Ejemplos de vectores

en el último vídeo estuvimos platicando acerca de los vectores sin embargo lo vimos una forma un poco abstracta y formal matemática en la cual no vimos muchos ejemplos en esta ocasión quiero ver bastantes ejemplos de vectores y sin embargo todos estos vectores van a estar en r2 también trabajamos lo que era las sumas la multiplicación por escalar y además definimos quién era el vector sep y bueno la razón de por qué voy a trabajar en esta ocasión en r2 es porque r2 se puede representar con un plano y un plano es bastante visible y podemos trabajar bastante bien con él pero bueno la vez pasada vimos una definición de r2 recuerdan r2 era el conjunto de duplas que además cumplían que era un conjunto ordenado de duplas x 1 x 2 m poniendo aquí y ponerlo bien porque está con más se parecía el 1 y entonces eran parejas de números tales que cada uno de estos números existía en los números reales tanto x1 es un número real como x2 es un número real y bueno es por eso que entonces podemos ver que r2 es decir éste lo podemos visualizar como el plano cartesiano en el cual tenemos un eje de las abscisas y una eje de las ordenadas entonces ya está tenemos aquí el plano cartesiano y si te das cuenta cualquier punto de este plano cartesiano si hacemos este plano cartesiano infinito y lo hacemos muy pero muy grande este plano cartesiano va a representar a todos los puntos de r2 oa todos los posibles valores que puede tomar cualquier pareja de números en r2 es por eso que erre 2 lo podemos representar con el plano cartesiano pero bueno la idea de este vídeo no es hablar de r2 realmente yo lo que quiero hablar es de los vectores y visualizados en r2 sin embargo esta es la razón por la cual voy a utilizar a r2 como base para ello poder hablarles de vectores y bueno mis vectores van a ser vectores de dos componentes para que los podamos visualizar en r2 así que vamos a tomar los dos vectores me voy a tomar el vector menos 12 este vector va a ser mi vector am recuerden que es una gruesa para que no se confunda con una escalar y p gruesa va a ser mi segundo vector el cual va a ser es el 31 este va a ser mi segundo vector bueno ya que tengo mis dos vectores recuerden cómo definimos la suma de dos vectores la suma de dos vectores le habíamos definido la vez pasada como la suma componente a componente es decir tomábamos la primer componente del primer vector y la suma vamos con la primer componente del segundo vector la segunda componente del primer vector la vamos a sumar con la segunda componente del segundo vector así me queda entonces que a más bebek tores me van a quedar menos 13 es decir la primer componente de ambas la primera componente deben y después dos más uno es decir la segunda componente de a más la segunda componente debe y menos 132 y dos más uno es tres y ya acabamos la suma de ambas bien la suma de vectores y bueno ahora ya que tenemos a estos dos vectores y los dos vectores tienen dos componentes sería muy lógico pensar que entonces a estos vectores los podemos representar como puntos en este plano cartesiano por ejemplo recordemos aquí tenemos el punto 1.1 y esto qué quiere decir quiere decir que tenemos uno en el eje de las abscisas y uno en el eje de las ordenadas caminamos uno en el eje de las abscisas después caminamos uno en el eje de las ordenadas y me quedaría aquí mi punto no no no de hecho esperen ese sería el 22 aquí está el 1 aquí está el 1 y entonces caminamos 1 en el eje de las abscisas 1 en el eje de las ordenadas y este sería mi punto 11 sin embargo en vectores no es lo mismo ten cuidado un vector además de tener dos componentes también necesita tener un origen qué quiere decir esto bueno primero lo que tenemos que hacer es de todos los puntos de este plano cartesiano de todos hay que elegir un origen puede ser el punto que tú quieras pero sí es muy importante tomar un origen así que voy a suponer que el origen es x1 x2 éste puede ser cualquier punto en el plano por lo tanto vamos