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Curso: Cálculo multivariable > Unidad 4

Lección 6: Integrales dobles (artículos)

Integrales dobles

Las integrales dobles son una manera de integrar sobre una región bidimensional. Entre otras cosas, nos permiten calcular el volumen bajo una superficie.

Antecedentes

Qué vamos a construir

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Dada una función de dos variables, $f (x, y)$ ‍, puedes encontrar el volumen entre la gráfica y una región rectangular del plano $x y$ ‍ al tomar la integral de una integral,
$\begin{array}{r} \int_{y_{1}}^{y_{2}} \overset{Esta es una función de y .}{\overset{⏞}{(\int_{x_{1}}^{x_{2}} f (x, y) d x)}} d y \end{array}$ ‍
Llamamos a esta integral "integral doble".
Puedes calcular este mismo volumen cambiando el orden de integración:
$\begin{array}{r} \int_{x_{1}}^{x_{2}} \overset{Esta es una función de x .}{\overset{⏞}{(\int_{y_{1}}^{y_{2}} f (x, y) d y)}} d x \end{array}$ ‍
Las cuentas se verán y serán muy diferentes, pero el resultado es el mismo.

Volumen bajo una superficie

Considera la función

$f (x, y) = x + \sin (y) + 1$ ‍

Su gráfica se ve así:

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Ahora considera el rectángulo en el plano

x y

definido por

$0 < x < 2$ ‍

$- π < y < π$ ‍

¿Cuál es el volumen encerrado entre este rectángulo y la gráfica de

f (x, y)

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Repaso rápido del área bajo una curva

Del cálculo en una sola variable, sabemos que las integrales nos permiten calcular el área bajo una curva. Por ejemplo, el área bajo la gráfica de

y = \frac{1}{4} x^{2} + 1

entre

x = - 3

x = 3

$\begin{array}{r} \int_{- 3}^{3} (\frac{1}{4} x^{2} + 1) d x \end{array}$ ‍

Una buena manera de pensarlo es imaginar que sumamos las áreas de un número infinito de rectángulos infinitesimalmente delgados que hacen un barrido bajo la curva en la región específica:

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Puedes pensar el valor de la función

g (x) = \frac{1}{4} x^{2} + 1

como la altura de cada rectángulo, el término

d x

como la longitud infinitesimal de la base y el símbolo

\int

como una supermáquina de sumas capaz de manejar la idea de un número infinito de cosas infinitesimalmente pequeñas. Escrita de forma más abstracta, la operación es

$\begin{array}{r} \int_{x_{1}}^{x_{2}} g (x) d x \end{array}$ ‍

Barrer el área bajo un volumen

Para nuestro problema del volumen, podemos hacer algo similar. Nuestra estrategia será

Subdividir el volumen en rebanadas con áreas bidimensionales.
Calcular las áreas de estas rebanadas.
Combinarlas todas para obtener el volumen completo.

Piensa en rebanadas bidimensionales del volumen bajo la gráfica de

f (x, y)

. Específicamente, considera todas las rebanadas dadas por un valor constante de

y

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Piensa en solo una de esas rebanadas, tal como la que está dada por

y = \frac{π}{2}

. El área de esa rebanada está dada por la integral

$\begin{aligned} \int_{0}^{2} f (x, \frac{π}{2}) d x & = \int_{0}^{2} (x + \sin (\frac{π}{2}) + 1) d x \end{aligned}$ ‍

Escrita de forma más abstracta, para un valor dado de

y

, el área de esa rebanada es

$\begin{array}{r} \int_{0}^{2} f (x, y) d x \end{array}$ ‍

Observa que esta es una integral con respecto a

x

, como indica el término

d x

, por lo que, en lo que a la integral respecta, el símbolo

y

representa una constante.

