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Curso: Álgebra 1 > Unidad 13

Lección 5: Introducción a factorización de cuadráticas

Factorizar cuadráticas: coeficiente principal = 1

Aprende a factorizar expresiones cuadráticas como el producto de dos binomios lineales. Por ejemplo, x²+5x+6=(x+2)(x+3).

Lo que necesitas saber para esta lección

Factorizar un polinomio involucra escribirlo como un producto de dos o más polinomios. Es lo opuesto a la multiplicación de polinomios. Para más información al respecto, revisa nuestro artículo previo sobre sacar factores comunes.

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección, aprenderás a factorizar un polinomio de la forma

x^{2} + b x + c

como un producto de dos binomios.

Repaso: multiplicar binomios

Consideremos la expresión

(x + 2) (x + 4)

Podemos encontrar el producto al aplicar la propiedad distributiva varias veces.

\begin{aligned} (x + 2) (x + 4) & = (x + 2) (x) + (x + 2) (4) \\ = x^{2} + 2 x + 4 x + 8 \\ = x^{2} + 6 x + 8 \end{aligned}

Algunas personas usan el acrónimo

P A A U

para recordar cómo multipicar dos binomios.

Esto nos ayuda a asegurarnos de que cada término del primer binomio debe multiplicarse por cada término del segundo binomio. Específicamente, sirve para recordar que hay que multiplicar los

Primeros

términos en el binomio, luego los términos de

Afuera

, luego los términos de

Adentro

y finalmente los

Últimos

términos.

Por ejemplo, usar PAAU para multiplicar

(x + 2) (x + 4)

se vería así:

$\begin{aligned} (x + 2) (x + 4) & = x \cdot x + x \cdot 4 + 2 \cdot x + 2 \cdot 4 \\ = x^{2} + 4 x + 2 x + 8 \\ = x^{2} + 6 x + 8 \end{aligned}$ ‍

Aunque este es un método correcto, PAAU suena algo misterioso. Es más fácil entender que cada término del primer binomio multiplica a cada término del segundo binomio cuando aplicamos la propiedad distributiva dos veces.

Así que tenemos

(x + 2) (x + 4) = x^{2} + 6 x + 8

De aquí, vemos que

x + 2

x + 4

son factores de

x^{2} + 6 x + 8

, ¿pero cómo encontramos estos factores si no comenzamos con ellos?

Factorizar trinomios

Podemos hacer el proceso inverso de la multiplicación binomial mostrado anteriormente para factorizar un trinomio (lo cual es un polinomio con

3

términos).

En otras palabras, si comenzamos con el polinomio

x^{2} + 6 x + 8

, podemos usar la factorización para escribirlo como un producto de dos binomios,

(x + 2) (x + 4)

Echemos un vistazo a algunos ejemplos para ver cómo se hace.

Ejemplo 1: factorizar $x^{2} + 5 x + 6$ ‍

Para factorizar

x^{2} + 5 x + 6

, primero necesitamos encontrar dos números que multiplicados den

6

(el número constante) y sumados den

5

(el coeficiente

x

Estos dos números son

2

3

porque

2 \cdot 3 = 6

2 + 3 = 5

Podemos crear una lista de todos los números que multiplicados dan

6

. Luego, dentro de esa lista, buscamos aquellos que suman

5

Producto: $m \cdot n = 6$ ‍	‍	Suma: $m + n$ ‍
$1 \cdot 6 = 6$ ‍		$1 + 6 = 7$ ‍
$2 \cdot 3 = 6$ ‍		$2 + 3 = 5$ ‍
$(- 1) \cdot (- 6) = 6$ ‍		$(- 1) + (- 6) = - 7$ ‍
$(- 2) \cdot (- 3) = 6$ ‍		$(- 2) + (- 3) = - 5$ ‍

Luego podemos sumarle a

x

cada uno de estos números para formar los dos factores binomiales:

(x + 2)

(x + 3)

En conclusión, factorizamos el trinomio como sigue:

$x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)$ ‍

Para revisar la factorización, podemos multiplicar los dos binomios:

$\begin{aligned} (x + 2) (x + 3) & = (x + 2) (x) + (x + 2) (3) \\ = x^{2} + 2 x + 3 x + 6 \\ = x^{2} + 5 x + 6 \end{aligned}$ ‍

El producto de

x + 2

x + 3

x^{2} + 5 x + 6

. ¡Nuestra factorización es correcta!

