La proporción áurea

en este vídeo quiero explorar la siguiente pregunta he dado un segmento b puedo construir un segmento a de tal forma que la razón a / b le voy a poner aquí a / b sea igual a la razón además b / a / a es decir geométricamente quiero que la longitud del nuevo segmento entre la anterior sea igual a la longitud de la suma de ambos segmentos entre la longitud del nuevo segmento que pinte bueno vamos a pensar por el momento que sí que si podemos construir una que cumpla con esta igualdad ya esta razón a / b le voy a llamar fi es la letra griega fi minúscula vale bueno vamos a ver algunas propiedades que debe tener esta razón si por ejemplo una muy sencilla se obtiene a partir de que a más b entre a es igual a a entre a más b / ar simplemente separa el numerador en estos dos suman dos vale bueno pero a / a es igual a 1 y b entre a pues bien entre a es lo mismo que a entre b pero volteado es decir es un inverso multiplicativo o bien su recíproco y como a entre bs pues b entre a es uno entre phil éste es uno entre fin de esta forma de esta forma lo que acabamos de argumentar es que si lo voy a poner aquí con color naranja si es igual a 1 + 1 entre sí y esto está padre porque por ejemplo si restamos uno de ambos lados nos dice que menos 1 es igual a 1 entre sí de forma que el inverso multiplicativo de fisio tiene a partir de fin simplemente restando 1 eso está súper loco no pero bueno déjame regresar a esta igualdad para escribir otra cosa que también está súper bien que nos dice lo siguiente mira voy a poner fin y si es igual a 1 1 en 3 y 1 más 1 entre sí pero en vez de poner aquí abajo en el numerador simplemente fin pues bueno ya que pies uno más uno entre sí voy a poner uno uno más uno en tres y uno entre sí pero aquí abajo en vez de poner si voy a volver a poner uno más uno en tres y uno más uno / diego aquí podría poner fin y se acaba la cosa pero no vamos a seguir haciéndolo más emocionante entonces en vez de ponerse aquí pongo uno más uno en tres y uno más uno entre sí pero una vez más y es uno más uno en tres y entonces se ve que podemos hacer esto indefinidamente verdad le voy a poner aquí puntos suspensivos va y entonces decimos que si cumple una definición recursiva para una variable en términos de sí misma y bueno básicamente es que tiene esta expresión en fracciones que se ve súper bonita bueno hasta ahorita todo va muy bien pero imagínate que queremos determinar el valor exacto de fi es decir queremos dar así numeritos que nos representen a fin bueno pues para eso lo que vamos a hacer es transformar esta igualdad en una ecuación cuadrática y para eso vamos a multiplicar por fi de ambos lados de la igualdad que es lo que nos queda pues multiplicando por fi aquí y acá nos queda que fi cuadrada y cuadrada es igual a fi más 1 y sabes que déjame hacer un pequeño paréntesis porque hay otra cosa pues similar a ésta que también es emocionante entonces antes de determinar el valor de fi déjame observar aquí al lado que fui entonces es igual a la raíz a la raíz cuadrada de aquí en vez de ponerle encima su no le voy a poner uno más y entonces podemos hacer un proceso similar o sea otra vez una definición recursiva pero ahora utilizando esta igualdad y que nos quedarían nos quedaría que fin es igual a la raíz la raíz d uno más y aquí hay que poner fin pero en vez de poner si ponemos esta cosa entonces nos queda la raíz cuadrada de 1 más otra vez en vez de poner si ponemos la raíz cuadrada la raíz cuadrada de uno más y otra vez en vez de poner ponemos raíz cuadrada de uno más y así podemos seguir sucesivamente vale entonces aquí tenemos otra pues otra igualdad que está bien padre verdad este número que es el número que al restarle 1 obtenemos su inverso y que es el número que satisface esta igualdad con fracciones también satisface esta identidad con radicales integrados bueno se está súper padre pero bueno regresemos a esto en lo que en lo que estábamos que era determinar el valor de fin y decía que esto ya era una ecuación cuadrática bueno déjame pasar restando si más uno para que realmente lo veamos en forma estándar y entonces nos quedarían lo voy a poner en color morado nos quedaría que fi cuadrada y cuadrada menos fi menos uno es igual a cero y ahora si ya tenemos esto listo para utilizar la fórmula general déjame pasarme aquí abajo observa que el coeficiente cuadrática uno es igual a uno el coeficiente lineal es menos uno entonces b es igual a menos uno y el término constante que ese es igual a menos uno y por lo tanto podemos utilizar la fórmula general para obtener qué fin no voy a poner aquí abajo que si a y observa si debe de ser positivo porque viene de un problema