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Curso: Precálculo > Unidad 7
Lección 9: Transformación de vectores 3D y 4D con matricesUsar matrices para transformar un vector 4D
Las matrices de 4X4 pueden definir transformaciones del espacio 4D. En este ejemplo trabajado, vemos cómo encontrar la imagen de un vector 4D dado bajo la transformación definida por una matriz dada. Creado por Sal Khan.
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Transcripción del video
Ya hemos estudiado bastante cómo una matriz de
transformación de 2 x 2 puede mapear cualquier punto en el plano coordenado en cualquier otro
punto, o cualquier vector bidimensional en cualquier otro vector bidimensional. Y lo que
vamos a hacer en este video es generalizar un poco y darnos cuenta de que los mismos principios
se pueden utilizar para espacios de dimensión n. Ahora, sé que esto suena un poco sofisticado, y
en cierta forma lo es, aunque realmente son las mismas ideas. Así que, por ejemplo, extendamos
lo que conocemos sobre dos dimensiones a cuatro dimensiones, entonces vamos a escribir un vector
de cuatro dimensiones por aquí. Y, bueno, sé que es difícil visualizar cuatro dimensiones, así que
no seas duro contigo si tienes problemas con ello. Visualizar dos dimensiones no es tan difícil, tres
dimensiones tampoco, pero cuatro dimensiones es mucho más difícil de visualizar, tal vez tengamos
que pensar en el tiempo como la cuarta dimensión; pero en el mundo de las matrices, o en el mundo
de los vectores, es bastante fácil representarlos aún cuando es difícil visualizarlos. Entonces,
en un vector de cuatro dimensiones simplemente tendremos cuatro números, veamos: -1, -3, sólo
estoy poniendo números al azar, -5 y 1. Éste es un vector de cuatro dimensiones, y podemos verlo como
la suma ponderada de los vectores unitarios en las diferentes dimensiones de un espacio de cuatro
dimensiones. Supongo que podemos decirlo de esta forma, jajaja. Es decir, esto es lo mismo que, de hecho,
hacemos un código de color, esto es lo mismo que: -1 por el vector [1, 0, 0, 0] + -3 por el vector
[0, 1, 0, 0] + -5 por el vector [0, 0, 1, 0] -y creo que ahora puedes ver el patrón-. Por último,
pero no por eso menos importante, tenemos +1 por el vector [0, 0, 0, 1]. Ahora, al escribirlo
de esta forma, es posible que empieces a darte cuenta de inmediato y digas "Oh, creo que sé cómo
hacer transformaciones por aquí". Por ejemplo, si te diera la siguiente matriz de transformación,
y esta será una matriz de transformación en cuatro dimensiones, por lo tanto, será una matriz de 4 x
4, y anotaré algunos números al azar por aquí: 1, 0, -3, -1, 2, 0, -3, 1, 3, 2, 0, 2, 3, -1, 0 y 3.
Entonces, mi pregunta para ti es: ¿cuál será el mapeo de este vector de cuatro dimensiones cuando
le apliquemos esta transformación al espacio de cuatro dimensiones?, ¿cuál será el resultado?
Pausa el video y piénsalo. Bueno, es completamente análogo a lo que hemos realizado en el mundo de 2
x 2, en un espacio bidimensional. Hemos dicho que en lugar del vector unitario [1, 0, 0, 0] usaremos
este vector; en lugar del vector unitario [0, 1, 0, 0] usaremos este otro vector; en lugar del
vector unitario de color verde azul [0, 0, 1, 0] usaremos este otro vector, y por último, pero
no por eso menos importante, en lugar del vector unitario [0, 0, 0, 1] usaremos este otro vector.
Ahora bien, otra forma de pensar en esto es que el mapeo de nuestro vector original [-1, -3, -5,
1] será este vector prima, y ¿en qué se mapea después de aplicar la transformación? Bueno, será
-1, y en lugar de escribir este vector unitario, lo multiplicaremos por la primera columna de la
matriz de transformación, así que será: -1 [1, 2, 3, 3], y después, en lugar de más -3, escribiremos
sólo -3 por la segunda columna: [0, 0, 2, -1]; después tenemos -5 [-3, -3, 0, 0] (puedes observar
que más dimensiones implican un poco más de trabajo que hacer); más 1 por esta cuarta columna:
[-1, 1, 2, 3]. Entonces ¿a qué será igual esto? De hecho, creo que es buen momento para que de nuevo
pauses este video y lo intentes por tu cuenta. Bueno, esto será igual a, y en esta primera
parte sólo tenemos que hacer negativas todas estas entradas: [-1, -2, -3, -3], y a eso le
sumaremos... Y veamos, si multiplicamos cada entrada por -3 obtendremos: [0, 0, -6 y 3];
y si después multiplicamos todo esto por -5 obtendremos: [15, 15, 0, 0]; y por último si
multiplico todo esto por 1, bueno, simplemente obtendremos todo esto sin cambio alguno: [-1, 1,
2, 3], y llegamos a la recta final. Ahora podemos sumar todos los términos correspondientes,
eso será igual a: -1 + 0 + 15 - 1, que es lo mismo que 15 - 2 que es igual a 13;
después tenemos -2 + 0 + 15 + 1 esto es 16 - 2, lo cual es 14; después tenemos -3 - 6, que es
-9 + 0 + 2, es decir, -9 + 2 lo que nos da -7; y por último tenemos -3 + 3, eso es 0 + 0 es 0
+ 3 es 3. Y lo logramos, encontramos el mapeo de este vector de cuatro dimensiones basado en esta
matriz de transformación de 4 x 4. Es genial.