podrían un favor poner mas ejemplos rebuscados para practicar y respuestas para verificar

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Redes delta-estrella de resistencias

La transformación delta-estrella es una técnica adicional para transformar ciertas combinaciones de resistores que no se pueden manejar por medio de las ecuaciones en serie o en paralelo. También se conoce como transformación Pi - T. Escrito por Willy McAllister.

A veces, al simplificar una red de resistores, te quedas atorado. Algunas redes de resistores no se pueden simplificar mediante las combinaciones comunes en serie y paralelas. A menudo, esta situación puede manejarse al probar con la transformación

Δ - Y

, o transformación "delta-estrella".

Los nombres de delta y estrella vienen de la forma de los esquemas, parecidos a la letra griega y a la figura. La transformación te permite reemplazar tres resistores en una configuración de

Δ

por tres resistores en una configuración en

Y

, y viceversa.

Con el estilo de trazado de

Δ - Y

se hace hincapié en que estas son configuraciones de tres terminales. Es importante darse cuenta del número diferente de nodos en las dos configuraciones.

Δ

tiene tres nodos, mientras que

Y

tiene cuatro nodos (uno adicional en el centro).

Se pueden volver a trazar las configuraciones para que los resistores queden en una distribución cuadrada. A esta se le conoce como configuración

π - T

El estilo

π - T

es un dibujo más convencional que encontrarías en un esquema típico. Las ecuaciones de transformación que desarrollamos a continuación también son aplicables a

π - T

Transformación $Δ - Y$ ‍

Para que la transformación sea equivalente, la resistencia entre ambos pares de terminales debe ser la misma antes y después. Es posible escribir tres ecuaciones simultáneas para hacer evidente esta restricción.

Considera las terminales

x

y

(y por el momento supón que la terminal

z

no está conectada a nada, así que la corriente en

R 3

0

). En la configuración

Δ

, la resistencia entre

x

y

R c

en paralelo con

R a + R b

Del lado de la

Y

, la resistencia entre

x

y

es la combinación en serie de

R 1 + R 2

(de nuevo, supón que la terminal

z

no está conectada a nada, así que

R 1

R 2

llevan la misma corriente y se pueden considerar en serie). Igualamos estas entre sí para obtener la primera de tres ecuaciones simultáneas,

R 1 + R 2 = \frac{R c (R a + R b)}{R c + (R a + R b)}

Podemos escribir dos expresiones parecidas para los otros dos pares de terminales. Observa que los resistores en

Δ

tienen nombres de letras,

(R a

, etc.

)

y los resistores en

Y

tienen nombres con números,

(R 1

, etc.

)

Después de resolver las ecuaciones simultáneas (no se muestran), obtenemos las ecuaciones para transformar cualquier red en otra.

Transformación $Δ \to Y$ ‍

Las ecuaciones para transformar una red

Δ

en una red

Y

R 1 = \frac{R b R c}{R a + R b + R c}

R 2 = \frac{R a R c}{R a + R b + R c}

R 3 = \frac{R a R b}{R a + R b + R c}

La transformación de

Δ

Y

introduce un nodo adicional.

Transformación $Y \to Δ$ ‍

Las ecuaciones para transformar una red

Y

en una red

Δ

R a = \frac{R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1}{R 1}

R b = \frac{R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1}{R 2}

R c = \frac{R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1}{R 3}

La transformación de

Y

Δ

elimina un nodo.

Ejemplo

Hagamos un ejemplo simétrico. Supón que tenemos un circuito

Δ

con resistores de

3 Ω

. Obtén el equivalente de

Y

mediante las ecuaciones

Δ \to Y

R 1 = \frac{R b R c}{R a + R b + R c} = \frac{3 \cdot 3}{3 + 3 + 3} = 1 Ω

R 2 = \frac{R a R c}{R a + R b + R c} = \frac{3 \cdot 3}{3 + 3 + 3} = 1 Ω

R 3 = \frac{R a R b}{R a + R b + R c} = \frac{3 \cdot 3}{3 + 3 + 3} = 1 Ω

Ir en la otra dirección, de

Y \to Δ

, se ve así,

R a = \frac{R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1}{R 1} = \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1}{1} = 3 Ω

R b = \frac{R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1}{R 2} = \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1}{1} = 3 Ω

R c = \frac{R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1}{R 3} = \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1}{1} = 3 Ω

Ejemplo

Hagamos un ejemplo un poco menos predecible. Queremos encontrar la resistencia equivalente entre las terminales superior e inferior.

Por más que lo intentemos, no hay resistores en serie o en paralelo. Pero no estamos atorados. Primero, volvamos a trazar el esquema para hacer énfasis en que tenemos dos conexiones

Δ

apiladas una sobre la otra.

Ahora elige una de la las

Δ

para hacer una conversión a

Y

. Realizaremos una transformación

Δ \to Y

y veremos si salimos del atasco, abriendo otras oportunidades para la simplificación.

Empezamos con la

Δ

inferior (una elección arbitraria). Con mucho cuidado nombramos los resistores y nodos. Para obtener las respuestas correctas de las ecuaciones de transformación, es fundamental tener siempre bien los nombres de los resistores y los nodos.

R c

debe conectar entre los nodos

x

y

, y así sucesivamente. Consulta el diagrama 1 de arriba para ver la convención de nomenclatura.

Cuando realicemos la transformación sobre la

Δ

inferior, los resistores

Δ

negros serán reemplazados por los nuevos resistores

Y

grises, de esta forma:

Haz la transformación tú mismo antes de ver la respuesta. Revisa que elijas el conjunto de ecuaciones adecuado.
Computa tres nuevos valores de resistores para convertir la $Δ$ ‍ a $Y$ ‍, y traza todo el circuito.

Aplica las ecuaciones de transformación para

Δ \to Y

R 1 = \frac{R b R c}{R a + R b + R c} = \frac{5 \cdot 3}{4 + 5 + 3} = \frac{15}{12} = 1.25 Ω

R 2 = \frac{R a R c}{R a + R b + R c} = \frac{4 \cdot 3}{4 + 5 + 3} = \frac{12}{12} = 1 Ω

R 3 = \frac{R a R b}{R a + R b + R c} = \frac{4 \cdot 5}{4 + 5 + 3} = \frac{20}{12} = 1.66 Ω

Deriva una red

Y

equivalente mediante la sustitución de los resistores

Δ

. Asegúrate de que los nombres de los resistores

Y

se conecten entre los nombres de nodos correctos. Consulta el diagrama 1 de arriba para ver la convención de nomenclatura.

¡Y listo! Mira nuestro circuito. Ahora tiene resistores en serie y paralelo donde no había ninguno. Continúa la simplificación con combinaciones en serie y paralelo hasta llegar a un solo resistor entre las terminales. Vuelve a trazar el esquema para que los símbolos queden en una distribución cuadrada conocida.

Procedemos a los pasos de simplificación restantes como lo hicimos en el artículo sobre simplificación de redes de resistores.

En la rama izquierda,