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Curso: Ingeniería eléctrica > Unidad 5

Lección 2: Los campos, el potencial y el voltaje

La recta cargada

Ejemplo avanzado: el campo eléctrico que rodea una recta infinita uniformemente cargada. Escrito por Willy McAllister.

Ejemplo resuelto: el campo eléctrico cerca de una recta cargada

Derivamos una expresión para el campo eléctrico cerca de una recta cargada.

El resultado mostrará que el campo eléctrico cerca de una recta cargada decae como

1 / a

, donde

a

es la distancia a la recta.

Supón que tenemos una recta muy larga de longitud

L

, con una carga total

Q

, y que la carga está distribuida uniformemente alrededor de la recta. La carga total de la recta es

Q

, por lo que la densidad de carga en coulombs/metro es

μ = \frac{Q}{L}

Supón que colocamos una carga de prueba

q

a una distancia

a

del centro de la recta.

¿Cuál es el campo eléctrico en la posición de $q$ ‍ debido a (generado por) la recta cargada?

Esta derivación nos llevará a la solución general del campo eléctrico para cualquier longitud

L

y cualquier distancia

a

. Por medio de esta solución general, resolveremos un caso particularmente útil: cuando la recta es muy larga en relación a su distancia a la carga de prueba, es decir,

L ≫ a

Primero, crea y nombra las variables que vas a usar.

$a$ ‍ es la distancia de la recta a la posición de nuestra carga de prueba, $q$ ‍.
$d Q$ ‍ es la pequeña cantidad de carga contenida en el pequeño segmento de recta, $d x$ ‍.
$x$ ‍ es la distancia del centro de la recta‍ a $d Q$ ‍.
$r$ ‍ es la distancia de $d Q$ ‍ a la posición de la carga de prueba.
$θ$ ‍ es el ángulo entre $a$ ‍ y $r$ ‍.

El campo eléctrico que rodea una carga puntual

Q

E = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{Q}{r^{2}}

El campo eléctrico en la posición de la carga de prueba

q

debido a un pequeño pedazo de carga en la recta,

d Q

, es

d E = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{d Q}{r^{2}}

Podemos expresar la cantidad de carga

d Q

en términos de la densidad de carga,

d Q = μ d x

d E = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} μ \frac{d x}{r^{2}}

La variable independiente más adecuada para este problema es el ángulo

θ

. El análisis se simplifica si modificamos la ecuación para hacer que

d θ

varíe sobre un rango de ángulos en vez de que

d x

varíe sobre la recta (este es un cambio de variable).

El objetivo aquí es desarrollar una expresión para

d θ

en términos de

d x

. Luego sustituiremos esta expresión en la ecuación para el campo eléctrico.

Algunas identidades trigonométricas útiles, de las definiciones del coseno, la secante y la tangente.

\cos θ = \frac{a}{r} r = a \frac{1}{\cos θ} = a \sec θ r^{2} = a^{2} \sec^{2} θ

\tan θ = \frac{x}{a} x = a \tan θ

Nuestro objetivo es reemplazar

d x

con alguna expresión de

d θ

, por lo que, basados en la identidad de la tangente, tomamos la derivada de

x

con respecto a

θ

\frac{d x}{d θ} = a \frac{d}{d θ} \tan θ

\frac{d x}{d θ} = a \sec^{2} θ

d x = a \sec^{2} θ d θ

Por último, calculamos

\frac{d x}{r^{2}}

\frac{d x}{r^{2}} = \frac{a \sec^{2} θ d θ}{a^{2} \sec^{2} θ}

Disfruta de algunas cancelaciones para terminar con una expresión para

d θ

a

que podemos sustituir por

d x

r

\frac{d x}{r^{2}} = \frac{d θ}{a}

Ahora, regresemos a la discusión principal y usemos nuestro cambio de variable.

Después del cambio de variable, podemos volver a dibujar el diagrama en términos de

d θ

El cambio de variable nos permite sustituir

\frac{d θ}{a}

en vez de

\frac{d x}{r^{2}}

en la ecuación anterior, es decir,

d E = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} μ \frac{d θ}{a}

Ahora explotamos la simetría del arreglo de cargas al determinar el campo eléctrico solamente en la dirección

y

(la dirección que une el centro de la recta cargada con

q

Esto significa que escalamos el campo eléctrico

d E

con el coseno del ángulo

θ

d E_{y} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{μ}{a} \cos θ d θ

Estamos listos para integrar (sumar) todas las contribuciones de cada

d Q

para obtener el campo eléctrico:

E_{y} = \int_{- θ}^{+ θ} \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{μ}{a} \cos θ d θ

Esta es la solución general para el campo eléctrico cerca de cualquier recta cargada de longitud

L

a una distancia

a

del centro de la recta. Los límites

\pm θ

son los ángulos a ambos extremos de la recta.

Caso útil: una larga recta cargada

Ahora resolvemos el útil caso en el que la recta de carga es muy larga en comparación a la separación

a

, o

L ≫ a

. Si te paras en

q

y volteas tu cabeza en cualquier dirección hacia el final de esta gran recta, tu cabeza gira (casi)

\pm 90^{\circ}

(

\pm π / 2

radianes). Estos se vuelven los límites de integración.

E_{y} = \int_{- π / 2}^{+ π / 2} \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{μ}{a} \cos θ d θ

Saca todo lo que no depende de

θ

fuera de la integral,

E_{y} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{μ}{a} \int_{- π / 2}^{+ π / 2} \cos θ d θ

y evalúa la integral,

E_{y} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{μ}{a} \sin θ |_{- π / 2}^{+ π / 2} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{μ}{a} (+ 1 - - 1) = \frac{2}{4 π ϵ_{0}} \frac{μ}{a}

Por último, el campo eléctrico generado por una larga recta cargada a una distancia

a

del centro de la recta es,

E_{y} = \frac{μ}{2 π ϵ_{0}} \frac{1}{a}

Si seguiste todo el camino hasta acá, muy bien. El descubrimiento importante de este ejercicio es: en contraste con el decaimiento de

1 / r^{2}

para una carga puntual, el campo alrededor de una recta cargada decae como

1 / a

Hicimos un montón de matemáticas para derivar este resultado. Vale la pena tomarnos un momento para sentarnos con esta solución y asimilarla lentamente. Intuitivamente, ahora que has visto las matemáticas, ¿tiene sentido que el decaimiento tenga un exponente distinto,

1 / a

, comparado con el de una carga puntual,

1 / r^{2}

Como una entretenida distracción, si recuerdas la fábula de la pistola de mantequilla del artículo sobre la ley del inverso del cuadrado, ¿puedes designar una nueva pistola de mantequilla para una recta de carga que rocíe en un patrón de

1 / a

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