Comprueba tu comprensión

1) Factoriza $x^{2} + 7 x + 10$ ‍.

Para factorizar

x^{2} + 7 x + 10

, necesitamos encontrar factores de

10

que sumen

7

La tabla siguiente muestra todos los posibles factores de

10

y sus sumas.

Producto: $m \cdot n = 10$ ‍	‍	Suma: $m + n$ ‍
$1 \cdot 10 = 10$ ‍		$1 + 10 = 11$ ‍
$2 \cdot 5 = 10$ ‍		$2 + 5 = 7$ ‍
$(- 1) \cdot (- 10) = 10$ ‍		$(- 1) + (- 10) = - 11$ ‍
$(- 2) \cdot (- 5) = 10$ ‍		$(- 2) + (- 5) = - 7$ ‍

Solo un par de factores satisface las condiciones del problema:

2

5

Podemos sumar cada uno de estos números a

x

para formar los dos factores binomiales:

(x + 2)

(x + 5)

. La factorización del polinomio se da a continuación.

$x^{2} + 7 x + 10 = (x + 2) (x + 5)$ ‍

2) Factoriza $x^{2} + 9 x + 20$ ‍.

Para factorizar

x^{2} + 9 x + 20

, necesitamos encontrar factores de

20

que sumen

9

La tabla siguiente muestra todos los posibles factores de

20

y sus sumas.

Producto: $m \cdot n = 20$ ‍	‍	Suma: $m + n$ ‍
$1 \cdot 20 = 20$ ‍		$1 + 20 = 21$ ‍
$2 \cdot 10 = 20$ ‍		$2 + 10 = 12$ ‍
$4 \cdot 5 = 20$ ‍		$4 + 5 = 9$ ‍
$(- 1) \cdot (- 20) = 20$ ‍		$(- 1) + (- 20) = - 21$ ‍
$(- 2) \cdot (- 10) = 20$ ‍		$(- 2) + (- 10) = - 12$ ‍
$(- 4) \cdot (- 5) = 20$ ‍		$(- 4) + (- 5) = - 9$ ‍

Solo un par de factores satisface las condiciones del problema:

4

5

Podemos sumar cada uno de estos números a

x

para formar los dos factores binomiales:

(x + 4)

(x + 5)

. La factorización del polinomio se da a continuación.

$x^{2} + 9 x + 20 = (x + 4) (x + 5)$ ‍

Echemos un vistazo a algunos ejemplos más y veamos qué podemos aprender de ellos.

Ejemplo 2: factorizar $x^{2} - 5 x + 6$ ‍

Para factorizar

x^{2} - 5 x + 6

, primero encontremos dos números que multiplicados den

6

y sumados den

- 5

Estos dos números son

- 2

- 3

porque

(- 2) \cdot (- 3) = 6

(- 2) + (- 3) = - 5

Podemos crear una lista de todos los números que multiplicados dan

6

. Luego, dentro de esa lista, buscamos aquellos que suman

- 5

Producto: $m \cdot n = 6$ ‍	‍	Suma: $m + n$ ‍
$1 \cdot 6 = 6$ ‍		$1 + 6 = 7$ ‍
$2 \cdot 3 = 6$ ‍		$2 + 3 = 5$ ‍
$(- 1) \cdot (- 6) = 6$ ‍		$(- 1) + (- 6) = - 7$ ‍
$(- 2) \cdot (- 3) = 6$ ‍		$(- 2) + (- 3) = - 5$ ‍