Cuando resuelves esta integral, obtienes una expresión de

y

Inténtalo tú mismo: resuelve la integral para calcular las áreas de estas rebanadas de valor $y$ ‍ constante:

$\begin{array}{r} \int_{0}^{2} (x + \sin (y) + 1) d x = \end{array}$ ‍

Cuando sustituyes algún valor de

y

en esta expresión, por ejemplo,

y = \frac{π}{2}

, obtienes el área de la rebanada de nuestro volumen dada por ese valor de

y

Ahora, si multiplicamos el valor de cada una de estas rebanadas por

d y

, un pequeño cambio en la dirección

y

, obtendremos una pequeña rebanada de volumen. Por ejemplo,

4 + 2 \sin (y)

podría representar el área de una rebanada, pero

(4 + 2 \sin (y)) d y

representa su volumen infinitesimal.

Si usamos una integral más, esta vez con respecto a

y

, podemos efectivamente sumar todos los volúmenes de esas pequeñas rebanadas para obtener el volumen total bajo la superficie:

\begin{array}{r} \overset{Volumen bajo f (x, y) .}{\overset{⏞}{\int_{- π}^{π} (\underset{Área de una rebanada.}{\underset{⏟}{\int_{0}^{2} f (x, y) d x}}) d y}} \end{array}

¡Inténtalo tú mismo! ¿Qué obtienes cuando sustituyes la solución que encontraste de $\int_{0}^{2} f (x, y) d x$ ‍ y resuelves la segunda integral?

$\begin{array}{r} \int_{- π}^{π} (\int_{0}^{2} (x + \sin (y) + 1) d x) d y = \end{array}$ ‍

Comienza por sustituir el valor para la integral interior que encontraste arriba,
$\begin{aligned} \int_{- π}^{π} (\int_{0}^{2} (x + \sin (y) + 1) d x) d y & = \int_{- π}^{π} (4 + 2 \sin (y)) d y \end{aligned}$ ‍
Luego calcula la integral con respecto a $y$ ‍
$\begin{aligned} \int_{- π}^{π} (4 + 2 \sin (y)) d y \\ = [4 y + 2 (- \cos (y))]_{- π}^{π} \\ = (4 π - 2 \cos (π)) - (4 (- π) - 2 \cos (- π)) \\ = (4 π - 2 (- 1)) - (- 4 π - 2 (- 1)) \\ = 8 π \end{aligned}$ ‍
Así, evidentemente el volumen que estamos buscando es $8 π$ ‍.

Dos opciones en la dirección

También puedes seccionar el volumen que estamos tratando de calcular de manera diferente. Toma rebanadas dadas por valores constantes de

x

, en vez de valores constantes de

y

, y suma los volúmenes de estas.

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Verificación de conceptos: ¿cuál de las siguientes integrales representa el área de una rebanada con valor

x

constante?

Ahora imagina multiplicar cada una de estas áreas por

d x

, un pequeño paso en la dirección

x

, perpendicular a la rebanada. Esta operación resultará en un volumen infinitesimal. Al sumar todos estos volúmenes infinitesimales conforme

x

va de

0

2

, obtendremos el volumen bajo la superficie.

Verificación de conceptos: ¿cuál de las siguientes integrales dobles representa el volumen bajo la gráfica de la función

$f (x, y) = x + \sin (y) + 1$ ‍

en la región donde

$0 \leq x \leq 2$ ‍ y $- π \leq y \leq π$ ‍?

¡Inténtalo!: resuelve la doble integral para calcular el volumen bajo la superficie (por supuesto, encontraste el volumen en la sección anterior, pero es edificante ver cómo podemos calcularlo de otra manera).

$\begin{array}{r} \int_{0}^{2} (\int_{- π}^{π} (x + \sin (y) + 1) d y) d x = \end{array}$ ‍

Afortunadamente, este cálculo resulta en el mismo volumen que el que encontramos en la sección anterior. Algo tendría que estar mal en nuestro razonamiento si no lo fuera.

En resumen, el orden de integración no importa. Esto puede parecer obvio, pues de cualquier modo estás calculando el mismo volumen. Sin embargo, estos son dos cálculos genuinamente distintos, por lo que el hecho de que sean igual el uno al otro resulta ser una muy útil propiedad matemática.

