ANOVA 2: calcular SCD y SCE (suma de cuadrados dentro y entre)

en el vídeo pasado empezamos a hablar un poco acerca del análisis de la varianza y calculamos lo que a la suma total de cuadrados la suma total de cuadrados la calculamos con estos 9 datos los cuales están esparcidos en estos tres grupos sin embargo hablábamos de un caso más general donde podíamos tener n grupos y cada uno de esos m grupos con n datos en este vídeo quiero comparar la suma total de cuadrados que calculamos en el vídeo anterior con la suma total de cuadrados de cada uno de los grupos y también la quiero comparar con la suma total de cuadrados entre cada uno de los grupos pues empecemos una vez lo primero que voy a calcular es la suma de cuadrados dentro de cada uno de los grupos la suma de cuadrados dentro de cada uno de los grupos con color azul la voy a llamar la sc de d porque está dentro de cada uno de los grupos y en esta ocasión en lugar de fijarme en la gran media es decir en el promedio total voy a sacar la suma de cuadrados fijándome en el promedio de cada uno de los grupos esto también lo podríamos ver como la variación de cada uno de mis datos con a la tendencia central de su respectivo grupo es decir al promedio oa la media de su respectivo grupo entonces vamos a tratar de calcularlo lo que hay que hacer es primero hacer la diferencia entre cada uno de los datos y muy promedio de mi grupo y elevado al cuadrado y ya con esto calcular la suma de todos ellos por lo tanto voy a tener tres menos dos elevado al cuadrado más dos menos dos elevado al cuadrado más uno menos dos elevado al cuadrado estoy tomando cada uno de los datos de mi primer grupo y le estoy restando mi promedio de mi grupo y elevándolo al cuadrado muy bien a esto hay que sumarle qué va a pasar con el segundo grupo pues es 5 menos 4 al cuadrado recuerden que 4 es el promedio más 44 no esperen es 3 - cuatro más 3 - 4 elevado al cuadrado más 4 menos 4 elevado al cuadrado y ahí va a ir un paso adelante muy bien ahora vamos a ver hacerlo en propio con el tercer grupo me queda más 5 menos 6 recuerden que aquí el promedio va a ser 6 por lo tanto voy a tomarme el primer dato restándole el promedio 5 menos 6 elevado cuadrado menos 6 elevado al cuadrado más 6 menos 6 elevado al cuadrado más 7 menos 6 todo esto elevado al cuadrado y esto que va a ser igual bueno tenemos primero 3 - 2 al cuadrado que es 12 menos 2 al cuadrado que es cero y uno menos 2 al cuadrado que es 1 y uno más unos dos más y me queda 5 menos 4 al cuadrado que es 13 menos cuatro al cuadrado que es 1 y 4 menos 4 al cuadrado que es 0 y uno más uno me va a dar otra vez dos y el tercer renglón voy a tener lo mismo 10 más uno y otra vez me datos por lo tanto la suma de cuadrados dentro de cada uno de los grupos va a ser igual a 2 más 2 más 2 que es 6 muy bien ahora analicemos lo que nos está diciendo este resultado de las 30 unidades de variación que yo tendría de la suma total de cuadrados de esas 30 unidades sólo 6 vienen de la suma de cuadrados dentro de cada uno de los grupos es decir fijémonos en la variación total y tenemos 30 unidades bueno de esas 30 unidades sólo 6 bien la variación que hay dentro de cada uno de los grupos y bueno ahora la pregunta correcta sería cuántos grados de libertad tenemos en este momento cuántos grados de libertad hay cuando tenemos suma de cuadrados dentro de cada uno de los grupos bueno fijémonos en un grupo primero un grupo tiene en de datos o en este caso tenemos tres datos pero además tenemos el promedio de cada uno de los grupos por lo tanto podemos prescindir de un dato en el primer grupo si nos fijamos en el segundo grupo también tenemos la media de ese grupo por lo tanto podemos prescindir también de otro dato y en el tercer grupo también podemos prescindir de otro dato es decir si lo vemos en un caso general yo tengo en mi grupos tiene datos pero por cada grupo por cada uno de los grupos yo puedo prescindir de uno de mis datos es decir tengo n menos 1 datos y a esos nm unos datos hay que multiplicarlos por la cantidad de grupos que yo tengo es decir n menos uno por m va a ser la