¿Qué son los diagramas PV?

Considera un gas sellado en un contenedor con un pistón móvil que está bien ajustado, como se muestra en la figura de abajo. Podemos hacer trabajo sobre el gas si presionamos el pistón hacia abajo, y podemos calentar el gas si lo colocamos sobre una flama o lo sumergimos en un baño de agua hirviendo. Cuando sometemos al gas a estos procesos termodinámicos, su presión y volumen pueden cambiar.

Los diagramas de Presión-Volumen, o diagramas PV, son una manera conveniente de visualizar los cambios en la presión y el volumen. A los diferentes estados del gas les corresponde un punto en el diagrama PV. En el eje vertical se da la presión y en el eje horizontal el volumen, como observamos abajo.

Cada punto en el diagrama PV representa un estado diferente del gas (uno para cada temperatura y volumen posibles). Conforme el gas sigue un proceso termodinámico, el estado del gas cambia, y por lo tanto el punto que lo representa en el diagrama PV. Al moverse, va dibujando una trayectoria (como se muestra en el diagrama de abajo).

Una vez que podamos decodificar la información que contiene un diagrama PV, podremos hacer afirmaciones sobre el trabajo realizado, $W$‍, el calor transferido, $Q$‍, y los cambios en la energía interna de un gas, $\mathrm{\Delta }U$‍. En las secciones siguientes, explicaremos cómo descifrar la información que esconde un diagrama PV.

Digamos que nuestro gas empieza en el estado que se muestra en el diagrama PV de abajo.

Si presionamos el pistón, el volumen del gas decrecerá, por lo que el estado debe moverse a la derecha hacia volúmenes menores (como podemos ver en el diagrama de abajo). Ya que el gas se comprime, también podemos asegurar que se hace un trabajo positivo $W$‍ sobre el gas.

Similarmente, si dejamos que el gas se expanda y empuje al pistón, su volumen se incrementará, por lo que el estado se moverá a la derecha hacia volúmenes mayores (como observamos en el diagrama de abajo). Ya que el gas se ha expandido, podemos asegurar que se hizo un trabajo negativo $W$‍ sobre el gas.

Así que si alguna vez observamos un estado moverse a la derecha en un diagrama PV, podemos asegurar que el trabajo hecho sobre el gas fue positivo. Similarmente, si alguna vez observamos un estado moverse a la derecha en un diagrama PV, podemos asegurar que el trabajo hecho sobre el gas fue negativo.

El trabajo hecho durante un proceso termodinámico es igual al área bajo la curva, como se muestra en el diagrama de abajo.

La razón por la que el trabajo es igual al área bajo la curva es que,

Y ya que $P\mathrm{\Delta }V$‍ no es más que la $\text{base}\times \text{la altura}$‍ del rectángulo mostrado arriba, el trabajo es igual al área. Si usamos $\text{pascales}$‍ como unidades de presión y ${\text{m}}^3$‍ como unidades de volumen, la energía que encontremos estará en $\text{joules}$‍.

Debemos ser muy cuidadosos con los signos. Si el camino en un diagrama PV se dirige a la izquierda, el volumen disminuye y se realiza trabajo positivo sobre el gas. Si el camino en un diagrama PV se dirige hacia la derecha (como en el diagrama de arriba), el volumen aumenta y se hace trabajo negativo sobre el gas, pues $W_{\text{por el gas}}=-W_{\text{sobre el gas}}$‍.

No importa la forma que tenga la ruta, el área bajo la curva siempre representará el trabajo hecho. Para cualquier camino curvado, podemos imaginar el área como la suma de una cantidad infinita de rectángulos infinitesimalmente delgados.

El área de cada rectángulo representaría el trabajo que se realiza durante cada paso infinitesimal, y la suma de las áreas representaría el trabajo total efectuado durante todo el proceso.

Debemos aclarar que siempre supondremos que estos procesos se llevan a cabo con la lentitud suficiente para que el gas se encuentre en equilibrio termodinámico (es decir, que todo el gas esté a la misma temperatura). Si esto te parece dudoso, haces bien en cuestionarlo. Sin embargo, aún cuando básicamente ningún proceso real satisface de manera exacta este requerimiento, nuestra habilidad para modelar muchos fenómenos termodinámicos no está fatalmente comprometida porque las circunstancias no sean las ideales.

Recuerda que la energía interna y la temperatura son proporcionales: $U\propto T$‍. Si la temperatura aumenta, también la energía interna lo hace.

Ahora, si consideramos al gas como ideal, entonces,

Y si no permitimos escapar al gas (de tal manera que el número de moléculas se mantiene constante), podemos decir que $PV\propto T$‍. Todo esto significa que,

Entonces, si la cantidad presión por volumen $(P\times V)$‍ aumenta, la temperatura $T$‍ y la energía interna $U$‍ también lo hacen (y $\mathrm{\Delta }U$‍ será positiva). Representamos esta idea en el diagrama de abajo.

Esto significa que cada vez que el estado en un diagrama PV termine arriba y a la derecha de donde comenzó, $\mathrm{\Delta }U$‍ será positivo. De manera similar, siempre que el estado termine abajo y a la izquierda de donde empezó, $\mathrm{\Delta }U$‍ será negativo.

