Intervalo de confianza. Ejemplo

en el distrito local de docencia está disponible una beca para profesores para instalar un conjunto de cuatro computadoras en sus salones de clases de los 6.250 docentes en el distrito 250 fueron seleccionados aleatoriamente y se les preguntó si ellos creían que las computadoras eran una herramienta esencial de enseñanza en sus salones de clase de los docentes seleccionados 142 afirmaron que las computadoras eran una herramienta de enseñanza esencial y posteriormente nos preguntan calcula un intervalo de confianza del 99 por ciento de la proporción de docentes que piensan que las computadoras son una herramienta esencial de enseñanza ahora pensemos en toda la población si pudiéramos entrevistarlos a todos la población completa algunos de ellos y los clasificaríamos uno con los que responden las computadoras son buenas herramientas los que piensan que las computadoras son buenas herramientas y definiremos el valor de 0 para los maestros que respondieron que no era buena herramienta una proporción del total de maestros habrá respondido que es una buena herramienta esa proporción se llama p y el resto piensa que es una mala herramienta tendrá en la proporción 1 - p tenemos una distribución de brno link y sabemos que la media de esta distribución o el valor esperado de esta distribución va a hacer p o sea no va a ser un valor ni 0 ni 1 sino un valor ya que no pueden responder algo intermedio tienen que opinar o que es buena herramienta o que no lo es así que el valor esperado es algo intermedio la media es igual a p y lo que hacemos es tomar una muestra de estos 250 maestros y encontramos que 142 de ellos opinan que las computadoras son una herramienta esencial así que en nuestra encuesta de 250 muestras obtuvimos que 142 dicen que es buena herramienta que es igual a 1 así que tenemos 142 1 1 142 veces y el resto es lo que sobra 108 dicen que no es bueno 108 opinan que no es una buena herramienta que es igual a cero en nuestra muestra teniendo un total de 250 bueno y cuál va a ser la media de la muestra aquí la media de la muestra va a ser igual a 1 por ciento 42 más 0% 8 entre el número total de muestras que es 250 que es igual a 142 entre 250 es la proporción de los profesores que opinan que la computadora es una buena herramienta de enseñanza vamos a sacar nuestra calculadora para hacer esta operación 142 entre 250 es igual punto 568 la proporción de nuestra muestra es 0 punto 568 así que es igual a 0.5 68 y también vamos a calcular la varianza de nuestra muestra ya que la vamos a usar más adelante para poder calcular nuestra confianza vamos a tomar los valores y los vamos a multiplicar por nuestra media restando la a-1 y elevando el resultado al cuadrado y esto lo vamos a dividir entre el número total de muestras menos 1 así que es uno por bueno de hecho es al revés vamos a escribirlo 142 por 100 punto 568 que eso lo tenemos de la media de la muestra y lo ponemos al cuadrado más el 108 multiplicado por cero menos 0.5 68 al cuadrado y dividimos todo esto entre el número total de muestras menos 1 va a ser 250 menos uno 250 menos 1 nuevamente sacamos nuestra confiable calculadora y vamos a escribir todo esto usamos paréntesis 142 por paréntesis 1 menos 0.5 68 y esto elevado al cuadrado más 108 x abro paréntesis 0 - y bueno pueden calcular algunas partes en su cabeza pero yo voy a escribir todo explícitamente menos 0.5 68 al cuadrado todo esto dividido entre 250 menos son los 249 el resultado es punto 246 nuestra apariencia de la muestra y la voy a escribir por acá la varianza de la muestra es igual a 0.2 46 y si obtenemos la raíz cuadrada de esto la desviación estándar de nuestra muestra va a ser igual sacamos la raíz cuadrada aquí con la calculadora raíz cuadrada de la respuesta anterior es igual a punto 4 96 es igual a 0.50 vamos a redondear lo al 0.50 y esta es la desviación estándar de la muestra vamos a verlo de esta manera estamos tomando la muestra de una distribución de muestreo de la media de la muestra que luce más o menos así algo así y tiene una media una media de la distribución de muestreo de la media de la muestra y esto va a ser igual que el valor de la media que también va a ser igual a la proporción de la población y esta es la desviación estándar de la distribución de la muestra la