Una comprensión visual de la fórmula de la aceleración centrípeta

digamos que tenemos un objeto viajando en forma circular y lo que dibuje aquí son los vectores velocidad en diferentes puntos de esta trayectoria tengo aquí mi vector de uno aquí tengo mi vector velocidad 2 y aquí tengo mi vector velocidad 3 y vamos a asumir que aunque la posición de sus vectores es diferente la magnitud de estos vectores es la misma y es constante voy a llamar a la magnitud de los vectores b van a darse cuenta que esta es una cantidad de escalar porque no tiene la flechita arriba esto es una cantidad escalar no es un vector y esta vez minúscula la voy a llamar rapidez y esta rapidez va a ser igual a la magnitud de los vectores de 1 y esto va a ser igual a la magnitud del vector de 2 y esto a su vez será igual a la magnitud del vector de 3 y vamos a asumir que este objeto está viajando en una ruta circular más o menos circular o imagínense que lo que estoy dibujando es un círculo con centro aquí y con un radio r ahora lo que voy a hacer es dibujar los vectores posición de cada uno de estos puntos en el tiempo entonces tengo aquí acá mi vector posición que voy a llamar nivel 2 posición acá r2 y mi vector posición 3 bueno entonces tenemos que la posición va a ser diferente pero la magnitud de estos vectores posiciones va a ser la misma voy a llamar r a la magnitud de cada uno de estos vectores de nuevo esta r es una escala de su retorno tiene una flechita aquí y está r es igual a la magnitud de mi vector de posición r 1 y esto es igual el vector a la magnitud de mi vector r 2 y es igual a la magnitud de mi director r3 lo que quiero hacer aquí es demostrarles visualmente que dados en este radio y esta rapidez la magnitud de la aceleración centrípeta que llamaré hace aceleración centrípeta va a ser igual a esta velocidad o esta perdón a esta rapidez al cuadrado entre el radio del rector posición / vamos a llegar a esto pero ahorita vamos a explicar visualmente de dónde sale esta fórmula bueno aquí tengo entonces mis vectores velocidad voy a tomar cada uno de estos vectores y lo voy a graficar de manera diferente tengo aquí mi vector 1 este aproximadamente mi vector 2 y este mi vector b3 cuál es el radio de este círculo qué bueno si yo dibujara todo uno cada uno de los vectores velocidad de mi objeto pues tendríamos más o menos un círculo también cuál sería el radio de este círculo pues sería la magnitud de mi vector velocidad que es como les comenté una velocidad constante entonces yo conozco que esta magnitud de director velocidad pues es esto que ya me esté escalar el radio la rapidez ve y conocemos cuál es esta magnitud y bueno sabemos que el radio de este otro círculo pues es la magnitud del vector posición y qué es lo que ocasiona el cambio de dirección en estos vectores velocidad bueno va a ser el vector aceleración que si lo graficó va a ser aquí así aceleración 1 este va así más o menos vector aceleración 2 y este vector aceleración 3 y quiero que ustedes noten la analogía que hay aquí conforme el objeto da vueltas el vector posición va a ir cambiando como las manecillas del reloj y aquí fuera se muestran los vectores velocidad en este otro ejemplo tenemos aquí adentro los vectores velocidad que se muestran como las manecillas de un reloj que van cambiando y aquí lo que está causando el movimiento son los vectores de aceleración en este otro lado de los vectores velocidad son tangenciales a la posición y son perpendiculares al radio lo mismo va a ocurrir en esta parte donde la aceleración es perpendicular a los vectores velocidad si trasladamos todos estos vectores aceleración aquí en este círculo los dibujamos estos van a ser los vectores aceleración pues vamos a ver que todos van a estar buscando el centro se estar van a estar dirigiendo hacia el centro por lo que todos estos son vectores de aceleración centrípeta y asumimos que todos esos vectores también tienen la misma magnitud entonces tengo mi cantidad de escalar aceleración centrípeta como les digo no des vector va a ser igual a la magnitud del vector aceleración centrípeta 1 o bueno lo pongo como los dibuje aquí a uno a la magnitud de este vector que es igual a la magnitud de la aceleración 2 que es igual a la magnitud del vector aceleración 3 ahora lo que quiero pensar es que tanto me lleva o me llevará para llegar desde este punto hasta este otro punto a este recorrido de esta pues esta ruta circular entonces bueno tengo una forma de resolverlo cuál es la longitud del arco que se recorre en esta parte que es un cuarto de circunferencia más o menos es un cuarto de la circunferencia bueno esta parte desde circunferencia es igual a 2 p esta es la circunferencia total del círculo por el radio r multiplicado por 14 entonces también quiero saber bueno esta es la longitud de este arco longitud del arco quiero saber también qué tiempo va a tardar en recorrer este este cuarto de circunferencia y para saber el tiempo pues tengo que dividir la longitud del recorrido entre la rapidez o lo que es lo mismo no voy a escribir por acá el tiempo que es un escalar que me lleva a recorrer esto va a ser igual a la longitud del arco que ya puse aquí que es 2 pi por el radio que es r multiplicado por un cuarto porque es una cuarta parte de la circunferencia entre la rapidez y la rapidez es ver recordamos esto no es velocidad es rapidez es una escalar repites y bueno aquí ya tengo el tiempo de recorrido y el tiempo que se tarda en recorrer esta ruta pues va a ser exactamente el mismo que voy a tomar para recorrer esta parte de la circunferencia de este otro círculo el de vectores de velocidad bueno ahora el tiempo va a ser el mismo pero ahora aquí la longitud base al diferente cuál es la longitud de esta otra ruta pues igual tiene que ser un cuarto de la circunferencia pero ahora con este radio velocidad entonces tengo que en este lado mi tiempo de recorrido va a ser igual a la longitud que es 2 pi ahora el radio es la velocidad por un cuarto porque es un cuarto de la circunferencia entonces ahora es el cuarto de 2000 ahora no es r&b y la rapidez / reír la magnitud de la aceleración que es bueno digamos que la la velocidad bueno la rapidez pero en este caso es exactamente el correspondiente aquí tenemos nuestros vectores velocidad que es sobre lo que dividimos el tiempo y aquí tenemos los tres vectores de aceleración que sobre lo que vamos a dividir aquí la longitud para obtener el tiempo entre mis vectores bueno más bien entre la magnitud de mi aceleración sean típica y estas dos cantidades son iguales este tiempo va a ser el mismo entonces puedo igualar ambos elementos de la ecuación de manera que me queda dos pi y por radio como del este radio por un cuarto entre la rapidez va a ser igual a igual 2 pin en este caso es el vector velocidad por el cuarto / la aceleración zenttric puedo simplificar estos términos puedo quitar estos elementos de aquí y que me quede el radio entre la aceleración es igual a la radio entre la rapidez es igual a la rapidez entre la aceleración siempre pesa si yo quiero dejar solita la aceleración científica puedo pasarla multiplicando o multiplicar ambos lados por este término aceleración satisfecho centrípeta multiplicado por el radio entre la rapidez es igual a la rapidez sigo simplificando es voy a multiplicar todo por la rapidez entonces no va a quedar la aceleración centrípeta por el radio igual a la rapidez por la rapidez la rapidez el cuadrado finalmente la aceleración sentir pp es igual a mi rapidez al cuadrado entre el radio que esta es la misma fórmula la que queríamos llegar desde el principio