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Curso: Lecciones de física > Unidad 6

Lección 1: Momento e impulso

¿Qué son los choques en dos dimensiones?

Aprende cómo manejar los choques en 2 dimensiones... y mejora tu juego de billar.

¿Cómo podemos resolver problemas de choques en dos dimensiones?

En otros artículos analizamos cómo el momento se conserva en los choques. También analizamos cómo la energía cinética se transfiere entre cuerpos y se convierte en otras formas de energía. Aplicamos estos principios a problemas sencillos, en los que el movimiento a menudo está restringido a una dimensión.

Si dos objetos chocan de frente, pueden rebotar y moverse a lo largo de la misma dirección en la que venían (es decir, una sola dimensión). Sin embargo, si dos objetos chocan de refilón, se van a mover en dos dimensiones después del choque (como el choque de dos bolas de billar).

Para un choque en donde los objetos se estén moviendo en dos dimensiones (es decir, x y y), el momento se conservará en cada dirección (siempre y cuando no haya un impulso externo en esa dirección).

En otras palabras, el momento total en la dirección x será el mismo antes y después del choque.

Σ p_{x i} = Σ p_{x f}

También, el momento total en la dirección y será el mismo antes y después del choque.

Σ p_{y i} = Σ p_{y f}

Al resolver problemas de choques en dos dimensiones, una buena manera de abordarlos suele seguir un procedimiento general:

Identificar todos los cuerpos en el sistema. Asignarle símbolos claros a cada uno y dibujar un diagrama sencillo si es necesario.
Escribir todos los valores que conoces y decidir exactamente qué es lo que tienes que encontrar para resolver el problema.
Seleccionar un sistema de coordenadas. Si muchas de las fuerzas y velocidades caen a lo largo de una dirección en particular, es recomendable usar esta dirección como nuestro eje x o y para simplificar los cálculos, incluso si eso hace que tus ejes no sean paralelos a la página en tu diagrama.
Identificar todas la fuerzas que actúan sobre cada uno de los cuerpos en el sistema. Asegúrate de contabilizar todos los impulsos, o de que entiendas en dónde pueden ser despreciados los impulsos externos. Recuerda que la conservación del momento solo aplica en casos en los que no haya impulsos externos. Sin embargo, la conservación del momento puede aplicarse de manera separada a las componentes horizontal y vertical. Algunas veces es posible despreciar un impulso externo si no está en la dirección de interés.
Escribir las ecuaciones para igualar el momento del sistema antes y después del choque. Se pueden escribir ecuaciones separadas para el momento en las direcciones x y y.
Resolver las ecuaciones resultantes para determinar una expresión para la(s) variable(s) que necesitas.
Sustituye los números que conoces para encontrar el valor final. Si esto requiere sumar vectores, a menudo es útil hacerlo de manera gráfica. Se puede dibujar un diagrama de vectores y usar el método de sumar vectores de cabeza a cola. Después se puede usar trigonometría para encontrar la magnitud y dirección de todos los vectores que necesitas conocer.

Problema de bolas de billar

La Figura 1 describe la geometría de un choque de una bola blanca de billar y una amarilla. La bola amarilla inicialmente está en reposo. La bola blanca se mueve en la dirección positiva de x de modo que choca con la bola amarilla. El choque ocasiona que la bola amarilla se mueva hacia al buchaca inferior derecha a un ángulo de 28° a partir del eje x.

La masa de la bola amarilla es de 0.15 kg y la de la bola blanca, de 0.18 kg. Una grabación de sonido revela que el choque ocurre 0.25 s después de que el jugador le pega a la bola blanca. La bola amarilla cae en la buchaca 0.35 s después del choque.

Ejercicio 1a: ¿cuál es la velocidad de la bola blanca después del choque?