cantidad de grados de libertad que yo voy a tener en el -1 porque de cada uno de los grupos podemos dejar un dato afuera y m porque son m grupos por lo tanto en un caso general cuando yo tengo la suma de cuadrados dentro de cada uno de mis grupos los grados de libertad van a ser m por n menos 1 y en este caso particular que tenemos tres grupos y tres datos en cada uno de los grupos voy a tener tres que multiplica a dos es decir seis grados de libertad muy bien y ya con esto acabamos todo el análisis que puedo hacer al respecto o sobre la suma de cuadrados dentro de cada uno de los grupos ahora bien lo que quiero analizar a continuación es qué pasa con la suma de cuadrados pero esta vez me voy a aplicar entre cada uno de mis grupos es decir me voy a fijar en la variación que existe entre cada uno de mis grupos voy a comparar un grupo con otro para ver qué variación existe entre ellos y bueno como este pizarrón está muy colorido me voy a agarrar otro color para ponerlo para ponerle el nombre entonces va a ser la suma de cuadrados entre cada uno de los grupos por lo tanto lo voy a llamar s c en suma de cuadrados entre cada uno de los grupos va a ser de entre muy bien y esto que va a ser igual ahora lo que quiero hacer es el análisis de la variación que va a ver fijándonos en la media central a comparación de cada una de las medias de mis grupos por lo tanto la suma de cuadrados entre cada uno de los grupos va a tener que ser igual a fijarnos en la diferencia que se encuentra entre la media de cada uno de mis grupos y la gran media o la media de las medias es decir si nos fijamos en cualquiera de los datos del primer grupo vamos a observar que todos tienen como media a 2 es decir la media de ese grupo es 2 y si nos fijamos en la diferencia entre esta media y la gran media o la media de las medias me va a quedar la diferencia entre 2 - 4 elevada al cuadrado pero ojo dese cuenta que esos para cada uno de los datos del primer grupo porque todos todos los datos del primer grupo tienen como media 2 por lo tanto voy a obtener 2 menos 4 elevado al cuadrado más 2 menos 4 elevado al cuadrado más 2 menos 4 elevado al cuadrado es decir teníamos 3 teníamos 3 datos y cada uno de los datos sus medias 2 la media del grupo y después calculamos la diferencia con la gran media y lo elevamos al cuadrado muy bien entonces tengo 3 por 2 menos 4 al cuadrado que es lo mismo que 3 por 2 al cuadrado que es 4 y esto es igual a 12 y bueno esta es la suma de cuadrados entre los grupos del primer grupo sin embargo qué pasa si mejor hacemos todo recorrido los tres grupos para no hacerlo por separado es decir voy a juntar todo lo que teníamos el primer grupo yo no me voy a fijar en el segundo grupo y voy a calcular también la suma de cuadrados entre los grupos comparando la media del segundo grupo con respecto a la gran media y la media del segundo grupo era 4 de 5 3 y 4 su mediana 4 y si hacemos la diferencia con la gran media que es 4 voy a obtener 0 y elevado al cuadrado me va a dar 0 bueno de todas maneras le voy a poner para que se haga de una manera formal y no olvidemos de dónde sale cada cosa es 4 menos 4 elevado al cuadrado más 4 menos 4 elevado al cuadrado y si nos fijamos en el tercer dato del segundo grupo pues también tiene como media 4 y le restamos 4 que es la gran media elevado al cuadrado y bueno vamos a hacer lo propio con el tercer grupo lo primero que hay que fijarnos es en su media su media 6 menos 4 elevado al cuadrado recuerden esto es para el primer dato del tercer grupo y para el segundo dato es 6 menos 4 elevado al cuadrado y después 6 menos 4 elevado al cuadrado y muy bien si simplificamos la suma de cuadrados entre los grupos y ahora si den se cuenta que es la suma total de cuadrados entre los grupos porque ya me fijé en los tres grupos que voy a obtener pero antes de hacer esta larga operación fijémonos en los grados de libertad de este caso los grados de libertad es que tenemos una gran media que es igual a 4 y si yo tengo una gran media y además tengo una y dos medias más yo puedo prescindir de la tercera media es decir veámoslo en el caso