Introducción a los componentes de los vectores

En otros videos hemos visto que es posible  definir completamente un vector si tenemos   una magnitud y una dirección, y… ¡ojo!,  para definirlo se necesitan ambas. Por aquí tenemos un vector definido justo  así. La magnitud de este vector A es igual   a tres unidades, y se denotan con estas  líneas paralelas de aquí en ambos lados,   que parece como un valor absoluto doble. De esta  forma se representa la magnitud del vector A. Y también podemos especificar la magnitud de forma   visual asegurándonos que la longitud de esta  flecha vector sea de tres unidades de largo. También tenemos su dirección: podemos  ver que la dirección del vector A es   de 30 grados en sentido contrario a  las agujas del reloj respecto al este. Ahora en este video, vamos a hablar de otra manera   de especificar o definir un vector. Y lo  haremos mediante el uso de componentes. Lo primero que vamos a hacer es  pensar en la cola y en la cabeza   de este vector. ¿Cuál es el cambio en  x cuando vamos de la cola a la cabeza? Podemos ver que el cambio en x será ese de aquí.  Vamos a ir de este valor de x a este valor de x. Y luego pensemos en el cambio en y. Si  vamos desde aquí abajo hasta acá arriba,   entonces podemos especificar  el cambio en y de esta forma. Así que permíteme rotularlos. Este es el  cambio en x, y este es el cambio en y. Pensémoslo de esta forma, si alguien nos  dice el cambio en x y el cambio en y,   podríamos reconstruir el vector si empezamos en  este punto, y tomamos en cuenta este cambio en x,   y a continuación, tomamos  en cuenta este cambio en y  y, así, definimos la punta del  vector en relación con la cola. La notación para esto es la siguiente:  decimos que el vector A es igual a,   abrimos paréntesis, y tendremos el  cambio en x coma, el cambio en y. Y así, si quisiéramos obtener las coordenadas  concretas de este vector en particular,   sabemos que su longitud es  tres. Su magnitud es tres. Y además sabemos que nos movemos primero de forma  horizontal y luego hacia arriba y hacia abajo.   Por lo tanto, este es un triángulo rectángulo. Y  así podemos usar lo que ya sabemos de geometría. No te preocupes si necesitas un repaso  de estos temas, solo vamos a usar un poco   de geometría o de trigonometría para  decir que, si conocemos este ángulo,   y sabemos la longitud de esta hipotenusa,  entonces este lado que es opuesto al ángulo   de 30 grados va a ser la mitad de la  hipotenusa, por lo que va a ser 3/2. Y que el cambio en x va a ser la raíz  cuadrada de tres por 3/2. Así que va   a ser tres por la raíz cuadrada de tres sobre dos. Así que aquí arriba, podemos escribir  que nuestra componente x es tres   por la raíz cuadrada de tres sobre  dos. Y que la componente y es 3/2. Ahora bien, sé que muchos de ustedes podrían  estar pensando que esto se parece mucho a las   coordenadas del plano cartesiano, donde esta sería  la coordenada x y esta sería la coordenada y. Pero cuando se trata de vectores, esa  no es exactamente la interpretación.   Si la cola del vector estuviera  en el origen justo aquí,   entonces su cabeza estaría en estas  coordenadas en el plano cartesiano. Pero sabemos que un vector no se define por su  posición, es decir, por la posición de la cola.   Podríamos desplazar este vector a cualquier  lugar y seguiría siendo el mismo vector. Puede empezar donde sea. Así que cuando  usas esta notación en un contexto vectorial,   estas no son coordenadas x y coordenadas y.  Sino que es nuestro cambio  en x, y nuestro cambio en y. Hagamos un ejemplo más para mostrar que en  realidad podemos hacer el proceso inverso. Imagina que definimos un vector b,   y que su componente x es raíz cuadrada de dos.  Y que su componente y es raíz cuadrada de dos. Así que pensemos en cómo se vería  ese vector. Si esta es su cola,   y su componente x que es su cambio en  x es raíz cuadrada de dos, entonces   puede ser algo como esto. Así que tenemos el  cambio en x igual a la raíz cuadrada de dos. Y luego su componente y también sería  la raíz cuadrada de dos. Así que podemos   escribir que nuestro cambio en y,  por aquí, es raíz cuadrada de dos. Y por lo tanto, el vector se verá así.  Empieza por aquí y luego va hasta acá,   y podemos usar un poco de geometría para calcular  la magnitud y la dirección de este vector. Puedes usar el teorema de Pitágoras para saber que   esto al cuadrado más esto al cuadrado  va a ser igual a esto al cuadrado. Y si hacemos los cálculos, obtendríamos  que esto tiene una longitud de dos,   lo que significa que la magnitud  del vector b es igual a dos. Y si quisieras calcular este ángulo justo aquí,   podrías hacer un poco de trigonometría o  incluso un poco de geometría y sabemos que   este ángulo de aquí es un ángulo recto, y  que este lado y ese lado tienen la misma   longitud. Así que estos ángulos van a tener  también la misma medida igual a 45 grados. De esta forma, también podemos  especificar la dirección,   45 grados en sentido contrario a las  agujas del reloj respecto al Este. Como habrás notado, estas son dos maneras  equivalentes de representar un vector.