Por ejemplo, muchas pruebas en la teoría de probabilidad involucran mostrar que dos cantidades son iguales al probar que ambas resultan de la misma integral doble, solo que calculadas en orden distinto.

Técnicamente, debo mencionar que existen algunas integrales dobles exóticas donde intercambiar el orden de integración resulta en un valor diferente. La pieza relevante de las matemáticas que describe cuando puedes o no intercambiar el orden de integración es el "teorema de Fubini".

Podrás aprender todos los detalles del teorema de Fubini en un curso de análisis, pero como introducción a las integrales dobles, no necesitas preocuparte por él. Para la mayoría de, si no todas, las integrales con las que debes lidiar en la práctica, ¡puedes intercambiar las integrales al gusto de tu corazón!

Otro ejemplo

Considera la función

$f (x, y) = \cos (y) x^{2} + 1$ ‍

¿Cuál es el volumen bajo la gráfica de esta función en la región donde

$- 1 \leq x \leq 1$ ‍

$- π \leq y \leq π$ ‍?

Así se ve este volumen:

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Verificación de conceptos: imagina rebanar el volumen bajo

f (x, y) = \cos (y) x^{2} + 1

en el plano dado por

y = 1

. ¿Cuál de las siguientes integrales representa el área de la rebanada?

Práctica: ¿qué obtienes cuando calculas esta integral para un valor general de

y

, no solo para

y = 1

$\begin{array}{r} \int_{- 1}^{1} (\cos (y) x^{2} + 1) d x = \end{array}$ ‍

Más práctica: la expresión que acabas de encontrar representa el área de las rebanadas de nuestro volumen para valores constantes de

y

. Por medio de esta expresión, construye una integral para encontrar el volumen bajo la superficie y resuélvela.

Volumen final:

Acabamos de encontrar que el área de una rebanada con valor constante

y

de nuestro volumen entre

x = - 1

x = 1

$\frac{2}{3} \cos (y) + 2$ ‍

Puedes imaginar que añades un poco de profundidad a esta área al multiplicarla por

d y

, un pequeño paso en la dirección

y

$(\frac{2}{3} \cos (y) + 2) d y$ ‍

Puedes pensar esta expresión como un volumen infinitesimal.

Ya que nuestro volumen está definido en la región donde

- π \leq y \leq π

, sumamos estos volúmenes infinitesimales dentro de ese rango:

$\begin{aligned} \int_{- π}^{π} (\frac{2}{3} \cos (y) + 2) d y & = {(\frac{2}{3} \sin (y) + 2 y)}_{- π}^{π} \\ = (\frac{2}{3} \sin (π) + 2 π) - (\frac{2}{3} \sin (- π) + 2 (- π)) \\ = (0 + 2 π) - (0 - 2 π) \\ = 4 π \end{aligned}$ ‍

Resumen

Dada una función de dos variables, $f (x, y)$ ‍, puedes encontrar el volumen entre su gráfica y una región rectangular del plano $x y$ ‍ al calcular la integral de una integral,
$\begin{array}{r} \int_{y_{1}}^{y_{2}} \overset{Esta es una función de y .}{\overset{⏞}{(\int_{x_{1}}^{x_{2}} f (x, y) d x)}} d y \end{array}$ ‍
Llamamos a esta integral "integral doble".
Puedes calcular este mismo volumen cambiando el orden de integración:
$\begin{array}{r} \int_{x_{1}}^{x_{2}} \overset{Esta es una función de x .}{\overset{⏞}{(\int_{y_{1}}^{y_{2}} f (x, y) d y)}} d x \end{array}$ ‍
Las cuentas se verán y serán muy diferentes, pero el resultado es el mismo.

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Felipe Barriga
Publicado hace hace 5 años. Enlace directo a la publicación “Pueden publicar la soluci...” de Felipe Barriga
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