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Curso: Aritmética - Preparación Educación Superior > Unidad 6
Lección 11: Reparto proporcionalReparto proporcional
Reparto proporcional
Lo que necesitas saber para esta lección
Antes de iniciar esta lección, debes revisar la lección sobre Magnitudes directa e indirectamente proporcionales.
Lo que aprenderás en esta lección
En esta lección aprenderás la noción y propiedades del reparto proporcional directo, inverso y compuesto, aplicado en diversas situaciones.
Situación 1
A continuación, vamos a reflexionar un poco sobre la noción de reparto proporcional, a partir de la siguiente situación:
Juan tiene 3 hijos de , y años de edad. Para premiar su desempeño en la escuela, Juan quiere entregarles figuritas del mundial de fútbol. Para que la entrega sea más justa, Juan reparte las figuritas proporcionalmente, de acuerdo a las edades de sus hijos.
Como las figuritas se repartirán proporcionalmente a las edades de los hijos, podemos establecer la siguiente relación:
Considerando esta proporción, realizamos los cálculos:
- Para el hijo de
años: , de donde . - Para el hijo de
años: , de donde . - Para el hijo de
años: , de donde .
Los resultados anteriores, se resumen en la siguiente tabla,
Donde se observa que al hijo de años le corresponden figuritas, al de años y al de años figuritas.
El tipo de reparto que se aplicó en este caso es un reparto proporcional directo.
Reparto proporcional directo
Es un procedimiento que consiste en repartir una cantidad en partes directamente proporcionales a otras cantidades llamadas índices o números repartidores.
Observa que la cantidad de figuritas que recibe cada uno de los hijos de Juan, es directamente proporcional a su edad, siendo en este caso la constante de proporcionalidad directa igual a .
Situación 2
Volvamos a leer la Situación 1 y ahora pensemos:
¿Qué pasaría si el padre hubiera decidido repartir las figuritas en partes inversamente proporcionales a las edades de sus hijos? ¿Cuántas figuritas recibiría cada uno de ellos?
Como en esta nueva situación las figuritas se repartirán de manera inversamente proporcional a las edades de los hijos, entonces serán proporcionales a : ;
y
cuya suma es igual a:
Tenemos entonces que:
Considerando esta proporción, realizamos los cálculos:
- Para el hijo de
años: , de donde . - Para el hijo de
años: , de donde . - Para el hijo de
años: , de donde .
Los resultados anteriores, se resumen en la siguiente tabla
Figuritas | 667 | 276 | 207 | 184 |
---|---|---|---|---|
Edad |
Donde se observa que al hijo de años le corresponden figuritas, al de años y al de años figuritas.
El tipo de reparto que se aplicó en este caso es un reparto proporcional inverso.
Reparto proporcional inverso
Es un procedimiento que consiste en repartir una cantidad en partes inversamente proporcionales a otras cantidades llamados índices o números repartidores.
Situación 3
Tatiana desea repartir canicas de diferentes colores entre sus tres hermanos Fiorella, César y Martha de , y años de edad, respectivamente. Cada hermano tiene ya una cantidad inicial de canicas. Observa:
- Fiorella:
canicas. - César:
canicas. - Martha:
canicas.
Dado que el reparto debe ser lo más justo posible, Tatiana propone repartir las canicas de tal forma que sea directamente proporcional (DP) a las edades de los hermanos, pero también inversamente proporcional (IP) al número de canicas que ya tiene cada uno de ellos.
¿Cuál de sus tres hermanos recibe la mayor cantidad de canicas?
Resolución
Para realizar el reparto propuesto por Tatiana, ordenamos los datos en una tabla:
Edad | Canicas al inicio | Canicas repartidas | |
---|---|---|---|
Fiorella | A | ||
César | B | ||
Martha | C |
Ya que el reparto será DP a la edad e IP a la cantidad de canicas, eso significa que las canicas se repartirán de forma directamente proporcional al producto de cada edad por el inverso multiplicativo de la cantidad de canicas de cada uno, es decir, a los números:
Homogeneizamos las tres fracciones, utilizando el común denominador:
Se tiene entonces los números: .
Observa que como se debe repartir canicas en partes directamente proporcionales a , es suficiente repartirlas proporcionalmente a , y .
Considerando esta proporción y a , y como las cantidades de canicas que recibe cada hermano, realizamos los cálculos:
- Para el hermano de
años: , donde . - Para el hermano de
años: , donde . - Para el hermano de
años: , donde .
Los resultados anteriores, se resumen en la siguiente tabla:
Edad | Canicas al inicio | Canicas repartidas | |
---|---|---|---|
Fiorella | |||
César | |||
Martha |
Reparto proporcional compuesto
Cuando el reparto de una cantidad es compuesto, es decir, directamente proporcional a ciertos números y directa (o inversamente) proporcional a otros, basta hacerlo directamente proporcional al producto de los primeros por los segundos (o por su inverso).
Veamos más ejemplos
A continuación mostramos algunos ejemplos en donde se hace uso de la proporcionalidad directa, inversa o compuesta. Presta mucha atención a las condiciones propuestas en cada situación.
Ejemplo 1
Pablo reparte cierta cantidad de dinero entre sus herederos en partes proporcionales a la cantidad de hijos que tiene cada uno de ellos. Así, el primer heredero tiene hijos; el segundo tiene y el tercer heredero tiene hijos.
Si el tercer heredero ha recibido dólares más que el primero.
¿Cuánto dinero distribuyó Pablo en total?
Ejemplo 2
El dueño de una empresa decide repartir dólares entre sus empleados Marcial, Fátima y Ricardo, de tal forma que el reparto sea inverso al número de días que han faltado a lo largo del año, que han sido, respectivamente, , y días. ¿Cuánto es lo que recibe cada empleado?
Ejemplo 3
Carlos y Sara son dos hermanos de y años de edad, respectivamente, que ayudan a su padre a construir una pared en su casa. En total, ambos colocaron ladrillos, de los cuales Carlos colocó y Sara . Como retribución por ayudar en este trabajo, su padre les ofrece dólares que repartirá en forma directamente proporcional a la cantidad de ladrillos que cada uno colocó y a su vez inversamente proporcional a su edad. ¿Es cierto que Sara recibió más dinero que Carlos?
¿Quieres unirte a la conversación?
- La empresa “Nuevo Mundo” entrega mensualmente una bonificación entre sus empleados. Este mes tiene 595595595 dólares para repartir entre sus tres secretarios en forma directamente proporcional a sus puntajes de evaluación e inversamente proporcional a los minutos de tardanza que acumularon este mes. El reporte es el siguiente:
Secretaria Puntaje de evaluación Tardanza
María 180 60
Fabiana 240 150
Alejandro 200 60
¿Cuál es la diferencia entre lo que reciben María y Alejandro?(8 votos) - nose si entendi bien, pero como seria un reparto proporcional si ambos son directos o si ambos son inversos?(1 voto)