Introducción a límites (viejo)

bienvenidos a mi presentación de límites en esta ocasión vamos a empezar con una pequeña explicación antes de empezar con los problemas y bueno voy a decir que tengo el límite y bueno aunque escriba aquí esta anotación recuerda que en un segundo te voy a decir que es un límite pero bueno la forma de escribirlo es la siguiente el límite cuando x se aproxima a 2 el límite cuando x se aproxima a 2 d no sé me voy a tomar la función x cuadrada el límite cuando x aproximados de x cuadrada y bueno realmente lo que estamos diciendo es a qué valor se aproxima x cuadrada cuando x se aproxima a 2 y bueno realmente esto es muy sencillo y podemos verlo en la siguiente gráfica si por ejemplo por aquí pongo a mi eje de las 10 y voy a decir que esté por aquí este es mi eje de las x y es más vamos a escribirlo este es mi eje y m y este es mi eje de las x y ahora imagínate que yo quiero esbozar aquí a la función x la función x cuadrada se va a ver más o menos así ok más o menos así de lujo y bueno si nosotros queremos saber qué es lo que pasa cuando x vale 2 entonces podemos sustituir el valor de 2 y vamos a encontrar que fx o james va a valer bueno pues 2 al cuadrado lo cual es 4 es decir que estaríamos en este punto de aquí en el punto en el que x vale 2 y vale 4 y bueno cuando estoy hablando del límite cuando x se aproxima a 2 lo que quiero ver es cómo me aproximados tanto a la izquierda como a la derecha por ambos lados es decir por números que son más pequeños que 2 por la izquierda y más grandes que 2 por la derecha y lo que quiero ver es a qué valor se está aproximando la función x cuadrada aunque seguramente te estás preguntando por qué tenemos que aprender este nuevo concepto si parece ser bastante obvio es decir en lo que me quiero fijar es en aproximarme tanto por la izquierda como por la derecha a ver si llegamos al mismo valor por lo tanto si nos acercamos más y más y más en esta dirección y más y más y más en esta otra dirección entonces a que se aproxima esta función bueno pues esencialmente a 4 no es cierto esto podemos decir que es igual a 4 porque cuando nos aproximamos a 2 tanto por la derecha como por la izquierda nos vamos al valor de 4 otra forma de verlo sería pensar que nos estamos acercando a este punto tanto como por la izquierda como por la derecha y date cuenta que sobre esta misma curva al valor al cual nos acercamos es 4 y seguramente estás pensando para que introducir este nuevo concepto porque parece mucho más fácil que podamos sustituir el valor de 2 aquí en esta función y decir bueno pues efe de 2 es lo mismo que 2 al cuadrado lo cual es 4 esto parece ser una cosa bastante obvia y bueno para que tú entiendas mucho mejor para qué sirve este concepto déjame definir otra nueva función voy a llamar a mi nueva función fx y la voy a definir de la siguiente manera fx va a ser una función que cuando no sea dos y bueno mejor déjame ponerlo si va a tomar el valor de x cuadrada si x no es 2 x es distinto de 2 ok en todos los casos en que quizás esté entre 2 bueno va a valer x cuadrada pero cuando x valga 2 entonces voy a decir que fx va a valer 33 si x es igual a 2 así que aquí tenemos una ligera variación de esta función que tenemos justo aquí pero bueno esta es nuestra nueva fx y ahora déjenme hacerte una pregunta qué pasa si en esta ocasión nos tomamos el límite el límite cuando x cuando x se aproxima se aproxima atiende y de nuevo me voy a tomar al 2 el límite cuando x aproximados de esta función nueva que acabo de decir de ésta efe de x cuánto vale este límite ok pues qué te parece si en esta ocasión intentamos ver cómo se comporta la gráfica y para eso bueno date cuenta que de hecho es casi es casi esta gráfica es esencialmente la misma gráfica solamente que cambia un poco así que déjenme hacerlo por aquí voy a tomarme aquí a mí james por aquí me voy a tomar a mi eje x vamos a ponerlo este es mi hija ok este de aquí es mi eje x de lujo y bueno ahora voy a escribir a la función x cuadrada solamente que hay que tener cuidado cuando x vale 2 así que déjame tomarme aquí esta herramienta y vamos a intentar poner aquí a la función x cuadrada se va a ver más o menos así o