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Curso: Geometría - Preparación Educación Superior > Unidad 3

Lección 5: Líneas y puntos notables básicos del triángulo

Problemas que involucran las líneas notables en el triángulo

Lo que necesitas saber para esta lección

Antes de iniciar esta lección, debes revisar la lección sobre Propiedades de los triángulos.

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección aprenderás a resolver diversas situaciones relacionadas a las líneas notables en el triángulo y sus propiedades.

Problemas que involucran las líneas notables del triángulo y sus propiedades

En esta sección se explica diversas situaciones que involucran el uso de las líneas notables y sus propiedades. Estas situaciones implican construcción de figuras geométricas en diversos escenarios.

Intenta resolver por tu cuenta cada situación y luego, en caso sea necesario y hayas agotado tus diversas estrategias, analiza con detenimiento las propuesta de resolución de cada situación.

Ejemplo 1

En un triángulo

A B C

se trazan las bisectrices interiores

B M

A P

, tal que

A B = B M

A P = P C

¿Cuánto mide el $∠ A C B$ ‍?

Trazamos el gráfico y completamos la información.

Sea $m ∠ B A P = α$ ‍. Por tanto, $m ∠ P A C = α$ ‍.
Como $A B = B M$ ‍, el $m ∠ B A M = m ∠ A M B = 2 α$ ‍.
Como $A P = P C$ ‍, la $m ∠ P A C = m ∠ A C P$ ‍. Así, $m ∠ A C B = α$ ‍.
Por la propiedad del ángulo exterior $\begin{array}{r} m ∠ A C B + m ∠ M B C = \\ m ∠ A B M = 2 α \end{array}$ ‍
De ahí que $m ∠ M B C = α$ ‍.
Finalmente, en el $△ A B M$ ‍, por la suma de ángulos internos
$\begin{aligned} α + α + 2 α + α = 180 ° \Rightarrow & 5 α = 180 ° \\ α = 36 ° \end{aligned}$ ‍

Finalmente,

m ∠ A C B = α

36 °

Ejemplo 2

En un triángulo

A B C

, recto en

B

, se traza la bisectriz interior

A D

y la altura

B H

, que se intersecan en

L

, tal que

B L = L D

¿Cuánto mide el $∠ A C B$ ‍?

Trazamos el gráfico y completamos la información.

Como $\overset{―}{A D}$ ‍ es bisectriz del ángulo $B A D$ ‍, consideramos $m ∠ B A D = β$ ‍. Así, $m ∠ D A C = β$ ‍. Además, $m ∠ A B H = α$ ‍.
Se observa que $\begin{array}{r} m ∠ H A B + m ∠ A B H = 90 ° \\ \Rightarrow 2 β + α = 90 ° \end{array}$ ‍ Por tanto, $m ∠ H B C = 2 β$ ‍. Del mismo modo, $m ∠ B C A = α$ ‍. También $m ∠ A D B = 2 β$ ‍.
Por la propiedad del ángulo externo, $m ∠ A L B = 4 β$ ‍ y también $m ∠ A L B = 90 ° + β$ ‍.
Por tanto, $90 ° + β = 4 β \Rightarrow β = 30 °$ ‍.
Finalmente, en el $△ A H B$ ‍, por la suma de ángulos internos:

\begin{aligned} 2 β + α = 90 ° \Rightarrow & 2 (30 °) + α = 90 ° \\ α = 60 ° \end{aligned}

Finalmente,

m ∠ A C B = 60 °

Ejemplo 3

Marcelo dibuja una figura trazando segmentos y ubicando tres puntos

A

B

C

D

en una hoja de papel. En el gráfico mostrado,

A B C

es un triángulo y se cumple la relación de los ángulos. Si la longitud de

A B

es 8 cm,

¿Cuál es la longitud mínima entera de $B D$ ‍ en la situación mostrada?

Trazamos la ceviana

B E

de tal forma que

m ∠ D B E = 2 α

m ∠ E B C = α

Por la propiedad del ángulo exterior,

\begin{array}{r} m ∠ D E B = m ∠ E B C + m ∠ E C B \\ \Rightarrow m ∠ D E B = 2 α \end{array}

Se observa que el triángulo

D E B

es isósceles, de ahí que

B D = D E = x

. También el triángulo

A B E

es isósceles, por lo que

A B = B E = 8

Finalmente, en el

△ D B E

, por el teorema de la desigualdad triangular,

\begin{array}{r} x - x < 8 < x + x \Rightarrow 8 < 2 x \Rightarrow 4 < x \end{array}

Finalmente, la mínima longitud entera de

B D

5 cm

Ejemplo 4

En un triángulo isósceles

A B C

de base

A B

se traza la ceviana

B D

, luego se trazan las alturas

B H

D E

de los triángulos

A B D

B D C

, respectivamente, si

m ∠ A B H = 20 °

¿Cuánto es la medida del ángulo entre las alturas $B H$ ‍ y $D E$ ‍ ?

Ejemplo 5

En un triángulo isósceles

A B C

, de base

A C

, se trazan las bisectrices de los ángulos exteriores de los vértices

B

C

, las cuales se intersecan en el punto

D

. Si

A B = 13

¿Cuánto midel el segmento $D B$ ‍?

Elaboramos el gráfico considerando la

m ∠ B A C = α

. Ahora, dado que el triángulo

A B C

es isósceles,

m ∠ A C B = α

Por la propiedad de ángulo externo, la medida del ángulo exterior de

B = 2 α

Ahora, considerando la medida del ángulo exterior de

C = 2 β

, se observa que

α + 2 β = 180 °

Del resultado anterior, en el triángulo

B C D

, se tiene que la

m ∠ D = β

Finalmente, el triángulo

B C D

es isósceles, de tal forma que

B D = B C = 13

Entonces

x = 13

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Nestor Tamayo
Publicado hace hace 4 años. Enlace directo a la publicación “En el ejemplo 2, el ejerc...” de Nestor Tamayo
En el ejemplo 2, el ejercicio debe salir 30º, porque el triángulo LBD es, en realidad, equilatero, por lo tanto, el ángulo LBD tendría que ser 60 grados, y finalmente el ángulo ACB sería 30 grados. Revisen bien su ejercicio para que se den cuenta cómo es que se forma dicho triángulo equilatero (No es isósceles)
Botón que navega a la página de registroComentar en la publicación “En el ejemplo 2, el ejerc...” de Nestor Tamayo
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Respuesta
- Sergio P
  Publicado hace hace 3 años. Enlace directo a la publicación “En el paso 2 se sacaron m...” de Sergio P
  En el paso 2 se sacaron m∠ADB=2β de la manga.
  Comentar en la publicación “En el paso 2 se sacaron m...” de Sergio P
  (1 voto)
Matias Villacorta
Publicado hace hace 2 años. Enlace directo a la publicación “porque eres waza waza...” de Matias Villacorta
porque eres waza waza
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(1 voto)
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