Como se hacen los repartos directamente proporcionales

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Curso: Aritmética - Preparación Educación Superior > Unidad 6

Lección 12: Regla de tres simple y compuesta

Regla de tres simple y compuesta

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Regla de tres simple y compuesta

Lo que necesitas saber para esta lección

Antes de iniciar esta lección, debes revisar la lección sobre Introducción a las razones.

Lo que aprenderás en esta lección

Aprenderás las nociones y propiedades relacionadas a la regla de tres simple y regla de tres compuesta, aplicados en diversas situaciones.

Regla de tres simple

Antes de mostrar la regla de tres simple, debes recordar las nociones relacionadas a magnitudes directa e inversamente proporcionales.

Magnitudes directamente proporcionales

Analicemos la siguiente situación.

Situación

Marcos elabora una lista con los precios de arroz por kilogramos para su bodega. Observa:

**Arroz**
Peso (en $kg$ ‍)	Precio (en dólares)
$1$ ‍	$3.00$ ‍
$2$ ‍	$6.00$ ‍
$3$ ‍	$9.00$ ‍
$4$ ‍	$12.00$ ‍
$5$ ‍	$15.00$ ‍

Ahora, responde las siguientes preguntas:

¿Cuánto costarán $8 kg$ ‍ de arroz?
¿Se puede afirmar que si el peso se duplica, el precio también se duplica?
¿Cuál es la relación entre el peso y el precio del arroz?

Si analizamos la tabla, podemos afirmar que si el peso aumenta, entonces el precio también aumenta en la misma proporción. Es decir, hay una relación directa de dependencia que se puede plantear como una razón entre dos magnitudes, en este caso el peso y el precio.

\begin{array}{r} \frac{6.00}{2}; \frac{9.00}{3}; \frac{15.00}{5} \end{array}

Observa que en todos los casos, las razones son equivalentes:

\begin{array}{r} \frac{6.00}{2} = \frac{9.00}{3} = \frac{15.00}{5} = 3 \end{array}

Por tanto, podemos afirmar que la constante de proporcionalidad directa es

3

\begin{array}{r} \frac{Precio}{peso} = 3 \end{array}

Así, cuando el cociente entre dos magnitudes es constante, se afirma que las magnitudes son directamente proporcionales.

Regla de tres simple directa

La regla de tres simple directa es un procedimiento que nos permite calcular el valor de una cantidad, conociendo otras tres cantidades relacionadas, que en conjunto forman una proporción de dos razones.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1

Marcos es comerciante de telas. En su tienda ofrece

3

metros de tela satinada por

12

dólares. ¿Cuál es el costo de $7.5$ ‍ metros de esta tela?

Resolución

En esta situación se observa que a mayor cantidad de tela, mayor será la cantidad de dinero por pagar. Por tanto, la cantidad de tela y el monto de dinero que se debe pagar por dicha cantidad son magnitudes que varían en forma directamente proporcional.

Cantidad de tela	3	$7.5$ ‍
Precio	12	$x$ ‍

Planteamos la relación:

\begin{array}{r} \frac{3}{12} = \frac{7.5}{x} \Rightarrow x = 30 \end{array}

Finalmente, por

7.5

metros de tela, se tendrá que pagar

30

dólares.

Ejemplo 2

Para preparar un plato de comida para

32

personas que asistirán a un evento, se necesitan

4 kg

de patatas. Si la mitad de las personas avisan que van a asistir acompañados de sus parejas, ¿cuántos kilogramos de patatas se necesitarán?

Resolución

Observa que en esta situación, a mayor cantidad de personas, mayor será la cantidad de patatas para preparar el plato de comida. Por tanto, la cantidad de personas invitadas al evento y los kilogramos de patatas son magnitudes directamente proporcionales.

Ahora, considerando la información propuesta en la situación, planteamos la siguiente tabla:

Cantidad de invitados	32	48
Kilogramos de patatas	4	$x$ ‍

Planteamos la relación:

\begin{array}{r} \frac{32}{4} = \frac{48}{x} \Rightarrow x = 6 \end{array}

Finalmente, para las

48

personas que asistirán al evento, se necesitarán

6

kilogramos de patatas.

Magnitudes inversamente proporcionales

Analicemos la siguiente situación:

Situación

Cinthia maneja su automóvil y para tener un mejor consumo de combustible hace los cálculos y elabora una tabla que relaciona la velocidad con que circula desde el trabajo a su casa y el tiempo que demora.

Velocidad (km/h)	$10$ ‍	$20$ ‍	$25$ ‍	$50$ ‍	$80$ ‍
Tiempo (horas)	$10$ ‍	$5$ ‍	$4$ ‍	$2$ ‍	$1.25$ ‍

Analiza la tabla y luego responde las siguientes preguntas:

¿Si la velocidad es $5 km/h$ ‍, cuánto tiempo demora?
¿Se puede afirmar que si la velocidad se duplica, el tiempo disminuye a la mitad?
¿Cuál es la relación la velocidad y el tiempo?