que llegue a este punto empieza a subir y cuando x vale 2 cuando x vale 2 voy a poner aquí un pequeño círculo porque no está definida justo ahí en esta parte de acá arriba y después vuelve a subir y a comportarse como la función cuadrática como una parábola ahora aquí estamos en el valor de 2 aquí es cuando x vale 2 y bueno fx debería de valer 4 aquí estaríamos en el valor de 4 justo como pasaba en esta gráfica sin embargo nos dice y es más déjeme ponerlo así sin embargo nos dice que vale 3 vale 3 cuando x vale 2 es decir estamos imaginando que este es mi valor de 3 ok entonces estamos en un punto tenemos un punto justo abajo de este círculo que acabo de poner aquí cuando x vale 2 ok fx vale 3 es decir esencialmente se comporta como la función fx es igual a x cuadrada date cuenta que va exactamente igual que esta gráfica de aquí va exactamente igual aquí aquí cuando x vale 2 pasa algo llegamos a un estilo vacío a una brecha o podríamos decirle un hueco llegamos a un hueco y después pasamos y se sigue comportando exactamente igual que la función x cuadrada y de hecho aquí en este hueco en esta brecha la función nos especifica que cuando x vale 2 f de x vale 3 que es justo este punto de equipo así que date cuenta que esencialmente es la misma gráfica aquí llegamos a esta brecha a este vacío a este hueco pero tomamos el valor de este punto que tenemos justo aquí abajo y después nos seguimos misma manera ahora regresemos a nuestra pregunta original queremos saber cuál es el límite cuando x se aproxima 2 de esta función efe de x y si hacemos el mismo análisis que estábamos haciendo justo aquí a la izquierda entonces vamos a fijarnos qué es lo que pasa cuando nos acercamos a esta función tanto como por la izquierda es decir con valores que se vayan acercando al 2 que sean menores que 2 y bueno date cuenta que esta función si nos vamos acercando al 2 entonces se aproximaría justo a este valor que tenemos aquí y si ahora nos fijamos en los valores cuando x tiende a 2 pero por la derecha es decir por valores que sean más grandes que 2 entonces nos estaríamos acercando bajo esta curva a este punto otra vez que tenemos aquí a este punto que tenemos aquí nos estaríamos aproximando y entonces date cuenta que en este caso si nos aproximamos altos tanto por la izquierda como por la derecha llegamos a este valor de aquí pero este valor de aquí es 4 por lo tanto puedo decir que el límite cuando x aproximados de fx que es justo lo que podemos ver aquí es igual a 4 y date cuenta que en este caso este límite no vale lo mismo que lo que vale la función recuerda que en este caso la función vale 3 y es más déjame escribirlo en este caso el límite el límite cuando x tiende a 2 de esta función fx no es lo mismo no es lo mismo que f de 2 y bueno como no es lo mismo voy a tachar esta igualdad efe de 2 vale en este caso 3 y el límite cuando x se aproxima 2 de fx lo acabamos de ver vale 4 y date cuenta que no es lo mismo que pasa aquí en este caso el límite cuando x tiende a 2 de fx si es exactamente igual al valor de f si sustituimos me queda 2 al cuadrado en lo cual es 4 mientras que aquí no lo es y creo que ahora estamos empezando a ver porque el límite es un concepto ligeramente diferente a solamente evaluar la función en el punto ya que puedes tener funciones en donde no sé por cualquier razón en un punto determinado ya sea que la función no esté definida o sea del tipo de función que da saltos para arriba o para abajo ok pero si te aproximas a ese punto te puedes aproximar a un valor diferente al valor de la función en ese punto ahora esta es una introducción y creo que con esto te podrás dar una pequeña idea de qué es un límite en la próxima presentación daré la introducción de una manera más matemática hablando de la definición épsilon delta de un límite mientras en el siguiente módulo vamos a intentar hacer un montón de problemas que impliquen trabajar con límites y bueno es que creo que entre más problemas resuelvas más tendrás la intuición de que es un límite cuando veamos derivadas o integrales seguramente entenderás el porqué la gente inventó los límites para trabajar con ellos en fin nos vemos en la siguiente presentación