Examen AP Calculus BC, 2015. Pregunta 5d

inciso d sea igual a 6 entonces fx es igual a 1 entre x cuadrada menos 6x encuentra la descomposición de la función f en fracciones parciales y después encuentra la integral de fx de x muy bien entonces primero lo que voy a pensar es en cómo voy a encontrar la descomposición de la función f en fracciones parciales y bueno para eso lo que voy a hacer es apuntar primero aquí a mi función efe efe de x pero esta vez voy a factorizar la parte de abajo la parte de abajo me va a quedar como uno entre y abajo me queda x que multiplica a x menos 6 muy bien y quiero escribir esto como y ojo esto es muy importante porque justo en este momento voy a buscar la descomposición en fracciones parciales porque lo que quiero es escribir esta función de la a am / x un cierto ve un cierto ve entre x 6 x menos 6 y lo que quiero encontrar son los valores de am y de b y bueno la idea es esta qué pasa si tengo que sumar estas dos fracciones bueno pues tengo que encontrar un denominador común y el mejor común denominador es el producto de estas dos expresiones entonces a esta primera expresión a esta primera fracción la voy a multiplicar tanto arriba como abajo por x menos 6x menos 6 en la parte de arriba y también voy a multiplicar la parte de abajo por x menos 6x menos seis muy bien y ahora a esta segunda fracción la voy a multiplicar tanto arriba como abajo por equis tanto arriba como abajo por equis para que así tengan este denominador común x que multiplica a x menos 6 ok y si ahora sumó estas dos que me va a quedar bueno ni denominador común es x que multiplica a x menos seis muy bien y arriba me queda si distribuyó está me va a quedar a x menos seis veces am más b x y bueno yo quiero que esta expresión de aquí sea igual a 1 ojo si todo esto es completamente desconocido extraño o confuso para ti te encargo que vayas a la sección de fracciones parciales en la canaca de ming y vea los vídeos sobre este tema ok veamos lo que quiero es obtener una app y una vez tal que esta parte de aquí arriba sea igual a esto de aquí esto sea igual a 1 entre x que multiplica a x menos 6 y si observas si quiero que estos dos sean iguales lo primero que tiene que pasar es que estos términos que tienen x se tienen que cancelar porque aquí abajo no tenemos términos con x entonces me quedarían que a x más bx tiene que ser igual a 0 no tenemos ningún término en x aquí o bueno esto mismo lo puedo ver como a más tiene que ser igual a cero eso quiere decir que ya trabajé con este y ya trabajé con este y me queda este de aquí y este que es mi término constante tiene que ser igual a 1 am y terminó constante de este lado entonces me va a quedar que menos seis veces am esto tiene que ser igual a 1 o bueno de aquí ya puedo decir que am tiene que ser igual si / de ambas partes entre menos seis me va a quedar uno entre seis negativo menos un sexto y entonces observa si es igual a menos un sexto entonces ven tiene que ser el negativo de eso debe de ser un sexto porque menos un sexto más b tiene que ser igual a cero o si subo un sexto de ambos lados me va a quedar que ben tiene que ser igual a un sexto lo único que hice fue sustituir este valor de amd justo aquí en esta ecuación para así obtener el valor de ve muy bien ahora que ya tenemos el valor de amd y el valor deben entonces puedo escribir a esta función de x a esta función de x original ahora la voy a escribir de la siguiente manera la voy a escribir como a entre x pero vale menos un sexto entonces me quedaría menos un sexto a esto lo voy a dividir entre x y bueno yo sé que esto lo puedes escribir de otra manera tal vez lo pude haber escrito como menos 1 entre 6 x pero escrito de esta forma nos va a ayudar y además así podemos ver claramente que este es nuestro valor de a a esto le voy a sumar ben / x menos 6 pero me valía un sexto entonces me quedara un sexto entre x menos seis muy bien y justo esto que tengo aquí es la descomposición de la función f en fracciones parciales es justo la primera parte de lo que buscábamos en esta pregunta pero después dice encuentran integral de la función fx de x y qué creés para evaluar esta integral indefinida vamos a usar la descomposición en fracciones parciales así que déjenme bajar un poco en la pantalla para que lo hagamos justo aquí lo que voy a hacer es tomarme la integral la integral de la función f x de equis pero ahora voy a escribir a esto como la integral de y voy a utilizar esta función fx escrita en fracciones parciales voy a poner aquí la integral de un sexto esto entre x + o espera es un sexto negativo ya esto le voy a sumar un sexto esto dividido entre x menos 6 y así voy a poder encontrar más fácil esta integral bien y esto va a ser igual y cuál es la anti derivada de esto de aquí bueno la anti derivada de uno entre x es el logaritmo natural del valor absoluto de x así que esto me va a quedar como menos un sexto que multiplica el logaritmo natural del valor absoluto de x muy bien ya esto le voy a sumar un sexto y ahora cuál es la anti derivada de 1 / x 6 bueno podemos usar sustitución pero tal vez sea más fácil pensar que la derivada de x menos seis es uno y justo lo tenemos acá arriba entonces cuál es la anti derivada de uno entre x menos 6 bueno pues eso va a ser lo mismo que el logaritmo natural de el valor absoluto de x menos 6 a esto hay que sumarle una constante no lo olvides estamos haciendo una integral indefinida y por lo tanto hay que sumarle al final una constante y ya está esto de aquí es la integral de la función fx de x esto de aquí es la integral de la función fx de x y observamos que la descomposición en fracciones parciales nos fue muy útil para poder encontrar muy fácilmente esta integral ya que si quisiéramos encontrar esta integral desde el principio desde esta función que tengo aquí bueno pues sería muy fácil encontrarla si usamos y es justo lo que nos dicen la descomposición de la función f en fracciones parciales