Integral de superficie. Ejemplo 3 (parte 4)

así que terminamos muy repentinamente el último vídeo porque ya llevábamos mucho tiempo y era justo dar una pausa pero en donde nos quedamos fue simplemente en calcular esta tercera integral de superficie y quedó como una integral doble respecto a los parámetros r y theta de hecho los valores sobre los que estamos integrando son de 0 a 1 para er y de 0 a 2 pi para theta porque así estamos completando todo este círculo unitario rellenito está está completito todos los puntos que están dentro de esta circunferencia entonces pues vamos a seguir vamos a seguir ya que estamos en en la recta final entonces esto va a ser igual a la raíz de 2 por la integral de 0 a 2 pi y ahora vamos a calcular una anti derivada de esto y esto es muy sencillo porque si distribuye si distribuimos este producto nos queda r - r cuadrada coseno de teta y entonces sólo hay que encontrar una anti derivada de esta expresión entonces si lo hacemos con el mismo color rosa una anti derivada de r pues será re cuadrada sobre 2 menos una anti derivada de r cuadrada porque el coste no es una constante para fines de integrar respecto de r entonces una anti derivada de r cuadrada es r al cubo sobre 3 y ahora hay que multiplicar el poli coseno de teta y todo esto hay que evaluarlo de 0 a 1 y luego integrar integramos respecto de teta y vamos a vamos a hacer esa vamos a evaluarlo en 1 y en 0 entonces esto va a ser igual va a ser igual a la raíz de 2 por la integral de 0 a 2 pi y cuando evaluamos ere cuadrada entre 2 en 1 simplemente nos da un medio menos esto evaluado en 1 cuando eres igual a 1 simplemente es un tercio un tercio del coseno de teta y luego habría que restar evaluando en cero pero esto evaluando en cero y esto también entonces ya no hay nada más que hacer simplemente ahora a esto que nos quedó hay que integrarlo respecto de teta sobre el intervalo 0 2 pi y esto va a ser igual a la raíz de 2 que multiplica vamos a encontrar una primitiva de esto una primitiva de un medio o una anti derivada es un medio de teta menos la una una anti derivada de coche 93 seno de teta entonces nos queda un tercio seno de teta seno de teta entre cero y dos pi entre cero y dos y por lo tanto vamos a ver qué pasa cuando evaluamos en dos pi esto simplemente será la raíz de 2 que multiplica cuando evaluamos en 2 pi en vez de theta ponemos 2 pi y dividimos entre 2 nos queda pi y ahora cuando evaluamos seno de 2 pi es cero si evaluamos ahora en cero esto nos da cero y seno de cero también es cero entonces ya aquí tenemos un redoble final porque la tercera integral simplemente nos quedó como la raíz de dos por pi entonces si regresamos a lo que empezamos hace muchísimo tiempo esta última parte esta última de aquí es no es otra cosa más que la raíz de dos por ti así que toda esta integral de superficies que empezamos a ver hace como mil videos es igual a la parte roja que es 0 la parte azul que es tres y medio y luego la parte morada que es raíz de dos por pi así que 3 pie entre 2 + raíz de 2 por pi es el valor final nuestra integral de superficie