Optimización: suma de cuadrados

nos preguntan cuál en la menor suma de cuadrados posible para dos números con producto menos 16 ok esto ya que es un problema de optimización y lo que vamos a hacer es plantear el problema con algunas variables y después resolverlo con lo que hemos platicado de derivadas entonces empecemos con esto con dos números vale entonces a esos dos números vamos a ponerle vamos a ponerles xy ya va entonces nos preguntan por la menor suma de cuadrados es decir queremos minimizar ese igual a x al cuadrado déjame ponerle un poco más grande porque creo que tengo suficiente espacio ese es igual a x al cuadrado más ye al cuadrado va a hay que minimizar esta expresión y además de esos dos números sabemos que su producto que su producto es igual a menos 16 lo voy a escribir por acá xy es igual a menos 16 ahora aquí tenemos dos variables x y pero nosotros sabemos hacer las cosas nada más con una entonces el chiste es intentar obtener únicamente expresiones en términos de una variable digamos x y trabajar con esa variable en términos de cálculo entonces por ejemplo de aquí podemos despejar para obtener en función de x y luego sustituirlo acá para hacer esto aquí despejamos ye dividiendo entre x ambos lados y nos queda que es igual a menos 16 dividido entre x sale aquí ya tenemos una expresión de g en términos de x que poniendo laca obtenemos que s es igual a x al cuadrado más y aquí vamos a poner que es menos 16 entre x entre x elevado al cuadrado muy bien desarrollando esto un poquito nos queda que ese es ese y aquí ya le podemos poner ese de x porque ya nada más depende de x es igual a x al cuadrado más y aquí vamos a desarrollar esto menos 16 al cuadrado es 16 x 16 3 256 menos por menos es más entonces nos queda más 256 dividido entre x cuadrada pero lo voy a escribir como x a la menos 2 para que sea más fácil derivar sale entonces estoy acá ya es la suma de cuadrados expresada en una sola variable entonces ya podemos derivar encontrar los puntos críticos o ver dónde bueno donde no está definida la derivada y entonces podríamos encontrar el mínimo sale entonces vamos a hacer eso déjame escribir la derivada acá con este color verde acá a la derecha entonces si estoy acá ssd x s prima de x vamos a derivar nos quedaría igual a derivamos x al cuadrado baja el 2 y queda x a la 1 y luego hay que sumar otra vez derivando está esta potencia es x a la menos 2 al menos 2 baja menos 2 por 256 es menos 512 menos 512 por x sala y el exponente baja en uno de menos 2 pasa a menos 3 x a la menos 3 muy bien entonces tenemos dos posibilidades para puntos críticos uno es cuando se anula la derivada y otro es cuando no está definida aquí vamos a ver cuando nuestra definida pues el 2x no tiene problema pero esto como es dividir entre x al cubo no está definido cuando x es igual a 0 pero bueno igual si x es igual a 0 y está también dividido entre entre x o sea dividido entre 0 entonces tampoco está definido así que no le vamos a hacer caso a ese caso de ahí porque ya sería bueno podemos pensarlo como infinito entonces pues no sería la menor suma bueno entonces la otra opción es que esta derivada sea igual a cero es decir que 2x menos 512 x a la menos 3 sea igual a cero ok vamos a despejar x de aquí sumamos 512 x a la menos 3 de ambos lados nos quedaría que 2x es igual a 512 porque quizá la menos 3 y pues multiplicando por x al cubo de ambos lados tendríamos que 2x a la cuarta es igual a aquí y x al cubo por x a la menos 3 se hace 12 x a la cuarta es igual a 512 dividiendo entre 2 ambos lados el 2 se cancela nos queda x a la cuarta igual a 256 ok entonces ahora tenemos que encontrar el valor de x que satisface cómo le hacemos pues tenemos que sacar raíz cuadrada verdad nos queda que quizá al cuadrado es igual a 16 a 16 digo sacando la raíz aquí podría ser 16 o menos 16 pero este es un número positivo entonces sólo puede ser 16 y sacando raíz cuadrada una vez más tenemos que x es igual a 4 o