Si analizamos la tabla, podemos afirmar que si la velocidad aumenta, el tiempo disminuye en relación inversa. Observa que existe un producto constante entre la velocidad y el tiempo:

\begin{array}{r} 10 \times 10; 20 \times 5; 25 \times 4; 50 \times 2; 80 \times 1.25 \end{array}

Cuyos productos son equivalentes:

\begin{array}{r} 10 \times 10 = 20 \times 5 = 25 \times 4 = 50 \times 2 = 80 \times 1.25 = 100 \end{array}

En este caso la constante de proporcionalidad inversa es

100

\begin{array}{r} Velocidad \times distancia = 100 \end{array}

Así, cuando el producto entre los valores de dos magnitudes es constante, se afirma que las magnitudes son inversamente proporcionales.

Regla de tres simple inversa

La regla de tres simple inversa es un procedimiento que nos permite calcular el valor de una cantidad, conociendo otras tres cantidades relacionadas que en conjunto forma una proporción de dos razones.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1

Carlos y Alberto son pintores con la misma habilidad y calculan que necesitan

9

días para pintar la fachada de una casa de dos pisos. Para hacer el trabajo más rápido, contratan a un obrero igual de eficiente que ellos dos. ¿Cuántos días emplearán los tres obreros en pintar la fachada de dicha casa?

Resolución

Luego de leer con atención la información propuesta, puedes darte cuenta que la cantidad de obreros y el tiempo que tardan en pintar una casa son magnitudes inversamente proporcionales.

Así, planteamos:

Cantidad de obreros	2	3
Cantidad de días	9	$x$ ‍

Planteamos la relación:

\begin{array}{r} 2 \times 9 = 3 (x) \Rightarrow x = 6 \end{array}

Finalmente, los

3

obreros pintarán la fachada de la casa en

6

días.

Ejemplo 2

Un caño que vierte

4

litros de agua por minuto demora

2

horas en llenar un depósito. ¿Cuántas horas tarda en llenar el mismo depósito un caño que vierte 8 litros por minuto?

Resolución

De la situación se observa que a mayor capacidad de verter agua, menor será el tiempo necesario para llenar el depósito. Por tanto, la cantidad de litros por minuto y el tiempo de llenado del depósito son magnitudes inversamente proporcionales.

Cantidad de litros de agua por minuto	4	8
Tiempo para llenar el depósito (horas)	2	$x$ ‍

Planteamos la relación:

\begin{array}{r} 2 \times 4 = 8 (x) \Rightarrow x = 1 \end{array}

Finalmente, si el caño vierte

8

litros de agua por minuto, el depósito se llenará en una hora.

Regla de tres compuesta

En algunas situaciones se evidencia la relación entre tres o más magnitudes, las cuales pueden ser directa o inversamente proporcionales. En estas situaciones, primero se deben identificar las relaciones entre las magnitudes con la incógnita, es decir, con la magnitud desconocida y luego, determinar la correspondencia entre ellas.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1

En la panadería "Más sabor" laboran

9

personas que, trabajando

8

horas, producen

150

pasteles de manzana. ¿Cuántas horas necesitan $12$ ‍ trabajadores de igual eficiencia, para producir $375$ ‍ pasteles de manzana?

Resolución

Como se señaló previamente, primero debemos identificar las magnitudes presentes en la situación, las cuales son:

Cantidad de trabajadores.
Tiempo de elaboración de los pasteles.
Cantidad de pasteles de manzana.

Analizando estas

3

magnitudes, notamos que la magnitud "tiempo de elaboración" es la incógnita que:

Es inversamente proporcional a "la cantidad de trabajadores" ya que a mayor cantidad de trabajadores, tomará menos tiempo la producción de los pasteles.
Es directamente proporcional a la "cantidad de pasteles", puesto que a mayor cantidad de trabajadores, más pasteles se podrán producir.

Podemos resumir la información de la situación en la siguiente tabla.

Cantidad de pasteles	Tiempo de elaboración	Cantidad de trabajadores
150	8	9
375	$x$ ‍	12

Luego, planteamos las relaciones:

Tiempo de elaboración DP a la cantidad de pasteles.
Tiempo de elaboración IP a la cantidad de trabajadores.

\begin{aligned} Para la 1°fila: \frac{8}{150} \times 9 \\ Para la 2° fila: \frac{x}{375} \times 12 \end{aligned}

Igualamos estos dos resultados:

\begin{aligned} \frac{8}{150} \times 9 = \frac{x}{375} \times 12 & \Rightarrow \frac{72}{150} = \frac{12 x}{375} \\ \Rightarrow x = 15 \end{aligned}

Por tanto, el tiempo que necesitan

9

trabajadores para preparar

375

pasteles de manzana es de

15

días.

Ejemplo 2

En la construcción de un edificio, se observó que

16

obreros realizan

\frac{1}{4}

de una obra en

8

días. Si se contratan

8

obreros más para terminar la construcción en las mismas condiciones, ¿en cuántos días la nueva cantidad de obreros terminará la obra?

Resolución

Como en el caso anterior, primero debemos identificar las magnitudes presentes en la situación, las cuales son:

Cantidad de obreros.
Parte del avance de la obra.
Cantidad de días.

Analizando estas

3

magnitudes, notamos que la magnitud "cantidad de días" es la incógnita, que:

Es inversamente proporcional a la cantidad de obreros. Es decir, a mayor cantidad de obreros, menor cantidad de días se necesitarán para terminar la obra.
Es directamente proporcional a la parte del avance de la obra, puesto que a mayor cantidad de días, más parte de la obra se podrá avanzar.

Podemos resumir la información presente en la situación en la siguiente tabla.