Raíces complejas de las ecuaciones características 3

examen esta vez vamos a ver dos ejercicios estilo examen de los cuales tienen que ver con lo que vimos en el vídeo pasado con raíces de la ecuación característica que sean complejas con jugadas y vamos a encontrar su solución como eran complejas con jugadas las raíces eran de la forma lambda más menos new y espero recuerden eso y también en el vídeo pasado habíamos visto que la solución general entonces tomamos la forma a la lambda x que multiplicaba hace 1 a una primer constante por el coseno de 1000 x x más una segunda constante c 2 que multiplica al seno de mil x muy bien entonces con dos problemas de este estilo vamos a trabajar el primer problema que se me ocurre es tener la segunda derivada ya esta segunda derivada a sumarle cuatro veces la primera derivada y sumarle 5 veces la función sin derivada e igualando a 0 es una ecuación que es diferencial de segundo orden con coeficientes constantes y homogénea vamos a poner también en condiciones iniciales para hacerlo un poco más entretenido ya de cero es uno de prima de cero va a ser cero ya tenemos las condiciones iniciales por lo tanto también va a haber que determinar la constante 1 y la constante 2 pero ahora sí vamos a resolver la ecuación característica asociada a esta ecuación diferencial pues es esta que estoy escribiendo es re cuadrada más 4 r 5 igual a 0 y lo que teníamos que hacer después de ello es hacer las raíces pero esto es una fórmula general me queda menos o sea menos 4 menos la raíz cuadrada de b cuadrada o sea de 4 al cuadrado que es 16 menos 4 veces a que vale 1 y sé que vale 5 todo esto lo dividimos entre dos veces pero a vale 1 entonces esto es entre 2 bien esta es la forma de mis raíces entonces voy a simplificar un poco pues me quedan menos 4 más menos la raíz cuadrada de 16 menos 4 por 1 por 5 que es 20 o sea 16 menos 20 es la raíz de menos 4 muy bien y todo esto lo tengo que dividir entre 2 pero ahora vamos a escribirlo de una manera que ya se vea claramente cuál es la parte real y cuál es la parte imaginaria la raíz de menos 4 pues es 2 y están de acuerdo es decir me va a quedar menos 4 más menos 2 y entre 2 y ahora si las raíces conjugadas van a ser menos 4 entre 2 que es menos 2 - 2 / 2 que es 1 o sea por iu y bien entonces ya tengo mis raíces con jugadas que quiere decir esto que entonces ya tengo una parte a la cual le voy a llamar lambda que es mi parte real y tengo también otra parte a la cual le voy a llamar new que es mi parte real que está multiplicando a mi número imaginario en este caso me vale 1 porque no es el número que está multiplicando a la y bien si ya tengo lambda y ya tengo mi ya puedo sustituir en ecuación general y que me va a quedar y es igual a la menos 2 x es decir a la parte real x x que multiplica a la primera constante puede conocer no de mi x pero mío es 1 entonces no queda x más de dos veces el seno de x por qué pues porque me vale 1 es decir que ya encontré mi solución general de este problema en particular pero no es lo que quiero yo lo que quiero es mi solución particular de este problema particular entonces utilicemos las condiciones iniciales 70 es igual a 1 por nuestras condiciones iniciales entonces voy a sustituir a x por 0 cada vez que yo la beba en solución general y que me va a quedar pues al menos 2 por 0 pues es uno que multiplica a la primer constante por el coseno de cero más la segunda constante por el seno de ser pero el seno de cero es cero entonces se van a dios y el coseno de cero es uno entonces lo puedo poner como uno y uno por uno por uno pues es ese uno entonces dada a esta condición inicial yo ya puedo determinar a c1 c1 es uno muy bien ya tengo ese uno pues ahora habrá que sacar hace dos pero para sacar ese 2 voy a bajar la pantalla porque ya está un poco amontonado esto pues necesito derivar mi solución general pero antes de derivar como loco lo primero que voy a hacer es sustituir ese uno por uno para que mi ecuación se simplifiquen es decir me va a quedar que es igualdad en al menos 