a escribirlo cualquier punto en todo r2 cualquier punto en el plano puede ser nuestro origen o nuestro punto inicial por lo tanto ya que tenemos definido x1 y x2 como se podría ver el vector a en los ojos de este punto inicial bueno pues entonces va a ser igual a x1 menos uno es decir la primera coordenada del punto inicial le vamos a sumar la primera coordenada de el vector a y después x dos más dos porque lo que estamos haciendo es tomar la segunda coordenada de este punto inicial y sumándole la segunda coordenada de nuestro vector así que por ejemplo si nosotros tomamos cualquier punto de este plano supongamos este de aquí vamos a tomar cualquier punto de este plano en este caso es el 4 el menos 44 entonces cómo se va a ver representado a bueno para esto lo que tenemos que hacer es primero a este punto menos 4 4 es decir nuestro origen o nuestro punto inicial sumarle a la primera coordenada menos 1 y a la segunda coordenada 2 así que vamos a escribirlo lo que voy a hacer es a este punto al menos 44 le voy a sumar a la primera coordenada la primera componente del vector a y me va a quedar menos cuatro menos uno de la segunda coordenada le voy a sumar la segunda componente del vector y me va a quedar cuatro más dos es decir nosotros nos tenemos que fijar en el punto menos 56 y lo que voy a hacer aquí 4 - 1 me va a dar menos 5 y 429 va a dar 6 voy a caminar unos y la izquierda y después subir 2 unidades y entonces mi vector va a ser justo este que estoy dibujando aquí es más déjenme ponerlo mucho más claro y entonces deje el nuevo resto que tengo aquí y voy a poner aquí a mi punto final en el punto en el que llego y entonces mi vector va a ser la flecha que va del punto inicial al punto final y esta es mi representación del vector y bueno como ven puedo tomar cualquier punto inicial que yo desee supongamos este de aquí este punto va a ser el 46 y entonces yo me tengo que mover uno hacia la izquierda me va a quedar cuatro menos uno lo cual me va a dar tres y después seis más dos lo cual me va a dar 83 y aquí 8 y entonces el vector va a ser la flecha del punto inicial al punto final va a ser este de aquí unimos los dos puntos con una línea y la flecha va a indicar de qué punto a qué punto vamos es decir quién es mi punto de inicio y que es mi punto final y es más a es de color azul entonces déjenme ponerlos naves de color azul porque voy a utilizar el color verde para ver entonces estas dos flechas representan al vector am tanto ésta como esta y para no poner a guardar recuerdan que también les había comentado que se denota con una a con una flecha encima entonces tomamos un punto inicial caminamos uno a la izquierda después dos para arriba y ese va a ser mi vector si nosotros definimos nuestro punto inicial y bueno lo mismo para ver yo agarro un punto inicial para ver supongamos este el menos ocho como al menos cuatro y después nos fijamos en los componentes hay que caminar 13 la derecha 123 porque es nuestra primera componente y 1 hacia arriba porque es la segunda componente y entonces la flecha que va del punto inicial al punto final va a ser nuestro vector b por ejemplo aquí puedo tomar el mismo punto inicial y caminar 13 la derecha y 1 hacia arriba y entonces esta flecha que va a estar desde el inicio hasta el final va a ser mi vector b y recuerden que escribo ve con una flecha arriba para representar que es un vector y si se dan cuenta tanto a como llenan todo el plano cartesiano hay un buen de vectores en este plano cartesiano y un buen de vectores ve en el plano cartesiano sin embargo casi siempre cuando nos referimos a un vector estamos hablando de su posición estándar y su posición estándar no es ni más ni menos que centrar este vector en donde creen en el origen es decir en el 0 0 así es la convención y es que si es mucho más fácil trabajarlos por lo tanto si nos centramos como punto inicial en el 0,0 este de aquí va a ser nuestro vector am y vez se va a ver de la siguiente manera hay que caminar 3 