Coordenadas respecto a una base

imaginemos que tengo un sub espacio de rm digamos que es un sub espacio es un sub espacio de r n y también supongamos que tengo una base b y digamos que es una base para v entonces tiene un montón de vectores aquí de uno de dos hasta de caja ahora como tengo cada vectores en la base entonces ud es un sub espacio de dimensión en su espacio dimensión acá y ahora como ves base eso significa que cualquier vector que esté en mi psuv espacio b se puede expresar como una combinación lineal de vectores de la base es decir a es igual a una constante por mi primer vector de la base más otra constante por mi segundo vector de la base y así hasta una décima constante por el cadismo vector del cni base ahora bien muchas veces he usado la palabra coordenada en el pasado pero ahora voy a dar una definición precisa para hacerlo me voy a fijar en los coeficientes en estos coeficientes de la combinación lineal de elementos de la base que me del vector a y voy a llamar a c1 c2 hasta seca los voy a llamar amar al ingresar a otro color las coordenadas coordenadas de mi vector con respecto a la base con respecto a mi base de entonces es con respecto a ver y cuando quiera decir que voy a escribir un vector a partir de sus coordenadas entonces lo que voy a hacer es escribir mi vector y para enfatizar el hecho de que las coordenadas están relacionadas con la base de lo que hago es encierro mi vector en paréntesis cuadrados pongo mi conjunto base aquí el conjunto b y escribo escribo precisamente los coeficientes de la combinación lineal en orden recuerden que d es una base ordenada entonces pongo los coeficientes de la combinación lineal en orden según 12 2 hasta c ahora algo que resulta bastante interesante aquí algo que es muy interesante es que ve es un sub espacio de rn entonces cualquier vector que esté en fe también está en rn es una base que sólo consiste en cada elementos ahora sí acá es menor a n entonces digamos por ejemplo podría ser que podría ser un plano en r3 entonces de la base b sólo tendría dos vectores y para especificar algo que está en nuestro psuv espacio solo necesito usar acá coordenadas o sea no importa que a sea un miembro de rn para especificar lo dentro del psuv espacio solo necesito dar acá posiciones distintas digamos que le estoy dando posiciones dentro del psuv espacio entonces no importa que sean menos bueno quizás ésta se aclare un poco más con un ejemplo así que vamos a bajar acá vamos a bajarnos un poco imaginemos que tengo dos vectores en r2 de uno que va a ser mi vector 2 1 y digamos que también tengo v2 que va a ser el vector 12 12 los pongo en enredos para que sean fáciles de visualizar y algo que puede resultar o no evidente es que b1 b2 el conjunto b que contiene a b1 b2 es una base es una base para r2 y esto significa que cualquier vector que esté en r2 se puede representar como una combinación lineal de b1 y b2 otra cosa que podemos observar es que r2 tiene dimensión 2 y la base de 1 b 2 contiene dos elementos que son linealmente independientes para ver qué b1 y b2 son linealmente independientes como la matriz 2 1 1 2 y mediante transformaciones elementales la convierto en la matriz identidad 1 0 0 1 eso automáticamente me dice que los vectores b1 y b2 son linealmente independientes y como son dos forman una base para ir de 12 vamos a también hacer una gráfica vamos a visualizar cómo se ven estos vectores en el plano así que voy a tomar mis dos ejes voy a tomar primero déjenme luego en otro color que contraste más voy a tomar primero mi eje vertical y vertical y también voy a tomar mi eje horizontal bien entonces el b1 el 21 se ve dos unidades a la derecha y una para arriba así que está más o menos a y ese es mi vector de 1 así que ese es mi b 1 ahora 1000 b 2 se ve algo así es el 12 así que una unidad a la derecha y subo dos unidades y el vector más o menos está por ahí ok entonces para ejemplificar esto de las coordenadas voy a tomarme un tercer vector y voy a darlo como una combinación lineal de b1 y b2 para hacer las cosas más sencillas déjenme tomar por ejemplo el vector que sea tres veces b 1 3 veces de uno más dos veces dos veces b 2 bien y que vector es este pues tengo que hacer esta operación tres veces por b uno es tres por dos más dos veces por la primera coordenada db2 es 3 x 2 + 2 x 1 que es 8 luego 3 veces x uno más dos veces por dos o sea tres más 43 más 47 así que tengo el vector 87 y dónde está este vector en el plano qué posición me termina pues me muevo 8 unidades a la derecha con unidades a la derecha y luego tengo que subir 7 unidades así que más o menos tendría una flecha del origen a este punto otro amo decirlo es que el vector me específica este punto el punto que si hablamos de las coordenadas viejitas las que siempre usamos es el punto 8,7 y si quisiera dibujar el vector como ya dije es una flecha que va del origen a este punto ahora bien yo ya tengo dada la base de la base b que consiste en el vector b1 y b2 así que la pregunta es cómo le hago para expresar al vector 87 en términos de esta base digamos que llamó este lector el vector a entonces tengo que el vector a es el vector 87 entonces yo ya sé qué combinación lineal de la base me da el vector a es simplemente la combinación que es tres veces b uno más dos veces b dos y eso me da el 87 en otras palabras si quisiera escribir el vector a con coordenadas respecto a la base b que voy a poner también aquí en azul con el vector a con respecto a la base b es igual a los coeficientes de la combinación lineal en orden así que es 32 un argumento visual que apoya esta definición es el siguiente imagínense que tenemos un nuevo sistema ordenado antes en las coordenadas viejitas lo que teníamos eran direcciones horizontales y