Luego podemos sumarle a

x

cada uno de estos números para formar los factores binomiales:

(x + (- 2))

(x + (- 3))

La factorización se da a continuación:

$\begin{aligned} x^{2} - 5 x + 6 & = (x + (- 2)) (x + (- 3)) \\ = (x - 2) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

Patrón de factorización: observa que los números necesarios para factorizar

x^{2} - 5 x + 6

son ambos negativos

(- 2

- 3)

. Esto es porque su producto necesita ser positivo

(6)

y su suma negativa

(- 5)

En general, cuando se factoriza

x^{2} + b x + c

, si

c

es positivo y

b

es negativo, ¡entonces ambos factores serán negativos!

Ejemplo 3: factorizar $x^{2} - x - 6$ ‍

Podemos escribir

x^{2} - x - 6

como

x^{2} - 1 x - 6

Para factorizar

x^{2} - 1 x - 6

, primero encontremos dos números que multiplicados den

- 6

y sumados den

- 1

Estos dos números son

2

- 3

porque

(2) \cdot (- 3) = - 6

2 + (- 3) = - 1

Podemos crear una lista de todos los números que multiplicados dan

- 6

. Luego, dentro de esa lista, buscamos aquellos que suman

- 1

Producto: $m \cdot n = - 6$ ‍	‍	Suma: $m + n$ ‍
$(- 1) \cdot 6 = - 6$ ‍		$(- 1) + 6 = 5$ ‍
$1 \cdot (- 6) = - 6$ ‍		$1 + (- 6) = - 5$ ‍
$(- 2) \cdot 3 = - 6$ ‍		$(- 2) + 3 = 1$ ‍
$(2) \cdot (- 3) = - 6$ ‍		$(2) + (- 3) = - 1$ ‍

Luego podemos sumar cada uno de estos números a

x

para formar los dos factores binomiales:

(x + 2)

(x + (- 3))

La factorización se da a continuación:

$\begin{aligned} x^{2} - x - 6 & = (x + 2) (x + (- 3)) \\ = (x + 2) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

Patrones de factorización: observa que para factorizar

x^{2} - x - 6

, necesitamos un número positivo

(2)

y un número negativo

(- 3)

. Esto es porque su producto necesita ser negativo

(- 6)

En general, cuando se factoriza

x^{2} + b x + c

, si

c

es negativo, entonces un factor será positivo y un factor será negativo.

Resumen

En general, para factorizar un trinomio de la forma

x^{2} + b x + c

, necesitamos encontrar factores de

c

que sumados den

b

Supón que estos dos números son

m

n

, de tal forma que

c = m n

b = m + n

, entonces

x^{2} + b x + c = (x + m) (x + n)

Comprueba tu comprensión

3) Factoriza $x^{2} - 8 x - 9$ ‍.

Para factorizar

x^{2} - 8 x - 9

, necesitamos encontrar factores de

- 9

que sumen

- 8

Como los dos números deben resultar

- 9

al multiplicarse, uno debe ser positivo y el otro, negativo.

Los factores de

- 9

se listan en la tabla siguiente.

Producto: $m \cdot n = - 9$ ‍	‍	Suma: $m + n$ ‍
$1 \cdot (- 9) = - 9$ ‍		$1 + (- 9) = - 8$ ‍
$(- 1) \cdot 9 = - 9$ ‍		$- 1 + 9 = 8$ ‍
$(- 3) \cdot 3 = - 9$ ‍		$- 3 + 3 = 0$ ‍

Observa aquí que

1

- 9

satisfacen estos requerimientos. Podemos sumar cada uno de estos números a

x

para formar los dos factores binomiales:

(x + 1)

(x + (- 9))

. La factorización del polinomio se da a continuación.