a la derecha 1 2 3 y 1 hacia arriba y entonces tendríamos al vector b que al final representan puntos en el plano o más bien representar a la flecha que se forma desde el origen desde el punto 0 0 hasta el punto en el plano que representa las dos componentes de este vector y bueno ahora la pregunta va a ser cómo represento la suma de estos dos vectores y si te das cuenta me suma es el 23 donde estaría 23 este de aquí es la suma de ambas ven cómo llego de estos dos vectores a la suma estos dos vectores y si te das cuenta la suma de dos vectores también es un vector porque también me da dos coordenadas y un punto de origen esta es la suma del vector a más el vector b entonces este de rojo es el vector am más el vector b y bueno ahora la pregunta es nosotros tenemos aquí un vector a y aquí tenemos un vector ver representados gráficamente en este plano cartesiano cómo podemos llegar gráficamente a la suma de estos dos vectores es decir de dónde sale este vector de rojo de a más ven y bueno lo único que hay que hacer es fijarnos un poquito en lo que es la cola del vector de la punta del vector es decir vamos a fijarnos en el final del vector a en el final del vector am es decir la cabeza de a vamos a unirlo con la cola del vector de en el vector b es el 31 por lo tanto hay que caminar 3 a la derecha 123 y 1 hacia arriba y 1 hacia arriba que creen ya encontré aquí el vector resultante de la suma de a con b se dan cuenta llegué al mismo punto y lo único que hice fue poner después de otro así que la suma representada de una manera geométrica también ya la tenemos lo único que hay que hacer es unir el final de un vector con el inicio del otro el final del vector a con el inicio del vector b y por lo tanto la resultante o el vector que me queda de la suma de cumbe va a ser este de rojo que tengo aquí es decir a que es el vector 12 con b que es el vector 3-1 al sumarlos me queda el vector 23 y vamos a ver otro ejemplo aquí abajo si agarramos otro punto inicial otro origen me va a salir lo mismo camino 3 a la derecha 1 se arriba 1 el principio con el final y ya con esto obtengo la suma de más b es decir el vector resultante va a ser aquel vector que va a iniciar en el punto de origen en el punto de origen de estos dos vectores y va a terminar en el punto final a donde llega la flecha del vector b por lo tanto aquí tengo a más fe y ya tengo una representación gráfica dado cualquier punto de origen dado cualquier punto en el cual empecemos ya sé qué onda con la suma ahora vamos a pensar qué onda con la siguiente operación que definir la vez pasada con la multiplicación por un escalar así que tomemos un vector vamos a llamarlo b este vector de va a ser el siguiente vector fíjense que yo estoy poniendo con un ave un poco más gruesa para representar que es un vector y vamos a decir que este vector b es el 12 bueno ya que tengo este vector ven ahora como lo pongo en posición estándar bueno en posición estándar recuerden que empezamos en el origen por lo tanto caminamos 1 a la derecha 2 hacia arriba y me quedaría este vector de aquí ahora bien si no estuviera en posición estándar podemos agarrar cualquier punto de origen caminar uno a la derecha y uno hacia arriba y tendremos este vector que está aquí este es el vector b bueno ahora la pregunta que quiero hacerles en esta segunda gráfica es qué pasa cuando tenemos un vector y lo multiplicamos por un escalar por lo tanto vamos a multiplicar al vector b por el escalar 2 y bueno recuerden la definición de la vez pasada lo único que había que hacer era multiplicar por 2 cada una de las componentes 2 por 1 2 por dos son cuatro entonces ya tengo que dos veces este vector b es igual al 24 y como se ve esto aquí representado en esta misma gráfica vamos a tomar un punto inicial cualquiera camino 2 hacia la derecha y 4 hacia arriba y tengo este vector que estoy dibujando aquí este es mi vector dos veces ven si te das cuenta cuando multiplicamos por una escalar también obtenemos un vector