Ecuaciones homogéneas de primer orden

en este vídeo vamos a ver ecuaciones diferenciales de primer grado pero del tipo de mujeres homogéneas homogéneas como cuando decimos que la leche es una substancia homogénea si la leche es una sustancia homogénea porque todas sus partes están bien distribuidas aunque no sé que tengan que ver la leche con las ecuaciones diferenciales homogéneas pero bueno vamos a ver aquí ecuaciones diferenciales de primer orden homogéneas y también hay otras ecuaciones diferenciales que son del tipo homogénea pero este caso no es igual al otro caso y bueno en este caso estoy hablando de las ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden eso es muy importante nosotros ya estábamos muy acostumbrados a ver funciones del estilo derivada de jett con respecto a x igual a una función que tenía que ver con xy con jacques y nosotros vamos a suponer más bien que no podemos resolver esta ecuación diferencial ni por el método de separación de variables ni porque fueran exactas y si nosotros quisiéramos resolver esta ecuación por el método de ecuaciones diferenciales homogéneas lo que tenemos que hacer es una sustitución de variables y después de esta sustitución de variables la vamos a resolver por variables separables y sé que tal vez ustedes no me entiendan bien que es lo que me estoy refiriendo pero yo si quiero antes que eso analizar qué es una ecuación diferencial de primer orden que sea homogénea bien a lo que me refiero con esto es que tengamos la derivada de y con respecto a x y esto va a ser igual a una función f que depende de y entre x es decir un cambio de variable y lo que quiero es que al sustituir este cambio de variables me queda una ecuación que sea de variables separables sé que todas orienta está un poco confuso y no me entienden muy bien pero vamos a verlo mejor con un ejemplo cambiamos de color y pongamos este ejemplo la derivada de con respecto a x de se me ocurre una función llamada x + y todo esto dividido entre x bien pero qué pasaría si nosotros tratamos de separar esta ecuación diferencial para hacerla por variables separables pues yo no lo veo tan fácil bueno tal vez un poco pero no es el ejercicio que yo quiero hacer lo que sí quiero que vean es que qué va a pasar si esta función mejor la trató de llevar a una forma de que entre x pues se podría hacer si nosotros dividimos x entre x entre x es decir separamos nuestra división x entre x + y entre x ésta va a ser ahora nuestra ecuación diferencial o sea te lleguen de x es igual a esto pero pues x entre x es 1 no entonces yo puedo escribir esto como deje de x igual a x entre x que es uno más y entre x y aquí está ya por fin me entre x que era lo que yo estaba buscando para ejemplificar mi ecuación diferencial homogénea y porque estoy dividiendo entre x bueno mi idea es que voy a hacer un cambio de variable voy a decir que entre x es una nueva variable y si yo pongo aquí una nueva variable entonces me queda que este lado de la ecuación diferencial solamente depende de una sola variable de hecho lo voy a hacer voy a decir que de amarillo es igual a entre equis o dicho de otra manera pues yo puedo decir que ya es igual a b x x siempre estoy pasando multiplicando a x del otro lado de una ecuación y esto me va a servir porque yo lo que quiero es la derivada de que con respecto a x ahora ojo voy a suponer que b es una función que depende también de x entonces quién va a ser la derivada pues la derivada de ye con respecto a x es la derivada de x con respecto a x que es 1 por b o sea que no derivada de x con respecto de x es 1 y eso lo tengo que sumar pues la derivada de b con respecto a x osea x por la derivada de b con respecto a x lo único que hice fue derivar una multiplicación de funciones ahora lo que voy a hacer es sustituir la derivada de ella con respecto a x en mi cambio de variable por lo tanto me va a quedar la derivada de ella con respecto a x que era de más x x derivada de b con respecto a x y esto va a ser igual a uno más entre x pero ya entre x le habíamos dicho que se llamaba b entonces va a ser uno más b perfecto y ya que tengo aquí pues lo primero que me doy cuenta es que la beta aquí la veda acá la puedo cancelar entonces va a estar ahí va esta vámonos y que nos ha quedado nos ha quedado una ecuación mucho más sencilla de resolver si yo paso la x del otro lado pues la puedo pasar dividir vamos a dividir todo entre x entonces debe con respecto a x es igual a 1 entre x muy bien y ahora dicho yo debería de empezar por aquí si no es que es mucho más fácil de resolver pero pues vamos a seguir adelante yo voy a pasar el de x del otro lado entonces me va a quedar tve es igual a 1 entre x de x es decir multiplique todo x de x y ahora si buscamos las primitivas es decir si integramos de un lado y de otro que tengo el integral de la diferencial de bsb y la integral de 1 / x es logaritmo natural del valor absoluto de x más una constante integración no olviden el valor absoluto de x es muy importante que no lo olviden bien pero yo ya casi acabó porque yo sabía cuánto vale b&b vale y entre x si sustituyó el valor de b que era entre x pues entonces ya puedo despejar alguien que realmente era lo que quería entonces bien entre x es igual a logaritmo natural del valor absoluto de x más una constante pero yo lo que quiero es una función y entonces es igual a x por el lugar ismo natural del valor absoluto de x más una constante bien y aquí está aquí está lo que nosotros buscábamos una función que tal que si nosotros sustituimos en nuestra ecuación diferencial nos da el resultado x + / jr cosa que ustedes pueden demostrar en cualquier momento si ustedes agarran la función que teníamos acá abajo en el pizarrón para que la veamos bien esta función y la derivan entonces no les va a dar x más que entre x y aquí está y aquí hay también un pequeño error porque nosotros no se dieron cuenta que cuando yo pasé la x multiplicando del otro lado pues me queda x logaritmo natural de x del valor absoluto de x más una constante por x aquí me falta una x son de sus errores a mateos pero ya tenemos aquí y es igual a x logaritmo natural del valor absoluto de x mas x veces una constante bien pero si ustedes quisieran saber el valor de la constante lo que necesitaríamos es una condición inicial no lo olviden se puede pasar de una solución general a una particular con una condición inicial pues en el siguiente vídeo haremos un par de ejemplos más así que cuídense y nos vemos en el siguiente vídeo