Ahora que si el estado en el diagrama PV se mueve arriba y a la izquierda (la presión aumenta y el volumen disminuye), o abajo y a la derecha (la presión disminuye y el volumen aumenta), no queda claro si la cantidad $(P\times V)$‍ crece o decrece (pues una variable se incrementa y la otra se reduce). Para estar seguros, debemos determinar los valores exactos de $P$‍ y $V$‍ para los estados inicial y final, y así podremos establecer si la cantidad $(P\times V)$‍ realmente aumentó o disminuyó.

Una buena observación es que si la cantidad $(P\times V)$‍ no cambia, tampoco cambian la temperatura $T$‍ ni la energía interna $U$‍. Por ejemplo, si la presión se duplica y el volumen se parte a la mitad, el producto $(P\times V)$‍ se mantiene igual (pues $2P\times {\displaystyle \frac{V}{2}}=PV$‍). Entonces, la temperatura $T$‍ y la energía interna $U$‍ terminan el proceso con los mismos valores con los que lo empezaron.

Dado un diagrama PV, típicamente tendremos que apoyarnos en la primera ley de la termodinámica $\mathrm{\Delta }U=Q+W$‍ para determinar el signo del calor neto que entra o sale de un gas. Si resolvemos para el calor $Q$‍, obtenemos,

Ahora que sabemos esto, podemos usar nuestros conocimientos para encontrar los signos de $\mathrm{\Delta }U$‍ y $W$‍, y en muchos casos determinar el signo de $Q$‍. Por ejemplo, si el cambio en la energía interna es positivo y el trabajo que se realizó es negativo,

$Q=(+)-(-)=+$‍ ...el calor neto es positivo.

Lo que tiene sentido, pues que la energía haya aumentado aún cuando el gas hizo trabajo, quiere decir que le entró más calor que la cantidad de energía que perdió al realizar trabajo.

Si la energía interna decrece y el trabajo es positivo,

$Q=(-)-(+)=-$‍ ...el calor neto es negativo.

Lo que tiene sentido, ya que si la energía interna disminuyó aún cuando se hizo trabajo sobre el gas, esto implica que fue mayor el calor que perdió el gas que la energía interna que ganó por el trabajo realizado sobre él.

Un gas ideal en un contenedor sellado sigue el proceso que mostramos en el diagrama PV de abajo.

Un gas ideal que se encuentra en un contenedor sigue el proceso que puedes ver en el diagrama PV de abajo. Los volúmenes inicial y final del gas son $V_i=0.25{\text{m}}^3$‍ y $V_f=0.75{\text{m}}^3$‍, respectivamente, y sus presiones inicial y final son $P_i=70,000\text{ Pa}$‍ y $P_f=160,000\text{ Pa}$‍, respectivamente.

Solución:

Para encontrar el trabajo, debemos calcular el área total bajo la curva del diagrama PV. Antes hay que asegurarnos de utilizar el área total, que llega hasta el eje del volumen. Así, podemos imaginar el área como la unión de un triángulo y un rectángulo (como se observa abajo).

Basta ahora que encontremos la suma de las áreas del triángulo y el rectángulo. La altura del rectángulo es la presión $P_i$‍ y su base es el cambio en el volumen $\mathrm{\Delta }V=V_f-V_i$‍. Así que,

$\text{área 1}=\text{altura}\times \text{base}$‍ (área del rectángulo).

$\text{área 1}=P_i\times \mathrm{\Delta }V$‍ (la altura es $P_i$‍ y la base es $\mathrm{\Delta }V$‍).

$\text{área 1}=(70,000\text{ Pa})\times (0.75{\text{m}}^3-0.25{\text{m}}^3)$‍ (sustituye los valores).

$\text{área 1}=35,000\text{ J}$‍ (calcula).

Calculamos el área del triángulo usando $A={\displaystyle \frac{1}{2}}bh$‍:

$\text{área 2}={\displaystyle \frac{1}{2}}bh$‍ (área del triángulo).

$\text{área 2}={\displaystyle \frac{1}{2}}b(160,000\text{Pa}-70,000\text{ Pa})$‍ (la altura del triángulo es la diferencia en las presiones, $P_f-P_i$‍).

$\text{área 2}={\displaystyle \frac{1}{2}}(0.75{\text{m}}^3-0.25{\text{m}}^3)(160,000\text{Pa}-70,000\text{ Pa})$‍ (la base del triángulo es la diferencia en los volúmenes, $V_f-V_i$‍).

$\text{área 2}=22,500\text{ J}$‍ (calcula).

El área total bajo la curva es $35,000\text{ J}+22,500\text{ J}=57,500\text{ J}$‍

Esta área representa el valor absoluto del trabajo total que se hizo sobre el gas durante el proceso. Para determinar su signo, observemos que el proceso mueve el estado hacia la derecha, provocando que el gas se expanda. Cuando el gas se expande, el trabajo que se hace sobre él es negativo. Así,

$W_{\text{sobre el gas}}=-57,500\text{ J}$‍ (celebra).