y bueno te das cuenta que este vector y este vector están muy relacionados es decir dos veces b es el doble del vector b si te das cuenta aquí tenemos a b y aquí tenemos dos veces el vector b tienen la misma dirección la única diferencia es que es el doble de largo fíjate bien si lo pusiéramos en posiciones estándar dos veces me quedaría hasta acá es decir dos veces el vector b una vez tras otra y te das cuenta cuando nosotros multiplicamos por un escalar lo único que estamos haciendo es crecer la longitud del vector cuántas veces no indique el escalar o bueno en su dado caso reducir ahora qué va a pasar si nosotros tenemos un escalar negativo como en este caso tenemos menos 4 que es el escalar por b pues me quedaría menos 4 x menos 8 menos 4 por una menos 4 menos 4 por 2 menos 8 y bueno ya que tengo menos 4 veces ven cómo lo puedo representar gráficamente vamos a ponerlo de una vez en posición estándar entonces como se ve el vector menos 4 menos 8 vamos a fijarnos en el origen es decir en el 0 0 y después tengo menos 4 por lo tanto me tengo que ir a la izquierda 4 es hasta acá y después tengo menos 8 por lo tanto me tengo que ir hacia abajo hasta el número 8 es decir tengo este vector que está aquí y si te das cuenta es de su punto inicial este su punto final me quedaría más o menos un vector así esta es la representación gráfica de menos 4 veces el vector ven ahora lo que quiero que veas es que cuando tenemos un número una escalar negativo lo único que hacemos es primero girar mi vector original 180 grados es decir que vaya hacia el otro lado esto es lo que va a representar el signo negativo es decir fijémonos en nuestro vector original el 1 2 y vamos a tirarlo hacia el otro lado en esta ocasión va a ir hacia abajo y ya que lo tenemos hacia abajo lo que vamos a hacer es aumentarlo cuántas veces nos diga el número al cual está multiplicado este vector que en este caso era 4 por lo tanto vamos a hacerlo crecer en esta ocasión cuatro veces dicho de otra manera lo que hacemos es que el vector se volteen completamente y vaya si la dirección opuesta y esto nos da pie a pensar en una idea muy importante ya tenemos la suma y ya tenemos la multiplicación por escalar de vectores ahora cómo podemos definir o cómo podemos pensar la resta de vectores supongamos que yo tengo el vector no sé me voy a tomar el vector x que va a ser el 24 entonces dejan escribirlo el vector x es el 24 y me voy a tomar otro vector va a ser mi vector y en este vector que también es muy importante porque lo que voy a hacer ahora es tomarme la diferencia entre estos dos vectores y voy a decir que el vector que es el menos uno menos 2 ya tengo aquí mis dos vectores y ahora la pregunta es común defino o como puedo ver la diferencia de dos vectores no voy a tomar x menos y como está definido y bueno si te das cuenta x menos y es lo mismo que tomarte al vector x y sumarle menos una vez y es decir en lugar de pensar en la resta ahora voy a hacer una suma y voy a multiplicar el vector por el escalar menos 1 eso ya lo sé hacer entonces que me quedaría el vector x es el 24 más y a éstos dieron que aumentar menos una vez el vector james es decir menos 1 x menos 1 me da 1 positivo menos 1 x menos 2 me va a dar 2 positivo entonces es el vector 12 y si sumamos esto pues ya es muy fácil recuerda que la suma está definida componente a componente no olvides que este es menos james y bueno la primera coordenada de este vector y este vector me dan 3 la segunda coordenada de este vector más la segunda coordenada este vector me dan 6 es decir que yo tengo que encontrar gráficamente que mi resultado sea el 36 así que vamos a ponerlos en su posición estándar ya que tenemos en su posición estándar a x que es el 24 es este de aquí este es mi vector x ahora me voy en el vector en el vector que es un vector cuyas entradas cuyas componentes son negativas es el menos uno menos dos así que vamos a dibujarlo menos uno también en posiciones estándar aquí es menos uno y aquí es