2 x x c 1 pero segundos 1 entonces pues no lo pongo por el coseno de x + c 2 por el seno de x y lo que tenemos que determinar es c 2 ahora si derivamos a mi solución general quien base de prima pues es la multiplicación de dos funciones por lo tanto voy a utilizar la derivada de la multiplicación que es la derivada del primero el cual ya sabemos que es menos dos minutos x y ponemos el segundo tal cual sin hacerle nada muy bien y ahora lo que tengo que hacer es poner sumarle el primero sin derivar los sin hacerle nada y multiplicarlo por la derivada del segundo es decir la derivada del coseno que es el menos seno de x más co2 y la derivada del seno de x pero la derivada del seno es el coche no entonces me quedan dos coseno de x uno puede pensar que aquí podemos simplificar o tal vez mover el coche no de un lado y el seno del otro lado pero lo más sencillo es utilizar la condición inicial que ya tenemos que cuando sean inicial teníamos se acuerdan de prima de cero es igual a cero lo voy a escribir aquí para que no se nos olvide de prima de cero es igual a cero bien pues ahora sustituyamos cero porque porque la prima de cero voy a poner a x como 0 es igual a 0 y me va a quedar menos 2 por 0 pero a la 0 1 por menos 2 simple sencillamente me va a quedar menos 2 entonces menos 2 que multiplica al coseno de 0 pero el coche no de 0 es uno entonces uno más de dos el seno de cero por el seno de cero pues es cero y entonces hasta hincha acaba todo muy bien y ahora le voy a sumar a la 0 que a la 01 que multiplica al menos seno 00 más de dos veces el coseno de cero que es uno o sea de dos bien y ya si tenemos esto yo puedo determinar hace dos y entonces que nos queda pues nos va a quedar que menos dos por uno es menos dos más uno por de dos pues es de dos bien y de que ya podemos despejar hace dos dedos es ni más ni menos que dos muy bien lo voy a atrapar en un cuadrito fíjense que tengo que la primera constante es uno y que la segunda constante es dos bien entonces lo que quiero hacer es es que este pizarrón este hecho un caos voy a voy a borrar algunas cosas porque todo esto me está confundiendo vamos a correr todo y hay que memorizar c1 e igual a 1 y c 2 es igual a 2 ayudan a memorizarlo ok bien entonces voy a quitar todo esto para poder poner ahora sí la solución general de una manera grande y de una manera bonita borramos todo esto que habíamos dicho que la primer constante era 1 y la segunda constante era 2 así que utilizando ya mi expresión que yo tenía para mi solución particular la voy a poner de esta manera y ala menos 2x que multiplica a la primer constante pero primera constante era igual a 1 entonces solamente me queda coseno de x más la constante 2 que es dos veces el seno de x muy bien ya tengo por fin mi solución particular pero yo sí quiero que analicemos dos cosas muy importantes la primera es que en mis condiciones iniciales y en ecuación diferencial de segundo orden en mis coeficientes constantes en ninguno salió una y y aunque nosotros dijimos que ese 2 era un número que podía ser imaginario en este caso desde cuenta de que lo más interesante es que la solución particular no tiene no hay lugar para la y en mi solución particular esto nos habla de dos cosas la primera es que como en mis condiciones iniciales yo no tenía ninguna condición inicial que tuviera que ver con inning entonces suena más lógico que mi solución particular no tenga que ver con números imaginarios la segunda cosa es que una ecuación diferencial tampoco está involucrada ninguna y y por lo tanto en ecuación particular no debe estar involucrada ninguna y ese sin ningún número imaginario pero bien esto ya lo habíamos aprendido ahora y lo que sí quiero ver es que en el siguiente vídeo vamos a utilizar otra vez este tipo de fórmulas para resolver otro ejemplo que sea muy útil en el cual tal vez puedan existir números imaginarios pero eso ya lo veremos la siguiente ocasión y aunque esta vez se nos ha acabado el tiempo pues nos vamos a ver en el siguiente vídeo así que nos vemos en el siguiente vídeo