformación aplicada a b3 respecto a la base ve es menos b3 - b3 escrito en la base ve pero menos b3 simplemente es 0 veces ve 10 veces ve 2 y menos una vez b 3 entonces este es casi el que teníamos excepto que aquí va un -1 y por lo tanto esta matriz es casi la identidad excepto que lleva un -1 en esta esquina ok y con esto ya podemos hallar muy bien quién es la matriz a verdad porque la matriz a estaba dada de esta forma de esta forma ya sabemos quiénes es la sede es la matriz que tiene como columnas a estos vectores y de ya sabemos bueno la acabamos de encontrar que es casi la identidad de excepto por un signo y se transporta es fácilmente calculable entonces vamos a copiar esto que tenemos aquí esto que tenemos aquí vamos a copiarlo a copiarlo y pegarlo para tenerlo más presente más cerca de nosotros pegarlo por aquí muy bien muy bien entonces el hecho esto esto solo necesitamos esto es para era parte del dibujo con esto y ya que tenemos esto entonces ya podemos ir escribiendo quién es nuestra matriz a nuestra matriz a como dijimos era sé que en este caso es la matriz que tiene a estos vectores como columna y de hecho podemos factorizar de un tercio verdad vamos a escribirlo como un tercio que multiplica a 2 menos 21 aquí vamos a tener un tercio que multiplicados 1 - 2 2 1 - 2 12 21 22 esta es la matriz ce quien es la matriz de la matriz de la acabamos de encontrar es casi la identidad así la identidad excepto por este último menos 1 y se inversa que eso que esencialmente se transpuesta es un tercio verdad por qué pasó así trans ponemos la matriz ce es decir la matriz que tiene a estos como como vectores como columnas más bien entonces es en realidad esta matriz transpuesta este este renglón perdón esta columna pasa a ser renglón y es 2 - 2 1 este esta columna pasa a ser renglón 2 1 - 2 y esta columna pasa a ser nuevamente renglón entonces ya tenemos la forma de encontrar a ahora simplemente vamos a tener que calcular esta multiplicación de hecho esto de aquí es que estoy aquí es se transpuesta y esta de aquí en medio está de aquí en medio la matriz de muy bien entonces vamos a quitar esto que tenemos aquí quitarlo ya no lo vamos a ocupar para tener espacio y calcular todo esto entonces si ahora nos tomamos digamos vamos a multiplicar estas dos matrices primero de hecho podemos multiplicar el un tercio y el un tercio primero vemos que es un noveno este tercio y este tercio y qué pasa si multiplicamos estas dos bueno si tenemos este renglón vamos a empezar con este renglón multiplicado por esta columna tenemos dos por uno es 2 2 por 0 0 1 por 0 0 entonces tenemos en esta primera entrada 2 si ahora multiplicamos por este renglón lo que nos queda es 0 2 y 1 lo que lo que resulta es 2 y ahora finalmente con esta con esta columna tenemos 2 por 0 0 2 por 0 0 y 1 por menos 1 es menos 1 entonces quizás ya te empezaste a dar cuenta que es lo que va a estar pasando cuando multipliquemos aquí verdad porque en realidad si si ahora nos tomamos el siguiente renglón este renglón menor si multiplicamos este por esta columna el único que sobrevive es el menos 2 verdad lo demás tiene ceros luego si lo multiplicamos por esta columna nos sobrevive sólo el 1 verdad y si lo multiplicamos por esta columna sólo sobrevive el 2 pero con signo contrario entonces aquí va a un -2 de hecho si te das cuenta son los mismos renglones pero escritos con su última coordenada con menos verdad entonces si nos tomamos ahora por ejemplo este lo que nos va a quedar es el mismo verdad es 1 menos 2 y con el último signo cambiado ahí tenemos esta primera multiplicación y ahora falta multiplicar por ser transpuesta por ser transpuesta 22 2 y 1 2 muy bien esta va a ser la parte más complicada del problema vamos a quitar esto que ya no ya no lo necesitamos y vamos a tratar de resolverlo de forma muy ágil muy bien entonces como ya sabemos multiplicar matrices va a ser igual a un noveno y a multiplicar el primer renglón vamos a tomarnos este primer renglón por este que es 2 x 2 es 42 por dos es 4 a ivan 8 y menos uno por uno es menos uno tenemos siete ahora este por este 2 por 2 2 por menos 12 menos 4 2 por 1 es 2 y eso me da menos 2 y menos uno por 2 es menos 2 con menos 2 nos queda menos 4 y ahora con esta columna dos por uno es 22 por menos 12 es menos 4 y eso hasta ahí vamos menos dos y menos uno por dos es menos dos con menos dos es menos cuatro muy bien ahí tenemos nuestra primera nuestro primer renglón vámonos con el siguiente tenemos ahora este que vamos a multiplicar por cada columna menos dos por dos es menos 4 1 por 2 3 2 con menos 4 es menos 2 y menos dos por uno es menos dos así que aquí nos queda menos cuatro menos dos por menos dos es cuatro uno por uno es uno y eso nos da 5 me parece que 5 lo que es menos 2 x menos dos es cuatro uno por uno es 1 y eso nos da exacto sí y menos dos por dos es menos cuatro que con cinco nos queda simplemente uno ya me estaba confundiendo ahora menos dos por uno es menos dos uno por menos dos es menos dos y que con otro menos dos es cuatro y ahora menos dos por dos es otra vez se me estoy confundiendo a ver tenemos menos 2 x 1 es menos 21 x menos 2 es menos 2 a iván menos 4 y menos 2 x 2 es menos 4 con menos 4 nos da menos 8 muy bien casi y ahora ya vamos con el último vamos con este renglón y es uno por 2-2 menos dos por dos es menos cuatro con dos es menos dos y menos dos por uno es menos cuatro verdad bueno menos dos por uno es menos dos con el menos dos que llevaba es menos -4 vamos con el siguiente uno por menos dos es menos dos menos dos por uno es menos dos a iván menos 4 y menos dos por dos es menos cuatro con los menos cuatro que llevaba es menos ocho y luego el último uno por uno es uno menos dos por menos dos es cuatro con uno llevan cinco y menos dos por dos es menos cuatro con cinco me queda uno entonces esta es la matriz asociada a nuestra transformación es decir t es igual a x donde a es esta matriz pero esto hubiera sido realmente difícil de calcular por nuestra cuenta darnos cuenta que a lo mejor aquí va el 7 al menos 4 y demás ni siquiera sabíamos bien cómo encontrar la transformación de los vectores de la base canónica que es lo que usualmente hacemos para encontrar esta matriz de transformación en cambio hicimos un cambio de base a partir de este de este diagrama está bastante agradable que de hecho aquí lo había copiado con este este diagrama pudimos hacer un cambio de base a otra base orton normal y el hecho de que fuera corto normal hizo muy sencillo encontrar la inversa en nuestra matriz de cambio de base de todos modos espero que hayas encontrado esto muy útil