menos dos es decir caminamos uno a la izquierda y bajamos dos y entonces aquí encontramos a mi vector bien tengo mi vector x tengo mi vector y en este de aquí y ahora la pregunta es cómo puedo yo encontrar la diferencia de x - jeff y bueno para esto vamos a fijarnos primero en el resultado tenemos que llegar al 36 así que vamos a ponerlo también en posiciones estándar bueno no para que no nos confundamos vamos a ponerlo aquí y tengo que caminar tres hacia la derecha y seis hacia arriba y me queda este vector que tengo aquí tiene un punto inicial y vamos a bautizarlo como x menos yen bueno ya tengo este vector y si te das cuentas más grande que x y es más grande que ya como llegamos de aquí acá y la respuesta no es tan difícil lo único que voy a hacer es poner allí al revés es decir cómo estoy multiplicando allí por menos 1 se voltea y lo puedo poner encima de xy me saldría el mismo vector bueno este caso eran vectores con lineales así que vamos a intentar tomar ahora vectores que no sean con lineales a ver voy a tomarme el vector 23 a este vector le voy a llamar el vector x x es igual al 23 y después me voy a tomar el vector ya que va a ser el que quiero que quiero voy a tomarme vector menos 4 menos a 6 no mejor - 2 - 4 - 2 así que lo primero que vamos a hacer es ponerlos en su posición estándar este de aquí es mi vector x2 hacia la derecha 3 hacia arriba y ahora voy a fijarme en el vector y mi vector que es menos cuatro menos 2 aquí está menos 4 aquí está menos 2 este es mi punto final y a continuación 1 el origen hasta el punto final y me da el vector y aquí ya tengo mi vector x en el vector y bien hasta aquí bien hasta aquí ok ahora lo que voy a hacer es tomarme la diferencia otra vez de x menos y entonces al vector x le voy a quitar el vector y esto debemos ser mucho más rápido es 2 menos 4 lo cual me da 24 lo cual es 6 entonces en la primera componente voy a obtener 6 y déjenme ponerlo aquí ya se lo podemos hacer mucho más rápido y de hecho entre más práctica tengas no va a ser hasta mental 2 - menos 4 es lo mismo que 6 y después voy a tener tres menos menos 23 menos menos 2 es lo mismo que tres más 2 lo cual me da 5 entonces ya tengo mis dos componentes de este vector y vamos a dibujarlo primero en su posición no estándar así que me voy a tomar un punto cualquiera y camina 6 hacia la derecha hasta camps y 5 hacia arriba es decir este es mi resultado este sería x menos en una posición no estándar x menos 10 muy bien ahora como se va a ver si lo ponemos en la posición estándar más o menos parecido a lo que tenía que arriba bueno fíjate bien voy a pararme en yemen en la cabeza de y voy a caminar 6 hacia la derecha voy a dibujar encima de y al vector x menos 10 entonces 6 a ciudad derecha 5 hacia arriba y wow llegó a la cabeza de x es decir cuando yo hago una resta estoy yendo como que de cabeza a cabeza solamente hay que tener cuidado pues hay que tener cuidado de que flecha que flecha vamos este es x menos la diferencia entre dos vectores entre el vector x y el vector y bueno es que esto es muy parecido a la aritmética se acuerdan en la aritmética que veíamos veíamos casos como de este estilo teníamos por ejemplo 7 dejen cambiar de color este de aquí esté bien entonces voy a agarrar 7 menos 5 y esto me daba 2 hasta aquí todo bien pero esto también se puede escribir de la siguiente manera 5 + 2 es igual a 7 estas dos expresiones son completamente iguales y es justo lo que tenemos aquí una forma de decirlo es que tenemos equis y otra forma de decirlo es que sea que le aumentamos x menos le va a dar x fíjense bien la primera forma es verlo como lo habíamos visto un y de esta fecha con la última flecha y no sale x menos pero también hay otra forma de verlo podemos pensar que sea y le aumentamos x menos y me da el vector y bueno ahora se me ocurre preguntarles cuánto es x vamos a ver qué es lo que pasa entonces menos cuatro menos dos me va a dar menos seis menos dos menos tres me va a dar menos cinco es decir