geométrico entonces es una razón de cosas positivas y por tanto es positiva pero bueno ahorita vamos a ver por qué dije eso entonces si es igual utilizando la fórmula general a menos b o sea menos menos 11 más menos esto es lo que nos dice la fórmula general que la aprobamos en otros vídeos la puedes probar completando el cuadrado por checando los otros vídeos pero bueno es menos b más menos raíz cuadrada de b cuadrada que es uno menos uno al cuadrado es uno menos cuatro por a por c menos cuatro por uno es menos cuatro por menos unos cuatro entonces sería más cuatro y esto dividido entre dos a como a es uno es dividido entre dos y esto de aquí a que es igual esto de aquí es igual a si le ponemos menos vamos a restar la raíz de 5 y nos va a quedar negativo entonces tenemos que ponerle más es igual a 1 + raíz de 5 y esto dividido dividido entre 2 muy bien entonces ya tenemos una expresión para fin ya sabemos que fi es uno más raíz de 5 entre 2 y estoy aquí va a ser un número irracional porque raíz de 5 es irracional eso quizás lo pruebe en otro vídeo pero por el momento vamos a quedarnos con la idea de que su expansión decimal no se repite no es periódica y no termina vale de hecho sabes que vamos a ver cuánto es déjame sacar la calculadora debe estar por acá aquí está la calculadora y vamos a ver cuánto nos queda fin vamos a aprenderla entonces tenemos que hacer uno más raíz de 5 y eso lo tenemos que dividir entre dos oyentes a lo mejor el último dígito está mal voy a copiar hasta aquí bueno es que la calculadora luego redondea pero voy a poner 1 puntos 61 80 33 98 a ver si me acuerdo de eso entonces voy a tomar otro color digamos blanco entonces si es igual a 1.6 18 10 33 0 33 98 si eso es lo que había dicho la calculadora bueno y puntos suspensivos verdad esto de aquí otra vez es un número irracional entonces su expansión decimal nyse ciclo ni termina es decir no se repiten y termina vale bueno entonces aquí tenemos fin y bueno vamos a regresar a esta igualdad para pues para aplicarla de alguna forma imagínate que ahora nos piden determinar ósea ya sabemos qué es esto y nos piden determinar uno en tres y uno en 3 y 1 / déjame ponerle un poco más a la derecha uno entre el recíproco def y este número también se denota como fin mayúscula y mayúscula vale entonces a lo mejor lo puedes ver en la literatura así entonces como le haríamos hay que sacar la calculadora de nuevo pues no verdad porque gracias a esta igualdad después ya tenemos que que uno entre fiesp y menos uno así que basta restarle uno a esta expresión para ver cuánto eso 1 en 3 y uno entre sí es igual a 0.6 18 033 98 y puntos suspensivos entonces esto está súper padre verdad ya vimos una aplicación de esta fórmula para obtener el recíproco simplemente este 1 lo convertimos en 0 pero estas cosas se ponen todavía más emocionantes resulta que si él se conoce como la razón abre a la razón dorada la proporción áurea la proporción divina tiene muchos nombres yo le voy a decir algunos de esos digamos la proporción áurea y bueno estos nombres tan especiales son porque fije aparece por todas partes aparece en el arte aparece en la música en la naturaleza y es más te voy a dar algunos ejemplos para que veas el tipo de ideas puras en las cuales se aparece por ejemplo si tenemos una estrella una estrella regular de cinco picos también se conoce como pentagrama resulta que si se aparece por ahí voy a intentar dibujarla lo más regular posible el chiste es que los 5 los 5 lados queden iguales y los ángulos también digo no me va a quedar exactamente pero es es la idea entonces ahí está entonces resulta que si se aparece en esta estrella regular como si aparece fin pues si llamamos a esta longitud y a esta longitud ve resulta que a / b es igual a fin también a b entre a es igual a pero claro eso es porque así construimos y verdad sin embargo si hay otros lugares donde se aparece por ejemplo si este de aquí si este de aquí es b si estoy aquí es b y este de acá es a la caixa una vez más a / b es igual aquí o bien todo entre a es igual a fin otra vez por la definición también en los pentágonos con los pentágonos regulares pasa algo similar si aquí pintó un pentágono regular soy muy malo dibujando pentágonos así que si no me quedan muy bien espero que me perdones pero bueno más o menos así se vería un pentágono regular también los pentágonos regulares se aparecen y donde se aparece pues ahora como la razón entre la es la longitud de una diagonal la longitud de una diagonal y uno de los lados vale entonces si éste es ay estévez a / vuelve a ser fin entonces fui sean apareciendo por todas partes bueno al menos aquí en las figuras geométricas de hecho hay otra