menos 4 pero como lo como el producto de los números es menos 16 1 es positivo y otro es negativo podemos pensar que xe es el positivo vale déjame ponerle por acá que x es el que es mayor o igual que 0 entonces ya es menor o igual que 0 para que nos quede negativo entonces x es igual a 4 ya tenemos este punto crítico y como es el único punto crítico pues muy seguramente nos va a ayudar a encontrar la menor suma de cuadrados posibles pero bueno digo por si las dudas no vaya a ser que no vamos a hacer el criterio de la segunda derivada entonces aquí ya tenemos la derivada la la primera derivada déjame pasar a a este color azul claro entonces vamos a hacer la segunda derivada aquí s segunda derivada de x s de prima esto de aquí es igual a aquí derivando 2x nos quedan 2 y luego nos queda este la derivada de esto de acá que es menos 3 por 512 negativo x a la menos cuatro o sea haber menos por menos es más aquí nos quedan más tres por 512 3 por 506.500 3 por 12 36 entonces es 1536 y luego x nos queda elevado a la menos 4 muy bien observa esto es dividir entre quizá la cuarta y equis a la cuarta siempre es positivo entonces esto es positivo esto es positivo y de este modo la segunda derivada siempre es mayor o igual que hicieron como se vería el dibujito esto lo que nos dice que la segunda derivada sea mayor o igual que 0 es que la función s tiene una gráfica que es cóncava hacia arriba que se ve más o menos así sea como una u entonces el hecho bueno de que la segunda derivada sea mayor o igual que 0 es que la primera derivada empieza digamos negativa déjame ponerlo con este cual combinaría viene el blanco entonces entonces la derivada empieza sin negativa pero la segunda derivada es mayor o igual que 0 entonces la derivada va creciendo cada vez se está menos inclinada a la pendiente menos inclinada aquí se hace 0 en el mínimo verdad y luego sube y sube sube va entonces una segunda derivada mayor o igual que 0 nos da una función cóncava hacia arriba y de esta forma cuando la derivada de cero tenemos un mínimo así que en efecto x es igual a 4 nos va a dar el mínimo bueno pero nosotros queremos encontrar la suma de cuadrados ya sabemos el valor de x ahora tenemos que encontrar el valor de bank entonces qué tendríamos déjame ponerlo con este color verde para indicar que viene de acá entonces sería igual a menos 16 dividido entre cuatro porque x vale 4 o sea que ya sería igual a menos 4 a eso está bueno verdad que es menor o igual que 0 como esperábamos porque x es mayor o igual que 0 y el producto es menos 16 están los dos números con producto menos 16 y finalmente regresando a la suma de cuadrados tendríamos que la suma de cuadrados es igual a x al cuadrado sea 4 al cuadrado más menos 4 al cuadrado menos 4 al cuadrado que es igual a 16 16 verdad menos al cuadrado es más que es igual a 32 muy bien aquí tenemos el resultado y a lo mejor puedes decir oye no sé a lo mejor yo yo sí o sí va a encontrar estos valores estamos muy facilito el problema me estás diciendo que tienen producto menos 16 entonces es muy natural pensar en 4 y menos 4 entonces a lo mejor comprobando 4 y menos 4 y 2 y menos 8 y menos 8 y 2 y 116 y va a sacar esta solución y bueno sí pero ojo aquí nunca nos dicen que los números son enteros entonces en realidad de vista de haber secado todos todos los casos no sólo x igual a 1234 y aquí sino x igual a 4.333 o 4.01 o no sé 44 más bio lo que sea entonces pues realmente había muchos casos que checar y bueno incluso pudo haber pasado que este producto no fuera menos 16 este producto pudo haber sido 17 o menos 19 o una cosa más fea si por ejemplo pi cuadrada entre entre 8 y cuadrado entre 2 entonces en este caso no iba a ser tan fácil poder probar todos los números de hecho no ibas a poder probar todos los números hay una infinidad pero haciendo estas cuentas de cálculo si se hubiera optimizado la suma de cuadrados así igualito bueno le voy a dejar hasta aquí nos vemos hasta la próxima