desviación estándar de la desviación de muestreo de la media de la muestra nos estoy dibujando aquí y acá entonces la desviación estándar de la distribución de muestreo y hemos visto varias veces que es igual a la desviación estándar vamos a ponerle diferente color es igual a la desviación estándar a la desviación estándar de nuestra población original dividida entre la raíz cuadrada del número de muestras va a estar dividida entre la raíz cuadrada 250 ahora nosotros desconocemos este valor de acá no conocemos cuál es la desviación estándar real de nuestra población pero el mejor estimado que tenemos al respecto y eso le llamamos confianza tenemos la confianza de que la media real o que la proporción de la población real va a estar en este intervalo tenemos confianza pero no estamos seguros al 100% porque vamos a estimar esto de acá y al estimar esto vamos a estimar este otro parámetro de acá si esto pudiera ser estimado lo sería por medio de esta desviación estándar así que podemos decir que esto es aproximado y si tuviéramos una distribución de la muestra completamente loca esto ni siquiera podría ser una aproximación pero a lo mejor debemos escribir que estamos confiando conociendo en qué la desviación estándar de la distribución de la muestra será aproximada a y en lugar de usar esto vamos a usar la desviación estándar de nuestra muestra la desviación estándar de la muestra 0.50 dividido entre la raíz cuadrada de 250 a que va a ser igual esto usamos nuestra calculadora tenemos este valor de cada el resultado anterior dividido entre la raíz cuadrada de 250 y obtenemos 0.0 31 así que esto es igual a punto 0 31 y esta es una desviación estándar ahora nos piden una confianza del 99 por ciento y la forma en la que yo pienso en ello es si yo seleccionará de manera totalmente aleatoria una muestra de nuestra distribución de muestreo cuál sería la probabilidad del 99 por ciento o permítanme re frasear lo cuentas de presiones estándares lejos de la media deberíamos tener para llegar a una confianza del 99 por ciento de que cualquier muestra de la distribución de muestreo estará en este intervalo otra forma de pensar en ello es preguntarse cuántas desviaciones estándares alejados de la media de tal manera que cualquier media que calculamos de las muestras tomadas tenga un 99% de probabilidad de estar por arriba o para abajo de la media dentro de estas desviaciones estándares esto es lo que nos interesa lo que estoy subrayando en verde el 99% de probabilidad de que si elegimos una muestra de la distribución de muestreo de la media de la muestra caiga dentro de estas desviaciones estándar es que estamos indicando acá para calcular eso tenemos que consultar en nuestra tabla z por lo que queremos una confianza del 99% si yo quiero este 99 por ciento de confianza al ver la parte superior esta área naranja debería ser punto 475 ya que si esta parte 2.475 esta otra parte va a ser también punto 475 perdón tenemos que calcular el 99 por ciento así que quitamos esto y ponemos punto 495 ya que es el 99 por ciento de confianza que queremos y así esta área es punto 495 de manera que esta otra área va a ser lo mismo y sumadas nos va a dar el porcentaje de confianza que estamos buscando 16.495 en este valor en la tabla z tendrá que ser punto 495 más punto 5 que es el área que se encuentra de este otro lado de la distribución por lo que nos va a quedar punto 99 59 95 y con esta información podemos consultar nuestra tabla zeta para buscar puntos 9 9 5 encontramos más o menos por acá punto 99 5 o está pues este valor es el más cercano que podemos encontrar vemos esta coordenada este valor el área acumulada que tengo en mi distribución vamos a dibujar la bonita aquí esta es la media de esta distribución este 2.5 indica las desviaciones estándar por encima de la media así que este valor es 2.5 de la desviación estándar así que esto es toda esta área que estoy subrayando aquí en la gente va a ser punto 9 951 lo que nos dice que esta área de acá solamente que estoy coloreando en verde va a ser punto 4 951 esta área más su área simétrica en este otro lado de estas decisiones estándares por debajo de la media si se combinan punto 4 951 por 2 nos va a dar el punto 99 2 que estamos buscando toda esta área de aquí va a ser punto 9 92 aunque debemos tener cuidado