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Curso: Estadística avanzada (AP Statistics) > Unidad 9

Lección 5: Distribuciones muestrales para las diferencias en medias muestrales

Diferencias de medias muestrales: ejemplos de probabilidad

Práctica usar la forma, el centro (media) y la variabilidad (desviación estándar) para calcular las probabilidades de varios resultados cuando estamos tratando con distribuciones muestrales para la diferencia de medias muestrales.

Introducción y revisión

En este artículo, practicaremos aplicar lo que hemos aprendido acerca de las distribuciones muestrales para las diferencias en las medias muestrales para calcular las probabilidades de varios resultados muestrales.

Ve más abajo si quieres ir directamente a algunos ejemplos.

Esta es una revisión de cómo podemos pensar acerca de la forma, el centro y la variabilidad en la distribución muestral de la diferencia entre dos medias

{\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2}

Forma

La forma de una distribución muestral de

{\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2}

depende de nuestros tamaños de las muestras y de la forma de cada distribución de población de la cual muestreamos.

Si ambas poblaciones son normales, entonces la distribución muestral de ${\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2}$ ‍ es exactamente normal sin importar los tamaños de las muestras.
Si una o ambas poblaciones son no normales (o sus formas son desconocidas), entonces la distribución muestral de ${\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2}$ ‍ es aproximadamente normal siempre y cuando el tamaño de nuestra muestra sea de al menos $30$ ‍ de la(s) población(es) no normal(es).

Centro

La diferencia media es la diferencia entre las medias de la población:

μ_{{\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2}} = μ_{1} - μ_{2}

Variabilidad

La desviación estándar de la diferencia es:

σ_{{\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2}} = \sqrt{\frac{σ_{1}^{2}}{n_{1}} + \frac{σ_{2}^{2}}{n_{2}}}

(donde

n_{1}

n_{2}

son los tamaños de cada muestra).

Esta fórmula para la desviación estándar es exactamente correcta siempre y cuando tengamos:

Observaciones independientes entre las dos muestras.
Observaciones independientes dentro cada muestra*.

*Si estamos muestreando sin reemplazo, esta fórmula en realidad va a sobreestimar la desviación estándar, pero es extremadamente cercana al valor correcto siempre y cuando cada muestra sea menos del

10 %

de su población.

Vamos a intentar aplicar estas ideas a algunos ejemplos y a ver si podemos utilizarlas para calcular algunas probabilidades.

Ejemplo 1

Cada día, miles de personas en un aeropuerto pasan por un control de seguridad en uno de dos niveles: el nivel A o el nivel B. Supón que, en promedio, a las personas les toma

26

minutos pasar por el control de seguridad en el nivel A con una desviación estándar de

7.5

minutos. En el nivel B, la media y la desviación estándar son de

24

4

minutos, respectivamente.

Cada día, en el aeropuerto ven muestras aleatorias separadas de

100

personas de cada nivel. Calculan el tiempo medio para cada muestra, luego ven la diferencia entre las medias muestrales

({\bar{x}}_{A} - {\bar{x}}_{B})

Pregunta 1.1

¿Cuáles son la media y la desviación estándar (en minutos) de la distribución muestral de ${\bar{x}}_{A} - {\bar{x}}_{B}$ ‍?

Ejemplo 2

Una universidad grande tiene más de

30,000

estudiantes y más de

1,500

maestros. Supón que las edades de los estudiantes tiene una fuerte asimetría a la derecha con una media y una desviación estándar de

21

años y

3

años, respectivamente. Las edades de los maestros también son asimétricas a la derecha y su media y desviación estándar son de

50

años y

5

años, respectivamente.

Un estudiante que conduce un estudio planea tomar muestras aleatorias separadas de

100

estudiantes y de

20

maestros. Va a analizar la diferencia entre la edad media de cada muestra

({\bar{x}}_{P} - {\bar{x}}_{E})

El estudiante se pregunta qué tan probable es que la diferencia entre ambas medias muestrales sea mayor que

35

años.

Pregunta 2.1

¿Por qué es inapropiado usar una distribución normal para calcular esta probabilidad?

(Elección A)
Estamos muestreando más del $10 %$ ‍ de cada población, de modo que no conocemos la desviación estándar de la distribución muestral
(Elección B)
Estamos muestreando menos del $10 %$ ‍ de cada población, así que la distribución muestral no se distribuye de manera aproximadamente normal
(Elección C)
Ninguna de las poblaciones es normal, de modo que necesitamos que ambos tamaños de las muestras sean al menos de $30$ ‍, pero el tamaño de la muestra de maestros es demasiado pequeño
(Elección D)
Ninguna de las poblaciones es normal, de modo que necesitamos que ambos tamaños de las muestras sean menores a $30$ ‍, pero el tamaño de la muestra de estudiantes es demasiado grande

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