AIME II del 2003. Problema 15 (parte 1)

antes de empezar a resolver este problema quiero comentarte que en realidad de este problema no es un chiste es bastante complicado pero pero si lo hacemos paso a paso no es tan malo definitivamente no es un problema fácil pero pero no hay que ponerse tristes ni desalentar sea la primera sino sabes por dónde empezar así que vamos a resolverlo dice sea p de x igual a 24 x a la 24 más la suma desde jota igual a 1 hasta 23 de 24 - jota por equis a la 24 - j más x a la 24 más j luego sean z1 sentados hasta zr los distintos ceros de p de x es decir aquellos números en donde el polinomio sea nula y sea se está acá al cuadrado igual a acá más beca y para cada igual a uno hasta r es decir es el cuadrado de los ceros verdad donde i es la raíz imaginaria y es igual a la raíz de menos uno y acá y de acá son números reales entonces acá es la parte real de este número y bk en su parte imaginaria dice sea la suma desde acá igual a 1 hasta r del valor absoluto debe acá igual a m más n por la raíz de pe donde m ene ips son enteros y p no es divisible entre el cuadrado de ningún primo calcula m más n más p y por supuesto aquí nos dicen que pe no es divisible entre el cuadrado de ningún primo simplemente para decir que esta raíz ya está completamente simplificada muy bien ya ya no le podemos sacar un factor extra que se enteró entonces aquí está suma esta suma de los becas la suma de los becas estos veces becas es la parte imaginaria de los ceros al cuadrado este de aquí es el de la parte imaginaria de los ceros al cuadrado ok entonces para poder ir resolviendo esto vamos a necesitar o al menos para mí mejor y viendo quién quién es este polinomio ok entonces nuestro polinomio de x es igual a 24 x a la 24 este lo voy a poner en otro color 24 x a la 24 más qué pasa cuando jota es igual a 1 entonces tendremos 23 que multiplica x a la 24 menos uno que es 23 más x a la 24 más uno que es 25 muy bien ahora qué pasaría si jota es 2 y j es 2 tendremos 24 menos dos que son 22 que multiplica a x a la 24 menos 2 que es 22 más x a la 24 más dos que son 26 entonces yo creo que aquí ya se puede ver bien el patrón de qué es lo que va a pasar aquí vamos a sumar todos estos términos y así sucesivamente hasta que lleguemos por ejemplo a 2 x x el exponente coincide con el coeficiente entonces aquí es x a la dos más x elevado al que corresponde a 2 sería 22 22 entonces tendremos 24 22 son 46 46 uno que multiplica a x a la 1 que simplemente es x + x a la 47 muy bien entonces tu disculpar as que que los haya puesto de esta forma pero bueno es para para realmente fijarnos en cómo está realmente pensado este polinomio ok entonces los coeficientes van bajando desde el 24 hasta el 1 el primer exponente coincide con el coeficiente verdad va coincidiendo y también va bajando sin embargo el segundo exponente empieza en 25 y empieza a subir hasta 47 ok entonces cómo podemos reescribir p podemos reescribirlo al menos a mí me funciona escribirlo digamos en el orden descendiente de los exponentes es decir vamos a empezar poniendo en la equis que tiene el exponente más grande y ese es x a la 27 x a la 27 y tiene este coeficiente luego x a la 26 pero quién es el coeficiente es 2 verdad si hacemos la distribución de este producto y así vamos sumando verdad hasta llegar a 22 x x a la 20 la haya quiera aquí me equivoqué verdad es 47 47 y 46 y vamos llegando a x a la 26 23 x a la 25 muy bien entonces ahora sigue el que tiene x a la 24 pero x a la 24 es este magenta este este color azul morado es más 24 x a la 24 y luego sumamos luego sumamos x a la 23 que tiene aquí un 23 23 x a la 23 más 22 x a las 22 y así seguimos sumando hasta 2 x cuadrada más x muy bien entonces esto esto ya es mucho más fácil de ir visualizando y realmente aquí te voy a dar un truco te voy a dar un truco que bueno después de haber haberlo estudiado uno puede fácilmente reconocer este problema primero antes que nada antes que nada vamos a factorizar una equis si te das cuenta todos los términos tienen al menos un factor x entonces este polinomio se puede ver como x que multiplica a aquí sería x a la 46 más x al a perón 2 x a la 45 más seguimos sumando 22 x a la 25 más 23 x a la 24 y luego sumamos el término morado que es 24 x al ala 23 entonces te recojo que aquí ya estamos factor izando una