Factores de integración 2

en el último vídeo tuvimos esta ecuación diferencial y al menos parecía que podría ser exacta pero cuando tomamos la derivada parcial de esta primera expresión respecto de i era distinta a la derivada parcial de esta segunda expresión respecto de x lo cual nos dice que no cabe en el mundo de las ecuaciones exactas muy bien eran distintos y dijimos o caray bueno si no es exacta qué pasaría si pudiéramos encontrar una función que nos haga al multiplicar esta ecuación por esa función que nos haga que sea exacta dijimos bueno si multiplicamos ambos lados de esta ecuación con una función new de x y que vimos que era x entonces nos hacía una ecuación diferencial exacta ahora ésta me podría depender de y podría depender de las dos variables xy no importa lo que importa es que hizo el truco de hacer esta ecuación una ecuación diferencial exacta muy bien a este tipo de funciones las conocemos como factor integrante de todos modos ahora vamos a resolver el problema multiplicamos de ambos por la función de x que es x y bueno del lado izquierdo ustedes notarán que obtenemos la función 3x cuadrada porque más x porque cuadrada que es simplemente multiplicar por nuestra función new y ahora del lado derecho tenemos x al cubo más x cuadrada porque y que esto multiplica a ye prima y del lado derecho tenemos cero que es cero por new de x ahora vamos a comprobar que en efecto es una ecuación diferencial exacta que pasa al dividir esta primera expresión respecto de ella que ya vamos a llamar que es nuestra función m y tendremos que la derivada es 3x cuadrada más 2x y esto fue el resultado de derivar esta función m respecto de y ahora analicemos qué pasa al derivar respecto de x la segunda tenemos 3 x 4 + 2x y que simplemente ahí lo tenemos estas 2 derivadas que calculamos fueron iguales lo cual nos dice que esta ecuación es exacta muy bien además la solución de esta nueva ecuación es la misma que de la anterior verdad no no está cambiando en nada la propiedad de la ecuación diferencial exacta perdón la ecuación diferencial original entonces ahora como como procedemos sabemos que nuestra función si tiene relación con nuestras funciones mn sabemos que la derivada parcial de pepsi respecto de x es igual a nuestra primera función que es la m que es 3x cuadrada porque más x porque cuadrada correcto entonces encontramos una primitiva de ambos lados y tenemos que si es igual a la integral de esta función respecto de x que es x kubica más que es la integral así un medio de x cuadrada por ye cuadrada y por supuesto aquí hay que hay que agregar algunos detallitos verdad porque faltaría agregar una una constante que en este caso pues una constante en para fines de integral respecto de x puede ser cualquier función que dependa de ella así que vamos a tomar ahora la información que tenemos del lado derecho de nuestra función n lo que sabemos es que nuestra app si su derivada parcial respecto de y es la función n que es igual x cúbica más x cuadrada y así que qué pasaría si ahora derivamos esta expresión respecto de y bueno esto simplemente nos queda si al derivar lo respecto de ella tenemos x cúbica más la derivada de cuadrada es dos por un medio se cancelan los dos y nos queda x cuadrada por qué la derivada de h respecto de ella que es la parcial de h respecto de ella pues simplemente es derivar la verdad y a continuación tiene que ser igual a nuestra función n que simplemente vamos a sustituir esta expresión acá abajo entonces esto debe ser igual a x al cubo más x cuadrada porque ahora si notamos pues esto es interesante porque ambos términos están de ambos lados entonces simplemente está x cúbica se va a esta x cuadrado porque se va con esta otra y nos queda finalmente que la derivada de h respecto de ye es igual a 0 o simplemente al integrar tenemos que nuestra función hdi es igual a cualquier constante muy bien ya obtuvimos quien es h realmente no es una función de ye ya vimos que esta función pues es cualquier número constante verdad por lo que para nuestros propósitos podremos decir que en realidad es es cero realmente o sea nos vamos a quedar simplemente con esta expresión porque al ser estado una constante de todos modos ya vimos en vídeos anteriores que esas constantes se guardan en una sola verdad vamos a vamos a detallar esto más adelante para por si no se acuerdan pero bueno aquí la ecuación diferencial se puede reescribir como la derivada total respecto de x de exit utilizando la regla de la cadena como ya vimos esto es igual a cero entonces si tomamos una integral de esta expresión de esta expresión de la derivada pues tendremos otra equivalencia de esta ecuación verdad tendremos entonces que si debe ser igual a cualquier constante por eso realmente no nos importaba qué función perdón que constante nos tomáramos para nuestra h de verdad entonces nuestra solución queda implícita como x cúbica y más un medio de x cuadrada porque cuadrada y esto bueno aquí como les comentaba hd ll si pusiéramos cualquier constante y esto debería ser igual a una constante si tuviéramos la otra constante pues solo pasa del otro lado restando y sigue siendo constante verdad de todas formas ahí tenemos tuvimos una ecuación diferencial que superficialmente al menos no parecía desde una ecuación diferencial exacta pero luego cuando multiplicamos ya vimos que si la podíamos hacer exacta a través de una mide x que es un factor integrante y que obtuvimos en el vídeo anterior muy bien al multiplicar por x ambos lados obtuvimos ahora esta nueva ecuación diferencial que si era exacta y encontramos una sí que depende de xy de ye tal que su derivada fuera 0 o bien reescribir la como que esta función si fuera igual a una constante muy bien entonces para encontrar esas y como ya hemos hecho sabemos que la derivada de pge y respecto de x es m integramos respecto de xy obtenemos si salvo por una función hd y como encontramos esa función hd y bueno pues simplemente esta expresión la derivamos respecto de iu y la igualamos a nuestra función n correcto entonces eso nos da una ecuación diferencial para h que pues simplemente era era muy sencilla esta ecuación y al resolverla obtuvimos que hd es una constante pero bueno dijimos que esta constante era cero por todos los argumentos que ya hemos dado y la solución está dada por si igual a una constante que es x cúbica yemas un medio de x cuadrada y cuadrada igual hace entonces insisto podríamos tener la constante de la h de iu pero bueno creo que ya lo hemos hecho muchas veces que ya deberías entender qué pasa con esa constante verdad simplemente vamos a ignorarla de todos modos eso es todo por ahora y espero los vea en el próximo vídeo ahora que ya sabes de factores integrantes