En este problema necesitamos conocer la velocidad (magnitud y dirección) de la bola blanca después del choque. Vamos a usar los subíndices b y a para las bolas blanca y amarilla, e i y f para las cantidades inicial y final. En la figure se etiquetaron unos ejes x y y, de modo que usaremos estos como los ejes en nuestro análisis.

La figura muestra las distancias de viaje relevantes de cada bola. Conocemos el tiempo entre cada evento, así que podemos encontrar las velocidades. Al juntar toda la información que conocemos:

\begin{aligned} m_{b} & = 0.18 kg \\ m_{a} & = 0.15 kg \\ v_{bi} & = \frac{1 m}{0.25 s} ∠ 180^{\circ} \\ v_{ai} & = 0 \\ v_{af} & = \frac{1 m}{0.35 s} ∠ 62^{\circ} \end{aligned}

No hay ninguna indicación de que la energía se conserve en este problema (es un choque inelástico). Todo el impulso en el choque viene de la bola blanca en movimiento).

Los choques entre bolas de billar rígidas ocurren rápido, así que podemos aplicar la conservación del momento:

\begin{aligned} m_{b} \cdot v_{bi} & = m_{b} \cdot v_{bf} + m_{a} \cdot v_{af} \\ v_{bf} & = \frac{1}{m_{b}} (0.72 ∠ 180^{\circ} kg \cdot m / s - 0.428 ∠ 62^{\circ} kg \cdot m / s) \end{aligned}

La aritmética vectorial necesaria para encontrar

v_{bf}

se puede hacer de manera gráfica. La Figura 2 muestra un diagrama vectorial con los vectores de momento

p_{bi}

- p_{af}

sumados de cabeza a cola. El vector azul de momento que conecta el inicio de la cadena con el final representa la suma,

v_{bf}

en este caso.

Observa que restar el vector

p_{af}

es lo mismo que sumar

- 1 \cdot p_{af}

. Multiplicar por -1 se logra al invertir la dirección del vector. Estos artículos sobre vectores contienen muchos ejemplos de manipulaciones de vectores parecidas.

Los valores desconocidos se encuentran al usar trigonometría y se muestran en azul. El vector resultante mostrado en azul es el momento final de la bola blanca. Dividir entre la masa de la bola blanca nos da su velocidad.

\frac{0.396 kg \cdot m / s}{0.18 kg} ∠ - {30.33}^{\circ} = 2.2 m / s ∠ - {30.33}^{\circ}

Observa que también es posible (y por lo general más rápido) hacer la aritmética vectorial al usar una calculadora que pueda trabajar con números complejos. Sin embargo, sigue siendo recomendable hacer un bosquejo de un diagrama vectorial para poder revisar tus resultados de manera visual.

Ejercicio 1b: ¿es probable que la bola blanca caiga en alguna de las buchacas? Si es así, ¿cómo podría evitarse?

La figura muestra, de manera conveniente, el ángulo de la línea que interseca el centro de masa de la bola blanca en el choque y la buchaca superior derecha. Se muestra que es

31^{\circ}

a partir del eje x. Como está muy cerca del ángulo que calculamos, es probable que la bola caiga en esta buchaca.

Mientras la dirección de la bola blanca no cambie, el punto de contacto con la bola amarilla seguirá siendo el mismo, y está garantizado que caerá en la buchaca superior derecha. Si aumentamos o disminuimos la magnitud de la velocidad inicial, entonces la bola blanca pegará en la orilla superior o derecha de la mesa, respectivamente.

Ejercicio 1c: ¿cuánta energía se pierde en los alrededores en este choque?

Pelota de béisbol que rebota

Considera la situación en la que una máquina lanzadora envía una pelota de béisbol hacia un tablero de madera estacionario. La máquina está configurada para lanzar la pelota de 0.145 kg a 10 m/s. La pelota pega con el tablero a un ángulo de 45° de su superficie. El tablero es un poco flexible y el choque es inelástico. La pelota rebota a un ángulo de 40° de la superficie del tablero como se muestra en la Figura 3.