verticales y tenemos marcas de unidad en cada eje entonces teníamos dos direcciones y mediamos ciertas longitudes ahora lo que tenemos son dos nuevos vectores las coordenadas lo que me dicen son múltiplos de cada vector de la base por ejemplo la primera coordenadas son múltiplos de b1 a ello tengo una vez por ver un símil o dos veces de uno llegaría al 42 que estaría más o menos por ahí tres veces por b uno sería el 63 que sería pongo marcas en los ejes 4 6 y 8 entonces el 63 estaría más o menos por ahí eso es tres veces b 14 veces de 1 nos llevaría al 84 y creo que ya se están dando la idea de lo que pasa lo que podemos imaginar es que entregamos uno de los ejes como si el eje horizontal lo hubiéramos movido y tuviéramos un eje generado por la dirección de v1 entonces más o menos tenemos un eje que se va por ahí y continúa del otro lado y la coordenada lo que me dice es cuántos múltiplos de v1 debo recorrer entonces simplemente son las marcas son incrementos de unidad de longitud de uno y dirección de uno obviamente a la segunda coordenada lo que me dice es cómo moverme respecto a b2 entonces aquí tengo una vez por b 2 2 veces de 2 estaría por ahí tres veces b 2 tenía más o menos por ahí y etcétera entonces de nuevo puedo considerar una especie de eje generado por dedos o key entonces la idea es que más o menos tengo esta cuadrícula entre cada y de nuevo tengo una especie de líneas guías como en una cuadrícula normal entonces las coordenadas me dicen cómo moverme para que combinando los movimientos en dirección b1 y en dirección b2 llegar a mi punto original si ponemos estas líneas díaz déjenme pongo estas líneas guías que en este caso estas amarillas son paralelas al vector b2 más o menos por ahí voy a tratar de que salga bien para que puedan entender el concepto fácilmente ahí está quizás debido haber usado la herramienta de líneas rectas pero es muy tarde entonces aquí es lo que estoy haciendo es como una especie de de papel para graficar son líneas guías para poder determinar fácilmente posiciones ok entonces tengo esta especie de cuadrícula chueca y lo que tengo son coordenadas respecto a esta nueva cuadrícula y que tiene esto que ver con las coordenadas pues la primera coordenada me dice cómo moverme en dirección de uno así que tengo 12 23 de nuevo tres unidades en dirección de uno y luego tengo que moverme dos en dirección de dos así que uno dos y si conecto a esas líneas guías llegó exactamente al punto 87 en el plano lo que hice fue moverme tres unidades tres múltiples dv uno en dirección de uno y luego sumar dos múltiplos de v2 en realidad también me podría haber movido dos unidades en dirección de dos y luego tres unidades en dirección de uno así que bueno el vector 87 se expresa en nuestro nuevo sistema coordinado con las coordenadas 32 esto quiere decir que es tres veces b uno más dos veces de dos simplemente quiere decir que para llegar al 87 tengo que moverme tres veces en dirección de 1 y dos veces en dirección de 2 y por eso estas se llaman coordenadas porque me dicen dónde es la posición de un punto en relación con dos vectores guías digamos dos generadores me dicen cómo moverme para poder llegar al punto que tenía ahora una buena pregunta es porque he estado hablando de coordenadas desde antes por ejemplo cuando teníamos el plano y teníamos digamos un vector que va a ser b no sé 3 digamos r2 3 - 1 este es un buen vector y si lo grafica mos xilográfica mos tenemos aquí están mis ejes un poco lento dibujando ejes 1 2 3 y luego bajo y entonces se vería algo así director y especifica este punto porque he estado diciendo que este punto tiene coordenadas tres menos uno cómo se relaciona esto con la definición de coordenadas que acabamos de dar porque esto lo he hecho desde antes de hacer álgebra lineal no entonces como relaciono esta definición viejita de puntos en el plano con esta definición de coordenadas de vectores respecto a una base pues resulta que éstas sí son coordenadas con respecto a una base es una base especial consideren los vectores 1 como el 1 0 y el 2,01 entonces resulta que estos vectores son linealmente independientes y de hecho si dijera sea ese el conjunto de uno 2 2 entonces ese es es la llamada base estándar de base estándar para r2d2 y esto se llama base estándar porque estos 24 son ortogonales y es una de la dirección horizontal y 1 en la dirección vertical entonces cualquier vector cualquier vector en el plano digamos un vector xy se puede expresar como combinación lineal de 1 y 2 simplemente es x por uno más y por 2 y los invito a verificar esto es una cuenta muy muy sencilla entonces qué pasa si quisiera escribir el vector x y xi en coordenadas con respecto a la base estándar entonces lo encierro en paréntesis cuadrados pongo la base estándar y qué coordenadas tiene pues son los coeficientes de esta combinación lineal y cuáles son esos coeficientes en orden pues precisamente el coeficiente de mi primer básico x y el coeficiente mi segundo básico es así que las coordenadas del vector xy respecto a la base estándar son x d entonces realmente las coordenadas que habíamos usado antes son un caso particular de las de ahora simplemente son coordenadas ordenadas con respecto respecto a la base estándar de r2 que es simplemente la base que les puse por hallar la base conformada por los vectores 1 y el 2 también podríamos decir que estas son las coordenadas estándar con tronadas estándar y solo quería enseñarles cómo las coordenadas que habíamos estado usando las coordenadas que hablamos de puntos en el plano no es una definición inconsistente con las coordenadas vistas como coeficientes en una combinación lineal simplemente era en el caso particular en el que la base la base que tomábamos era la base estándar tr2