$\begin{aligned} x^{2} - 8 x - 9 & = (x + 1) (x + (- 9)) \\ = (x + 1) (x - 9) \end{aligned}$ ‍

4) Factoriza $x^{2} - 10 x + 24$ ‍.

Para factorizar

x^{2} - 10 x + 24

, necesitamos encontrar factores de

24

que sumen

- 10

Como los dos números deben resultar

24

al multiplicarse y sumar

- 10

, ambos números deben ser negativos.

Los factores de

24

(en los que ambos son negativos) se listan en la tabla siguiente.

Producto: $m \cdot n = 24$ ‍	‍	Suma: $m + n$ ‍
$(- 1) \cdot (- 24) = 24$ ‍		$- 1 + (- 24) = - 25$ ‍
$(- 2) \cdot (- 12) = 24$ ‍		$- 2 + (- 12) = - 14$ ‍
$(- 3) \cdot (- 8) = 24$ ‍		$- 3 + (- 8) = - 11$ ‍
$(- 4) \cdot (- 6) = 24$ ‍		$- 4 + (- 6) = - 10$ ‍

Observa aquí que

- 4

- 6

satisfacen estos requerimientos. Podemos sumar cada uno de estos números a

x

para formar los dos factores binomiales:

(x + (- 4))

(x + (- 6))

. La factorización del polinomio se da a continuación.

$\begin{aligned} x^{2} - 10 x + 24 & = (x + (- 4)) (x + (- 6)) \\ = (x - 4) (x - 6) \end{aligned}$ ‍

5) Factoriza $x^{2} + 7 x - 30$ ‍.

Para factorizar

x^{2} + 7 x - 30

, necesitamos encontrar factores de

- 30

que sumen

7

Como los dos números deben resultar

- 30

al multiplicarse, uno debe ser positivo y el otro, negativo.

Los factores de

- 30

se listan en la tabla siguiente.

Producto: $m \cdot n = - 30$ ‍	‍	Suma: $m + n$ ‍
$1 \cdot (- 30) = - 30$ ‍		$1 + (- 30) = - 29$ ‍
$(- 1) \cdot 30 = - 30$ ‍		$- 1 + 30 = 29$ ‍
$2 \cdot (- 15) = - 30$ ‍		$2 + (- 15) = - 13$ ‍
$(- 2) \cdot 15 = - 30$ ‍		$- 2 + 15 = 13$ ‍
$3 \cdot (- 10) = - 30$ ‍		$3 + (- 10) = - 7$ ‍
$(- 3) \cdot 10 = - 30$ ‍		$- 3 + 10 = 7$ ‍
$5 \cdot (- 6) = - 30$ ‍		$5 + (- 6) = - 1$ ‍
$(- 5) \cdot 6 = - 30$ ‍		$- 5 + 6 = 1$ ‍

Observa aquí que

- 3

10

satisfacen estos requerimientos. Podemos sumar cada uno de estos números a

x

para formar los dos factores binomiales:

(x + (- 3))

(x + (10))

. La factorización del polinomio se da a continuación.

$\begin{aligned} x^{2} + 7 x - 30 & = (x + (- 3)) (x + (10)) \\ = (x - 3) (x + 10) \end{aligned}$ ‍

¿Por qué funciona esto?

Para entender por qué funciona este método de factorización, regresemos al ejemplo original en el que factorizamos

x^{2} + 5 x + 6

como

(x + 2) (x + 3)

Si regresamos y multiplicamos los dos factores binomiales, podemos ver el efecto que el

2

y el

3

tienen en formar el producto

x^{2} + 5 x + 6

$\begin{aligned} (x + 2) (x + 3) & = (x + 2) (x) + (x + 2) (3) \\ = x^{2} + 2 x + 3 x + 2 \cdot 3 \\ = x^{2} + (2 + 3) x + 2 \cdot 3 \end{aligned}$ ‍

Vemos que el coeficiente del término de

x

es la suma de

2

3

, y el término constante es el producto de

2

3

El patrón suma-producto

Repitamos lo que acabamos de hacer con

(x + 2) (x + 3)

para

(x + m) (x + n)

$\begin{aligned} (x + m) (x + n) & = (x + m) (x) + (x + m) (n) \\ = x^{2} + m x + n x + m \cdot n \\ = x^{2} + (m + n) x + m \cdot n \end{aligned}$ ‍

Para resumir este proceso, tenemos la siguiente ecuación:

$(x + m) (x + n) = x^{2} + (m + n) x + m \cdot n$ ‍

Esto se llama el patrón suma-producto.

