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Curso: Geometría > Unidad 9

Lección 10: Propiedades de las tangentes

Determinación de rectas tangentes: longitudes

Resuelve dos problemas en los que se aplican propiedades de tangentes para determinar si una recta es tangente a un círculo.

Problema 1

El segmento

\overset{―}{O C}

es un radio del círculo

O

Nota: la figura no está necesariamente dibujada a escala.

¿La recta $\overset{\leftrightarrow}{A C}$ ‍ es tangente al círculo $O$ ‍?

(Elección A)
Sí, porque $\overset{―}{A C}$ ‍ interseca al círculo $O$ ‍ en el punto $C$ ‍.
(Elección B)
Sí, porque $\overset{―}{A C}$ ‍ es perpendicular a $\overset{―}{O C}$ ‍.
(Elección C)
No, porque $\overset{―}{A C}$ ‍ no es perpendicular a $\overset{―}{O C}$ ‍.
(Elección D)
No, porque $△ A O C$ ‍ interseca al círculo $O$ ‍ en más de un punto.

Una

recta

tangente a un círculo en un punto particular es perpendicular al

radio

en ese punto.

Verifiquemos si

\overset{\leftrightarrow}{A C}

es tangente, mediante el teorema de Pitágoras inverso para determinar si

△ A O C

es un triángulo rectángulo .

Necesitaremos determinar la longitud de

\overset{―}{A O}

B O = 5

porque es un radio como

C O

, así que:

$A O = 8 + 5 = 13$ ‍

Ahora podemos usar el teorema de Pitágoras para determinar si

△ A O C

forma un triángulo rectángulo.

\begin{aligned} {A C}^{2} + {O C}^{2} & \overset{?}{=} A O^{2} \\ 11^{2} + 5^{2} & \overset{?}{=} 13^{2} \\ 146 & \neq 169 \end{aligned}

Por lo tanto,

△ A O C

no es un triángulo rectángulo.

No, $\overset{\leftrightarrow}{A C}$ ‍ no es tangente al círculo $O$ ‍ porque $\overset{―}{A C}$ ‍ no es perpendicular a $\overset{―}{O C}$ ‍.

Problema 2

El segmento

\overset{―}{O C}

es un radio del círculo

O

Nota: la figura no está necesariamente dibujada a escala.

¿La recta $\overset{\leftrightarrow}{A C}$ ‍ es tangente al círculo $O$ ‍?

(Elección A)
Sí, porque $\overset{―}{A C}$ ‍ interseca al círculo $O$ ‍ en el punto $C$ ‍.
(Elección B)
Sí, porque $\overset{―}{A C}$ ‍ es perpendicular a $\overset{―}{O C}$ ‍.
(Elección C)
No, porque $\overset{―}{A C}$ ‍ no es perpendicular a $\overset{―}{O C}$ ‍.
(Elección D)
No, porque $△ A B C$ ‍ interseca al círculo $O$ ‍ en más de un punto

Una

recta

tangente a un círculo en un punto particular es perpendicular al

radio

en ese punto.

Verifiquemos si

\overset{\leftrightarrow}{A C}

es tangente, mediante el teorema de Pitágoras inverso para determinar si

△ A O C

es un triángulo rectángulo .

Necesitaremos determinar la longitud de

\overset{―}{A O}

B O = 12

porque es un radio como

C O

, así que:

$A O = 8 + 12 = 20$ ‍

Ahora podemos usar el teorema de Pitágoras para determinar si

△ A O C

forma un triángulo rectángulo.

\begin{aligned} {A C}^{2} + {O C}^{2} & \overset{?}{=} A O^{2} \\ 16^{2} + 12^{2} & \overset{?}{=} 20^{2} \\ 400 & = 400 \end{aligned}

Por lo tanto,

△ A O C

es un triángulo rectángulo.

Sí, $\overset{\leftrightarrow}{A C}$ ‍ es tangente al círculo $O$ ‍ porque $\overset{―}{A C}$ ‍ es perpendicular a $\overset{―}{O C}$ ‍.

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