figura geométrica en la cual se aparece déjame pintarlo porque este ejemplo también está muy interesante y es en un rectángulo entonces imagínate que vamos que pintamos un rectángulo donde esto me debe de esto me debe y esto me deja esto me deja entonces es un rectángulo en el cual sus lados están en la razón áurea a / b más o menos es algo así vale bueno resulta que si tenemos un rectángulo así pasa algo bien interesante cuando lo dividimos en un cuadrado y otro rectángulo es decir cuando pintamos una línea que hace que hace que esto me da b si esto me debe entonces ahora esto me debe menos a verdad no más bien mide a menos ve aa menos b porque el lado total está y le estamos restando b aquí nos queda otro rectángulo que crees que suceda con ese rectángulo de la 2a - vive bueno pues vamos a calcular vamos a calcular la proporción entre estos lados a ver qué pasa vamos a ver cuánto es b entre a menos ve lo voy a hacer aquí al ladito vamos a calcular este b b entre a menos a menos bueno pues esto de aquí es igual a 1 entre aa menos b entre b si simplemente pase la ve al denominador entonces tiene que pasarse dividiendo pero esto de aquí es igual pues entre bs porque así construimos el rectángulo original es uno entre fi y b entre b es menos uno es uno entre fi menos uno pero recuerda fíjese este número superespecial que al restarle uno se convierte en su red si preocupa entonces esto de aquí es igual es igual a un 1 entre 1 entre sí y esto está súper padre porque 1 entre 1 entre sí es igual a sí entonces si partimos en un cuadrado de un rectángulo este rectángulo chiquito vuelve a ser un rectángulo bueno así se conoce un rectángulo con lados en proporción habria esto está súper padre porque ahora podemos repetir el procedimiento es decir ahora podemos dividir este nuevo rectángulo en un cuadrado y un rectángulo y este bueno este cuadrado tiene cierta longitud pero este rectángulo vuelve a ser un rectángulo abrió podemos repetir esa idea otra vez partimos haciendo un cuadrado en un cuadrado y un rectángulo áureo podemos hacer lo mismo aquí nos queda un cuadrado y un rectángulo áureo y ya se ve la idea verdad que aquí podemos seguir pintando cuadrados y rectángulos abre los cuadrados y rectángulos saurios y esto queda súper padre porque porque si ahora sí ahora trazamos una curva que vaya uniendo este patrón que son como cuadrados que van girando y trazamos una curva nos vamos a encontrar con algo bien padre que a lo mejor has visto antes entonces déjame unir por acá este con este luego este con este este con este este con este y nos queda esta curva que a lo mejor conoce si has visto en otros lugares y bueno quizás el lugar en el que más probablemente has visto esta curva es en una concha de nautilus entonces observa este este esta construcción geométrica que tiene que ver con fin por alguna razón se relaciona con una concha de nautilus con una espiral de la concha de nautilus y bueno la razón no está también tan misteriosa porque en el fondo así se hacen las conchas de nautilus tiene que ver con que cada una de sus capas se va haciendo con cierta proporción pero está padrísimo vaya aquí en la naturaleza también se aparece esa proporción y esta proporción áurea y aquí a la derecha tenemos una pintura porque también si se aparece mucho en el arte de hecho a leonardo da vinci le gustaba muchísimo utilizar aquí pero estoy acá no es de da vinci si no es de salvarlo salvador dalí y bueno déjame platicar un poquito de donde aparece en esta en este lienzo de hecho aparece por todas partes va a empezar el lienzo están en proporción habría lo puedes checar y puedes a tomar las medidas entonces este / este es igual a sí pero si aparecen muchos otros lados te recomiendo que flórez la pintura por ejemplo en los lados de la mesa y las distancias entre las personas pero déjame darte algunos otros ejemplos más por ejemplo aquí tenemos pentágonos y ya platicamos como los pentágonos tienen que ver con fin entonces ese es otro lado donde se aparece fin al parecer a dalí le gustaba mucho esta idea de la proporción áurea y bueno finalmente otro ejemplo que te puedo dar es que si nos fijamos aquí donde terminan esta persona si trazamos una línea dónde termina pues justo resulta que aquí a la derecha nos queda un cuadrado y bueno como el primero en un rectángulo abrió una vez más tenemos que este es un rectángulo abrió entonces este lado déjame lo pinto con un color más brillante este entre éste vuelve a ser sí vale porque existe entre este y este rectángulo abrió pero bueno esto está padrísimo espero que te haya gustado estas cosas que te conté y vaya te invito a seguir explorando este número que está súper interesante