La transformada de Laplace de t^n: L{t^n}

en el último vídeo les mostré la transformada de la plaza de té o podemos verla como té a la potencia 1 es igual a 1 sobre ese cuadrado si asumimos que ese es mayor que 0 en este vídeo vamos a ver qué podemos generalizar esto intentando obtener la transformada de la plaza dt a la n donde n es cualquier potencia entera mayor que 0 por lo que es cualquier entero positivo mayor que cero así que intentemos lo sabemos por nuestra definición de transformada de la plaza que la transformada de la plaza de t a la n es igual a la integral desde cero al infinito desde cero al infinito nuestra función bueno déjame escribo que a la n por y este es solo la definición de la transformada a la menos s de diferencial de t y parecido a cuando hicimos esta transformada de la plaza tu intuición debería de decir y hay que usar integración por partes y lo mostré en el último vídeo siempre el olvido pero lo acabo de grabar por lo que ahora lo recuerdo entonces la integración por parte solo nos dice que la integral de un b prima es igual a o por b menos la integral de sé que esta es una clase de intercambio por lo que tenemos a prima o prima por b este es sólo nuestra fórmula de integración por partes si alguna vez la olvidas puedes deducir la en 30 segundos lo hice en el último vídeo porque hace mucho que no la usaba y tuve que volverla a deducir así que apliquemos la así que como quieren hacer nuestra be prima siempre es bueno utilizar nuestra función exponencial porque es más fácil de obtener su integral así que esta es mi prima en este caso nuestra vez la integral de esto entonces tenemos al menos siete sobre menos s si tomamos la derivada de esto menos s dividida entre menos s se cancela y te queda eso y luego si hacemos si hacemos nuestra o si hacemos está igual av cuál es nuestra prima o prima va a ser n porte a la n 1 muy bien apliquemos la integración por partes entonces esto va a ser igual a o por b y este a la n entonces este a la n esta es nuestra por p que es déjame escribir esto entonces es menos hay un menos allí déjame pongo un menos ahí pongámoslo en el mismo color menos estamos escribiendo esto era la menos 7 sobre ese entonces ese es nuestro término u por ver déjame lo hago más claro entonces este término de aquí es este término de aquí y por supuesto voy a tener que evaluar esto desde cero a infinito déjame escribir eso desde cero al infinito y puedo poner un pequeño corchete y yo algo para que sepas que tienes que evaluar eso ya eso le tenemos que restar la integral y deja recuerdo nuestros límites de cero a infinito o prima o prima s n porte a la n menos uno esa es nuestra prima por p por menos mientras pongamos este menos aquí afuera entonces es menos al menos st sobre ese y después de todo eso por supuesto tenemos nuestro diferencial de té tenemos un menos menos por lo que éstas se convierten en positivos y veamos si podemos simplificar esto un poco tenemos nuestra transformada de la plaza de té a la n es igual a esto evaluando en infinito y evaluado en cero así que cuál es el límite de esto cuando te se aproxima al infinito cuando te se aproxima a infinito este término podrías decir como este término puede volverse muy grande y hablé sobre esto en el último vídeo pero este término disminuye su poder porque tenemos a la menos infinito si asumimos que ese es mayor que cero entonces si ese es mayor que cero este término va a ganar y llegar a cero mucho más rápido que lo que este término irá a infinito por lo que cuando evaluamos esto en infinito obtener y luego le vamos a restar este término evaluado en 0 esto evaluado en 0 si evaluamos el 0 tenemos menos 0 a la n por ea la menos s por 0 sobre s éste se vuelve un 0 también todo este término evaluado de 0 a infinito es 0 lo que es algo muy conveniente para nosotros y luego vamos a tener este otro término de aquí así que saquemos los términos constantes está n estã s son constantes son constantes con respecto a t y tenemos más n sobre s por la integral desde