Teorema del sándwich. Ejemplo

las gráficas de fx igualados raíz de x 1 - 1 cd x igual a x cuadrada + x / x y hdx igual a la x se muestran a continuación de ahí tienen ustedes las gráficas muy bien aquí está la h la g y la f bien nos dice selecciona y arrastra tarjetas para crear una desigualdad compuesta que ordene los valores de fx gtx y hdx para valores de x cercanos a 0 pero no en 0 muy bien entonces fíjense muy bien que queremos ver qué pasa cerca de x igual a 0 y por ejemplo si nos vamos al 1 vemos que h está por arriba de g y que está por arriba de f de hecho eso pasa para cualquier valor en esta en esta gráfica verdad entonces lo que podemos decir es que h es mayor o igual que g que es mayor o igual que f así que fx es menor o igual que que es menor o igual que hdx y si lo hice bien verdad efe menor kg menor o igual que h perfecto a y está muy bien entonces de esto se sigue que y aquí lo único que nos piden es pues esencialmente que sustituyamos las funciones correspondientes veamos quién era f efe era 2 raíz de x + 1 - 1 y entonces efe es 2 raíz de x 1 menos uno que es menor o igual que gdx ig x era x cuadrada más x / x x cuadrada más x / x y esto es menor o igual que la otra que era la x verdad vemos que esto era la x muy bien entonces esto significa que pues esencialmente que los límites se van a preservar entonces van a preservar las desigualdades entonces el límite de 2 raíz de x más uno menos uno es menor o igual que el límite de x cuadrada más x entre x que es menor o igual que el límite de la equis todo esto por supuesto cuando x tiende a cero entonces aquí es en donde viene realmente el teorema del sándwich y nos dicen finalmente el valor del límite cuando x tiende a 0 de x cuadrada más x / x parece ser vamos a ver en realidad tenemos que calcular el límite cuando x tiende a 0 de esta función que es 2 x 0 + 1 que es 1 entonces es 2 x 1 es 2 - 1 es 1 y esto tiene que ser menor o igual que a a la x cuando x tiende a 0 que es 1 así que este límite es mayor o igual que 1 y menor o igual que 1 así que quien podría ser si no más que 1 verdad así que vamos a ver qué es lo que pasa geométricamente lo que está pasando es que hdx se aproxima a uno cuando x tiende a cero y la f también y como la g está en medio pues justamente ahí está que que lo está pasando verdad ahí está pasando ahí está ocurriendo que tenemos nuestro sandwich yenes punto los límites coinciden ahora solo para sentirnos bien vamos a comprobar nuestra respuesta y ahí lo tienen lo tenemos bien