es el mismo vector que x menos y es solamente que con signo contrario a ver vamos a ver cómo se ve este es mi punto de inicio bajo cinco unidades y después voy hacia la izquierda seis unidades y me da este vector que yo tengo aquí y si te das cuenta este vector que es yemen os x es completamente igual que x menos ye solamente que estaba volteado es decir en lugar de apuntar hacia arriba apunta hacia abajo y si lo vemos aquí mismo lo que tendríamos que ver es que es un vector que va desde la cabeza de x hasta la cabeza de y desde el punto final de x hasta el punto final de idea esto es de - x y si te das cuenta lo único que está pasando es que cambia de dirección por ejemplo vamos a tomar al vector x que ya sabemos quién es x es igual al 23 entonces voy a ponerlo en una posición no estándar y tengo que caminar 2s a la derecha hacia arriba y me queda que este es mi vector x ahora la misma manera me voy a tomar un punto aquí y voy a dibujar a menos x quieren menos x pues hay que caminar 2 hacia la izquierda y 3 hacia abajo y me va a quedar este vector que yo tengo aquí este es menos x y si te das cuenta son paralelos son los mismos vectores tienen la misma magnitud pero en lo que se diferencian es que van hace sentido contrario si x sube menos x baja es el mismo vector solamente que está apuntando a direcciones contrarias y bueno todo esto pasa en el plano cartesiano o en r2 pero qué pasa si nos vamos a otras dimensiones supongamos no sé que voy a manejar a vectores en r 4 entonces tengo aquí a r 4 y bueno como operó con vectores en r 4 vamos a generalizar esta idea y te vas a dar cuenta que es exactamente lo mismo no voy a tomar el vector am este va a ser mi vector a y va a ser el 0 - 1 2 3 recuerda que tiene cuatro componentes porque estamos en r 4 y ahora me voy a tomar el vector b que va a ser el 4 los 20 y 5 ya que tengo a yahvé ambos son vectores ahora cómo puedo cooperar con estos dos vectores no sea una suma y además una multiplicación por escalares y además una resta no voy a poner esta operación que yo tengo aquí tengo en la operación cuatro veces el vector a ya esto le voy a quitar dos veces el vector b y bueno ahora la pregunta es cómo pero con vectores en r4 o en cualquier dimensión es decir toda la teoría que hemos creado funciona para vectores que sean multidimensionales y la respuesta es que si es lo mismo por lo tanto me voy a tomar cuatro veces el vector a es decir 4 x 0 - 1 2 y 3 ya esto le voy a quitar menos dos veces el vector b que era el 4 menos 2 0 y 5 y bueno primero tengo que hacer cuatro veces el primer vector es decir cuatro por cada una de las componentes sin embargo no funciona muy bien la parte derecha de este pizarrón y por lo tanto lo voy a poner aquí abajo para que no salga todo borroso así que 4 por 0 0 4 por menos 1 4 por 2 84 por 3 12 ya esto le vamos a quitar este vector que es 2 por el vector b es decir 2 por 482 x menos 2 nada menos 4 no lo sé multiplicando por decir 9 menos todavía 2 por 0 0 y 2 por 5 10 y bueno fíjense como está fallando el lado derecho de esta pantalla así que voy a poner el resultado aquí abajo y voy a bajar esta pantalla porque no sé qué es lo que está pasando creo que el pizarrón está poseído tengo la diferencia de estos dos vectores va a ser cero menos 80 88 - 4 - menos cuatro menos 44 es lo mismo que cero por lo tanto 4 menos 4 es lo mismo que 08 - 0 es 8 y después 12 - ay qué número era este de aquí a ver vamos a verlo era 10.000 ya se ve el 10 ahora no se ve el 10 se ve borroso que bizarros está esto parece como si hubiera un espíritu atrapado en este pizarrón pero bueno doce menos diez es dos y bueno este fue el resultado de multiplicar cuatro veces el primer vector y restarle dos veces segundo vector y aunque esto no se puede graficar porque estamos en r 4 lo que logramos fue generalizar toda esta información para vectores en cualquier dimensión y vamos a ver esto más tarde cuando apliquemos algunos de estos vectores a espacios multidimensionales