cero a infinito d a la n menos uno por el ala menos ese diferencial de t ahora esto debería de parecerte muy familiar esto debería de verse cuál es la definición de la transformada de la plaza la transformada desde la plaza de cualquier función es igual a la integral de 0 a infinito de esa función por el ala menos 7 diferencial de t tenemos aquí la ala - -siete diferencial de t estamos tomando el intervalo de 0 a infinito por lo que toda esta integral es igual a la transformada de la plaz de esto dt a la n 1 así de fácil gracias a que este término fue 0 simplificamos las cosas tenemos que la transformada de la plaza a la n es igual a porque todo esto es 0 es igual a n sobre s que está ahí por esta integral de aquí que nos acabamos de dar cuenta de que era la transformada de la plaza de t a la n menos 1 bueno esta es una bonita simplificación podemos ahora obtener la transformada de la plaza de una potencia mayor en términos de la potencia 1 pero esto aún no me da una fórmula generalizada vamos a ver si podemos utilizar esto con esta información para obtener una fórmula generalizada por lo que la transformada de la plaza de sol o te déjame escribir eso acá abajo escribí eso al inicio del problema tenemos la transformada de la plaza puedo escribir esto como 'the a la 1 o solo te es igual a 1 sobre s al cuadrado donde s es mayor que 0 donde s es mayor a 0 qué pasa si tomamos la transformada de la plaza la transformada de la plaza de t al cuadrado o podemos sólo utilizar la fórmula de aquí la transformada de la plaza de t al cuadrado es igual a 2 entre s por la transformada de la plaza de t de solo te a la 12 menos uno entonces es por la transformada de la plaza de t a la 1 y ya sabemos qué es eso esto es igual a 2 sobre s por eso por 1 sobre s al cuadrado que es igual a 2 sobre s al cubo interesante veamos si podemos hacer otro cuál es la transformada de la plaza de t al cubo bien pues sólo necesitamos utilizar esta fórmula de aquí es n sobre s en este caso en estrés entonces es 3 sobre s por la transformada de la plaza de t a la n 1 que esté al cuadrado sabemos que la transformada en la plaza de esta era esta es sólo está justo allí es igual a 3 / s por por esta cosa y voy de hecho a escribir la de esta manera porque creo que es interesante escribir los numeradores por 2 x 1 sobre s sobre s al cuadrado lo que es podemos escribirlo como 3 factorial sobre s a la cuarta potencia s a la cuarta potencia hagamos otro creo que ya están entendiendo lo que está pasando transformada de la plaza de té a la cuarta potencia es que es igual a 4 sobre s por la transformada de la plaza de t al cubo y esto es sólo 4 sobre s por esto entonces es 4 sobre s por tres factores sobre s a la 4 y ahora 4 por 3 factorial es 4 factorial sobre s a la quinta potencia así que puedes solo obtener la idea general el principio general podemos probar esto por inducción es casi trivial después de todo lo que hemos hecho la transformada de la plaza la transformada de la plaza a la n sigo a la enee factorial n factorial sobre s a la n 1 lo probamos directamente con este caso de aquí verdad este es uno factorial sobre s a la 1 más 1 y luego si sabemos que si sabemos que es verdad para este sabemos que va a ser verdad para el siguiente incremento la prueba de inducción es casi obvia pero puedes incluso verlo basándote en esto si necesitas obtener la transformada de la placeta a la 10 puedes seguir haciendo esto una y otra vez pero creo que puedes ver el patrón claramente de todas maneras espero que haya sido un ejemplo lindo por sí mismo ya saben fuera del hecho de que será útil poder obtener transformadas de laplace directas e inversas pero este es un resultado muy lindo la transformada de la plaz dt a la n donde n es algún entero mayor que 0 es igual a n factorial sobre s a la n 1 donde s es también mayor que 0 esa fue una suposición que tuvimos que hacer al inicio cuando tomamos nuestros límites de cuando t se aproxima al infinito de todas maneras espero hayan encontrado esto útil