general si yo tengo m medias y además tengo la gran media entonces puedo prescindir de una de ellas por lo tanto mis grados de libertad van a ser m 1 idem se cuenta que si yo tengo la gran media y tengo m un medias de una manera muy sencilla puedo sacar la media que me falta por lo tanto en este caso tengo m menos un grados de libertad y bueno si nos vamos al caso particular son tres grupos y tres menos uno voy a obtener dos grados de libertad en este ejercicio que estoy haciendo bueno es hora de calcular toda la suma total que hay entre los grupos y para eso hay que hacer toda esta operación larga que tenemos acá arriba entonces que voy a obtener 2 menos 4 es menos 2 elevado al cuadrado me da 4 positivo pero son 3 veces lo mismo entonces es 3 por 4 ahora en el segundo renglón tengo 4 menos 4 que es 0 elevado al cuadrado que es 0 y 3 veces lo mismo 3 x 0 en el tercer renglón tengo 6 menos 4 que es 2 elevado al cuadrado que es 4 y 3 veces lo mismo es 3 por 4 muy bien y tres por cuatro es 12 3 por 0 0 y 3 por 4 12 entonces 12 + 0 + 12 es 24 entonces ya tengo la suma total de cuadrados que hay entre los grupos o dicho de otra manera la variación que hay entre los grupos fijándonos en la media de cada uno de los grupos y la media total es 24 bueno ahora vamos a unir todo lo que tenemos si nosotros calculamos la suma total de cuadrados es decir la variación total entre estos 9 datos que obtendría 30 vamos a apuntar lo la suma total de cuadrados era igual a 30 muy bien y después calculamos la variación que había entre cada uno de los datos según el grupo y la media del grupo ya eso le llamamos la suma de cuadrados dentro de cada uno de los grupos y obtendríamos 6 por lo tanto la suma de cuadrados dentro de los grupos era igual a 6 que por cierto en este caso teníamos 6 grados de libertad en el caso particular y si lo veíamos en un caso más general tendríamos m que multiplicaba a n 1 y bueno en la suma total de cuadrados tendríamos m n -1 grados de libertad en el caso general y bueno en nuestro caso particular teníamos 8 grados de libertad entonces en el caso particular en este ejercicio que estamos haciendo teníamos 8 y bueno para finalizar nos fijamos en la suma de cuadrados entre cada uno de los grupos fijándonos en la media del grupo y fijándonos también en la gran media y obtendríamos 24 y también teníamos m menos 1 en el caso general de grados de libertad y 2 en el caso particular o en este ejercicio de grados de libertad que quiere decir todo esto bueno lo que quería que vieran de este vídeo es que si nosotros tenemos la suma de cuadrados dentro de cada uno de los grupos y a esto le sumamos la suma de cuadrados total entre los grupos obtengo la suma de cuadrados total es decir si yo me fijo en la variación que hay entre todos los datos con la gran media y después me fijo en la variación que hay entre los datos con cada una de sus respectivas medias según el grupo y después me fijo en la variación que hay entre las medias de cada uno de los grupos con la media total obtengo lo mismo y más aún no solamente en cantidad sino también en los grados de libertad yo tenía al principio 8 grados de libertad y después se dividió en 6 grados de libertad en la suma de cuadrados dentro de cada uno de los grupos y en dos grados de libertad en la suma de cuadrados entre cada uno de los grupos y bueno visto de una manera general yo tengo mm21 de la sc más m por n uno de la scd y esto que es igual pues ese menos uno voy a distribuir la m m - m y esta m y esta m se van y me queda m por n menos uno que son los grados de libertad que yo tenía en la suma total de cuadrados cuando yo lo veía de forma general es decir coinciden tanto en cantidad como en grados de libertad de hecho estos dos vídeos y todas las puertas que hemos hecho en el vídeo pasado y en este vídeo fue para que yo les enseñara que la suma total de cuadrados se puede descomponer en la suma de cuadrados que hay dentro de cada uno de los grupos en la scd y además en la suma de cuadrados que hay entre cada uno de los grupos en la sc afortunadamente parece ser que no es tan confuso todo esto