Pista: cuando una pelota rebota de una superficie, el impulso responsable del rebote siempre está en dirección normal a la superficie.

Ejercicio 2a: ¿cuál es la velocidad de la pelota después del choque?

Los únicos cuerpos en este sistema son la pelota y el tablero. Vamos a usar el subíndice p para la pelota e i y f para las cantidades inicial y final. Para nuestro análisis vamos a usar los ejes mostrados en la Figura 3.

En este problema conocemos el momento inicial de la pelota

p_{bi} = m_{b} v_{bi} = 1.45 kg \cdot m / s

a un ángulo de

45 °

. Conocemos la dirección del vector final del momento

p_{bf}

, pero no su magnitud. En efecto, esta magnitud es lo que necesitamos para resolver el problema.

En este problema, se considera que el tablero está estacionario y que sus propiedades elásticas son desconocidas. El impulso que le da a la pelota durante el choque es un impulso externo desconocido. Sin embargo, sí sabemos que ese impulso está en la dirección normal a la superficie (en la dirección -y).

No hay ningún impulso externo en la dirección x, así que el momento se conserva en esta dimensión. Si el cambio en el momento debido al tablero es

Δ p_{tablero}

, entonces por la conservación del momento:

p_{pf} = p_{pi} + Δ p_{tablero}

Los problemas como este suelen ser más fáciles de resolver de manera gráfica. La Figura 4 muestra un diagrama vectorial del momento con los vectores del lado derecho de la ecuación sumados de cabeza a cola y mostrados en azul. El vector resultante de la suma,

p_{pf}

, se muestra en verde. Cuando inicialmente se desconoce la magnitud de un vector, se extiende una línea punteada. Es posible encontrar la magnitud de los vectores desconocidos al encontrar en dónde se intersecan las líneas al usar trigonometría.

El vector del momento final de la bola se determina al calcular primero la longitud del lado adyacente del triángulo superior y luego la hipotenusa del triángulo inferior, como se muestra. Entonces la velocidad es:

\frac{1.338 kg \cdot m / s}{0.145 kg} = 9.227 m / s

Ejercicio 2b: si la pelota está en contacto con la pared durante 0.5 ms, ¿cuál es la magnitud de la fuerza sobre la pelota debida a la pared?

Ejercicio 2c: ¿cuánto trabajo hizo la pelota sobre la pared?

Aunque el tablero no se mueve, es ligeramente flexible. Cuando la pelota golpea la pared y rebota, la pared se flexiona, por lo que la pelota realiza un trabajo en la pared. Pequeños pedazos de la pared cerca de la bola se mueven, así que hay una fuerza aplicada por la pelota sobre una distancia, lo que significa que la pelota realiza trabajo en la pared. Este trabajo

W

hecho en el tablero es el cambio en la energía cinética de la pelota. Después, esa energía absorbida por el tablero se perderá en el ambiente circundante como sonido o calor.

Podemos restar la energía cinética final de la inicial para encontrar el trabajo total

W

que debió hacer la pelota a la pared.

\begin{aligned} W & = \frac{1}{2} m_{p} v_{pi}^{2} - \frac{1}{2} m_{p} v_{pf}^{2} \\ = \frac{1}{2} 0.145 kg (10 m / s)^{2} - \frac{1}{2} 0.145 kg (9.227 m / s)^{2} \\ = 1.077 J \end{aligned}

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Illya Rozumovskiy
Publicado hace hace 4 años. Enlace directo a la publicación “Porque seriá incorrecto c...” de Illya Rozumovskiy
Porque seriá incorrecto calcular la fuerza "pelota-pared" de cambio total del momento, de forma (cambio = d) dP= P_fin(0.145*9.227)-P_incial(0.145*10)
dP=-0.112 (kg*m)/s
i la magnitud de fuerza realizada seria
|F|= dP/dt = 223 N
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