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Curso: Geometría - Preparación Educación Superior > Unidad 3

Lección 3: Ángulos inscritos en la circunferencia.
Matemáticas
Geometría - Preparación Educación Superior
Polígonos y ángulos en la circunferencia
Ángulos inscritos en la circunferencia.
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Demostración del teorema del ángulo inscrito

Google Classroom
Demostración de que un ángulo inscrito es la mitad de un ángulo centra que subtiende al mismo arco.

Para empezar

Antes de iniciar la demostración asegurémonos entender algunos términos sofisticados relacionados con círculos.
He aquí un pequeño ejercicio, para ver si puedes relacionar los términos por ti mismo:
Utiliza la imagen para relacionar las variables con los términos.
1

¡Excelente trabajo! Usaremos estos términos en el resto del artículo.

Lo que vamos a demostrar

Demostraremos que algo interesante sucede cuando un ángulo inscrito (ψ) y un ángulo central (θ) intersecan al mismo arco: la medida del ángulo central es el doble de la medida del ángulo inscrito.
θ=2ψ

Resumen de la demostración

Para demostrar que θ=2ψ para todo θ y ψ (como las definimos antes), debemos considerar tres casos independientes:
Caso ACaso BCaso C
Estos tres casos representan todas las situaciones posibles en las que un ángulo inscrito y un ángulo central intersecan al mismo arco.

Caso A: el diámetro es un rayo del ángulo inscrito ψ.

Paso 1: encuentra el triángulo isósceles.

Los segmentos BC― y BD― son radios, así que tienen la misma longitud. Esto significa que el triángulo △CBD es isósceles, lo que también significa que los ángulos de su base son congruentes:
m∠C=m∠D=ψ

Paso 2: encuentra el ángulo llano.

El ángulo ∠ABC es un ángulo llano, as;i que:
θ+m∠DBC=180∘m∠DBC=180∘−θ

Paso 3: escribe una ecuación y encuentra el valor de ψ.

Los ángulos interiores de △CBD son ψ, ψ y (180∘−θ), y sabemos que los ángulos interiores de cualquier triángulo suman 180∘.
ψ+ψ+(180∘−θ)=180∘2ψ+180∘−θ=180∘2ψ−θ=02ψ=θ
Genial. Hemos completado nuestra demostración para el caso A. ¡Solo nos faltan dos casos más!

Caso B: el diámetro está entre los rayos del ángulo inscrito ψ.

Paso 1: ponte listo y dibuja el diámetro

Con el diámetro, dividamos a ψ en ψ1 y ψ2, y a θ en θ1 y θ2 como sigue:

Paso 2: usa lo que aprendimos en el caso A para escribir dos ecuaciones.

En nuestro nuevo diagrama el diámetro parte al círculo en dos mitades. Cada mitad tiene un ángulo inscrito con un rayo en el diámetro. Esta es la misma situación que el caso A, y sabemos que:
(1)θ1=2ψ1
y
(2)θ2=2ψ2
dado lo que aprendimos en el caso A.

Paso 3: suma las ecuaciones.

θ1+θ2=2ψ1+2ψ2Suma (1) y (2)(θ1+θ2)=2(ψ1+ψ2)Agrupa las variablesθ=2ψθ=θ1+θ2 y ψ=ψ1+ψ2
El caso B está completo. ¡Solo nos falta un caso!

Caso C: el diámetro está fuera de los rayos del ángulo inscrito.

Paso 1: ponte listo y dibuja el diámetro

Con el diámetro, generemos dos ángulos nuevos: θ2 y ψ2, como sigue:

Paso 2: usa lo que aprendimos en el caso A para escribir dos ecuaciones.

Hemos creado un diagrama que nos permite utilizar lo que aprendimos en el caso A, tal como hicimos en el caso B. A partir de este diagrama sabemos lo siguiente:
(1)θ2=2ψ2
(2)(θ2+θ)=2(ψ2+ψ)

Paso 3: sustituye y simplifica.

(θ2+θ)=2(ψ2+ψ)(2)(2ψ2+θ)=2(ψ2+ψ)θ2=2ψ22ψ2+θ=2ψ2+2ψθ=2ψ
¡Y con esto terminamos! Demostramos que θ=2ψ en los tres casos.

Un resumen de lo que hicimos

Proponíamos demostrar que la medida de un ángulo central es el doble de la medida de un ángulo inscrito, cuando ambos ángulos intersecan al mismo arco.
Empezamos la demostración al establecer tres casos. Estos casos representan todas las situaciones posibles en las que un ángulo inscrito y un ángulo central intersecan el mismo arco.
Caso ACaso BCaso C
En el caso A identificamos un triángulo isósceles y un ángulo llano. A partir de esto definimos unas ecuaciones con ψ y θ. Con un poco de álgebra demostramos que θ=2ψ.
En los casos B y C introdujimos inteligentemente el diámetro:
Caso BCaso C
Esto hizo posible utilizar el resultado del caso A, como hicimos. En los casos B y C escribimos ecuaciones que relacionaban las variables en los diagramas, lo que fue posible por lo que ya habíamos aprendido en el caso A. Con las ecuaciones definidas y un poco de álgebra demostramos que θ=2ψ.

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