Muestra por qué, una vez que expresamos un trinomio

x^{2} + b x + c

como

x^{2} + (m + n) x + m \cdot n

(al encontrar dos números

m

n

tal que

b = m + n

c = m \cdot n

), podemos factorizar ese trinomio como

(x + m) (x + n)

Pregunta para reflexionar

6) ¿Se puede usar este método de factorización para factorizar $2 x^{2} + 3 x + 1$ ‍?

¿Cuándo podemos usar este método para factorizar?

En general, el método suma-producto se aplica solo cuando podemos escribir un trinomio como

(x + m) (x + n)

para dos enteros

m

n

Esto significa que, para poder considerar este método, el término principal del trinomio debe ser

x^{2}

(y no, por ejemplo,

2 x^{2}

). Esto es porque el producto de

(x + m)

(x + n)

siempre será un polinomio con término principal de

x^{2}

Sin embargo, no todos los trinomios con

x^{2}

como término principal se pueden factorizar. Por ejemplo,

x^{2} + 2 x + 2

no se puede factorizar porque no hay dos enteros cuya suma sea

2

y cuyo producto sea

2

En futuras lecciones aprenderemos más formas de factorizar otros tipos de polinomios.

Problemas de desafío

7*) Factoriza $x^{2} + 5 x y + 6 y^{2}$ ‍.

8*) Factoriza $x^{4} - 5 x^{2} + 6$ ‍.

Este polinomio es de la forma

x^{2} + b x + c

, aunque una sustitución lo hace más fácil de ver.

Sea

Y = x^{2}

. Ahora podemos escribir un polinomio de la siguiente forma:

$\begin{aligned} x^{4} - 5 x^{2} + 6 & = (x^{2})^{2} - 5 x^{2} + 6 \\ = Y^{2} - 5 Y + 6 \end{aligned}$ ‍

Como

(- 2) \cdot (- 3) = 6

(- 2) + (- 3) = - 5

, el polinomio se factoriza de la siguiente forma:

$= (Y - 2) (Y - 3)$ ‍

Ahora, como

Y = x^{2}

, podemos sustituir nuevamente para encontrar una factorización del polinomio original.

$\begin{aligned} = (x^{2} - 2) (x^{2} - 3) \end{aligned}$ ‍

La factorización es

(x^{2} - 2) (x^{2} - 3)

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Duanson Arce
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Cómo puedo factorizar esta expresión (x+2)+(x+2)(x^2-2x+4)?
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Álgebra 1

Curso: Álgebra 1 > Unidad 13

Lo que necesitas saber para esta lección

Lo que aprenderás en esta lección

Repaso: multiplicar binomios

Factorizar trinomios

Ejemplo 1: factorizar x2+5x+6‍

Comprueba tu comprensión

Ejemplo 2: factorizar x2−5x+6‍

Ejemplo 3: factorizar x2−x−6‍

Resumen

Comprueba tu comprensión

¿Por qué funciona esto?

El patrón suma-producto

Pregunta para reflexionar

¿Cuándo podemos usar este método para factorizar?

Problemas de desafío

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Ejemplo 1: factorizar $x^{2} + 5 x + 6$ ‍

Ejemplo 2: factorizar $x^{2} - 5 x + 6$ ‍

Ejemplo 3: factorizar $x^{2} - x - 6$ ‍