equis falta factorizar las de abajo y son 23 x a la 22 + 22 x a la 21 más seguimos sumando 2x + 1 muy bien entonces x multiplica a este polinomio y aquí claramente x igual a 0 es una raíz de este polinomio verdad porque justo pudimos factorizar esta equis pero en realidad no tiene mucho sentido considerar esta raíz porque porque queremos o bueno al menos al menos para los fines de este problema queremos sumarlas las partes imaginarias de las raíces y la parte imaginaria de cero pues es cero entonces bueno solo fue algo bonito de observar así que vamos a pensar a partir de este momento en todas las raíces que sean distintas de cero es decir las raíces de este polinomio de la derecha por el cual está multiplicando x verdad y para poder analizar esto quiero que vean este truco que a mí me parece fantástico vamos vamos a ver si recuerdan cómo elevar polinomios al cuadrado piensen por ejemplo en x 1 x 1 al cuadrado bueno ya lo hemos visto hasta el cansancio en otros vídeos esto será x cuadrada más 2 x más 1 muy bien entonces ahora qué pasa si tenemos x cuadrada más x más 1 y esto lo elevamos al cuadrado entonces bueno pensemos vamos a tener que multiplicar este polinomio por sí mismo si no si no recuerdas cómo te recomiendo que cheques los vídeos de multiplicación de polinomios entonces sería x cuadrada que multiplica todo esto sería x cuadrada por x cuadrada es x a la cuarta es x a la cuarta perdón x cuadrada por x son x al cubo x cuadrada x 1 es x cuadrada muy bien ahora vamos a multiplicar x por todo este polinomio y es x x x cuadrada es x al cubo x x x es es cuadrada y x por 1 es x finalmente si multiplicamos a 1 por este mismo polinomio tendremos x cuadrada + x + 1 ahora si lo sumamos obtenemos este resultado verdad el resultado de elevar al cuadrado x cuadrada + x + 1 y nos queda x a la cuarta más 2 x al cubo más 3 x cuadrada y creo que ya estás viendo el patrón esto es 12 x + 1 si te das cuenta se parece muchísimo a la idea que tenemos en este porque aquí también va aumentando el coeficiente llega a su máximo y después llega a su máximo y después empieza a decrecer es más aquí hasta parece que esté 24 x a la 23 que correspondía a este primer sumando hasta parece que lo pusieron a propósito verdad quizás lo hice aún a propósito entonces con esto observado ya puedes darte cuenta de a dónde vamos a llegar con esto de hecho tú podrías hacer fácilmente lo siguiente x al cubo más x cuadrada me faltó ahí ahí esta x cuadrada más x más 1 si lo elevamos al cuadrado bueno tú puedes hacerlo a pie digamos puedes hacer las cuentas pero si seguimos este patrón y que de hecho si es cierto lo puedes demostrar fácilmente esto sería x sería el x al cubo al cuadrado sería x a la 6 luego más 2 x a las 5 más x a la 4 verdad más o que iba a ir algo x al cubo más algo x al cuadrado más algo por x más 1 verdad entonces que iba 12 aquí va 3 y aquí va 4 entonces si se quedó bastante bien y si te das cuenta cuál es el término con el coeficiente más grande el término con el coeficiente más grande es el que es justo el que queda a la mitad verdad aquí hay 3 acá de este lado hay 3 y justo el que quedó a la mitad es el que tiene el coeficiente más grande todavía más si si nosotros queremos saber cuál fue el polinomio que elevamos al cuadrado pues simplemente nos fijamos en este exponente verdad entonces el polinomio habrá sido el x al cubo más x cuadrada más x más 1 por ejemplo aquí está este término de enmedio y el polinomio que fue elevado fue x al cuadrado más x más 1 verdad éste nos da el primer término del polinomio que estamos elevando al cuadrado así que con él uno podría ver fácilmente de aquí que el término que tiene el coeficiente más grande es justamente este que es un 24 y por lo tanto el polinomio que elevamos es el que empieza con x a la 23 entonces pd x simplemente lo escribimos como x que multiplica a x a la 23 más x a la 22 más x a la 21 y así seguimos sumando hasta x al cubo más x cuadrada más + x + x1 muy bien entonces qué es lo que tenemos aquí esto teníamos que elevarlo al cuadrado muy bien lo elevamos al cuadrado y aquí tenemos ya la expresión distinta o al menos un poco simplificada de quién es nuestro polinomio voy a dejar a este vídeo aquí pero vamos a necesitar otro par de vídeos que incluirán este tipo de ideas geniales nos vemos en el siguiente vídeo