porque tenemos que agregar otros dígitos acá para mantener la precisión esta es 2.5 y el siguiente dígito de precisión va a estar dado por esta columna de aquí que movemos la pantalla para ver y el dígito es punto 0 8 por lo que esta es 2.58 de desviación estándar si tenemos 2.5 acá y luego en esta otra parte tenemos el punto 0 82 puntos 58 divisiones estándares por encima y por debajo de la media lo que y abarca un poquito más del 99% que nos habían pedido en el problema así que aquí tenemos un poco más del 99% de probabilidades de que cualquier valor de la media de la muestra caiga en esta porción de la desviación estándar vamos a ponerlo de esta manera hay 99 bueno de hecho es si multiplicamos esto por 2 vamos a obtener un 99 0 2 así que vamos a decir que es aproximadamente una probabilidad del 99 por ciento noventa y nueve por ciento de probabilidad de que cualquier muestra de que una muestra aleatoria de la media de la muestra esté dentro de 2.58 desviaciones estándares de la media de la muestra d la media de nuestra población de la media de nuestra distribución de muestreo de la media de la muestra que es lo mismo que la media de nuestra población que a su vez es lo mismo que la proporción de la población de pep y sabemos cuál es el valor de aquí al menos tenemos una aproximación decente aunque no sabemos exactamente cuál es su valor nuestra mejor estimación de este valor es esto de aquí arriba por lo que podemos reescribir esto diciendo que tenemos la confianza tenemos la confianza porque estamos usando una estimación aquí tenemos la confianza de que hay un 99 por ciento de probabilidad de que una equis aleatoria una media de la muestra aleatoria esté dentro de vamos a obtener este valor usando nuestra calculadora por lo que vamos a escribir 2.58 por nuestra mejor estimación de la desviación estándar de la distribución de muestreo punto 0 3 1 esto es igual a punto 07 esto vamos a redondear lo vamos a ponerlo a punto 08 está dentro de punto 08 punto 08 de la proporción de la población o se puede decir o puedes decir que tiene la confianza de que la proporción de la población se encuentra dentro del punto 08 de la media de la muestra es exactamente el mismo enunciado siquiera un intervalo de confianza la media de la muestra encontramos que era punto 568 encontramos que era punto 568 por lo que podemos reemplazar esto y lo vamos a hacer puedo borrar esto de acá se va y cambiar esto por punto 568 por lo que tenemos una conciencia del 99 por ciento de probabilidades de que el punto 568 esté dentro del punto 08 de la proporción de la población que es lo mismo que la media de la población y que es la media de la distribución de muestreo de la media de la muestra y para hacerlo todavía aún más claro podemos intercambiar estos elementos de manera que si esto es el punto 08 de esto aquello estará en punto 568 de esto por lo que estará dentro de vamos a cambiar esto punto 568 y esto vuelve más a un intervalo de confianza ya que tenemos la confianza del 99 por ciento de probabilidades de que esté dentro de punto 08 de la media de la muestra del punto 568 nuestro intervalo de confianza es punto 568 + menos 0.08 y eso qué significa el rango va de punto 568 más punto 08 en el límite superior punto 648 y en el límite inferior si restamos punto cero 8.568 será punto 488 tenemos una confianza del 99% de que la proporción de la población caiga dentro de estos dos números otra forma de verlo es que el porcentaje real de profesores que consideran que las computadoras son buenas herramientas está entre obtenemos la confianza del 99% de probabilidades de que el porcentaje real de los profesores que les gustan las computadoras está entre punto 4 8 8 en él el 48.8 por ciento a 60 y 4.8 por ciento esto responde la primera parte de la pregunta la segunda parte dice cómo puede cambiarse la encuesta para centrar el intervalo de confianza y mantenerlo en el intervalo del 99% bueno pues debemos de tomar más muestras al hacer esto nuestro estimado de la división estándar de esta distribución va a disminuir ya que el denominador va a aumentar por lo que todo esto va a disminuir y la desviación estándar va a ser menor cuando veamos las desviaciones estándares con 'la más o menos en el rango este valor va a disminuir por lo que debemos tener más muestras